Introduction au projet

Sujets :

• Les outils mathématiques en astronomie
• Fonction d'une variable réelle : généralité et continuité
• Fonction d'une variable réelle : dérivabilité
• Intégrale de Riemann
• Développements d'une fonction d'une variable réelle
• Fonctions de deux variables
• Equations différentielles linéaires
• Topologie et espace métrique
• Fonctions usuelles
• Fonctions de plusieurs variables
• Séries
• Variables complexes
• Géométrie
• Algèbre
• Statistiques et probabilités

Ce site, "L'Astronomie dans l'apprentissage des Mathématiques" est une émanation de "Astrophysique Sur Mesure". Il utilise l'Astronomie comme source d'exemple dans l'apprentissage des Mathématiques. Il est structuré en applications comprenant chacune un ou plusieurs exercices avec les corrigés.

La coordination pédagogique de ce projet est assurée par Alain VIENNE (Université Lille1). Initié par Françoise Roques (Observatoire de Paris), le groupe est constitué de: Arnaud Beck (2008-2009, Observatoire de Paris), Florent Deleflie (2010- , IMCCE), Stéphane Erard (2008- , Observatoire de Paris), Marc Fouchard (2008- , Université Lille1), Stéfan Renner (2008- , Université Lille1), Jérôme Thiébaut (2008-2010, Observatoire de Paris) et Alain Vienne (2008- , Université Lille1) . La réalisation technique est de Damien Guillaume (cellule TICE de l'UFE de l'Observatoire de Paris).

Ce site a été produit avec l'Unité Formation-Enseignement de l'Observatoire de Paris dans le cadre d’UNISCIEL et dans le cadre du dispositif CNL (Contenus Numériques en Ligne) - Université Lille1.

Contact :

On trouvera dans cette section quelques rappels essentiels de Physique:

• Notion de grandeur physique, équation aux dimensions
• Approximations numériques
• Utilisation de développements limités

On pourra reconstruire et caractériser l'orbite de la planète de la planète Mars, en utilisant les données d'observation historiques de Tycho Brahé, ou s'intéresser au phénomène de précession du périastre.

Ces deux applications permettent de se familiariser avec l'importance des approximations en astronomie ou en physique en général.

A l'aide de développements, on pourra s'intéresser à la description épicyclique du mouvement keplerien ou à la notion de sphère d'influence.

Auteur: S. Renner

Date de création: 17 février 2009

L'objectif de cet exercice est d'établir les caractéristiques de l'orbite de la planète Mars, en utilisant les données d'observation de Tycho Brahé, celles-là mêmes qui furent utilisées par Kepler.

On suppose que les mouvements des planètes s'effectuent dans le même plan, qui est celui de l'écliptique. La position des planètes est alors repérée par une coordonnée, la longitude écliptique. On choisit pour origine des longitudes la direction du point vernal (noté ). La tableau ci-dessous rassemble les données concernant 5 couples d'observations de Mars, effectuées par Tycho Brahé. On y indique la longitude écliptique géocentrique du Soleil, notée (c'est-à-dire l'angle, mesurée depuis la Terre, entre la direction du Soleil et celle du point vernal), et la longitude écliptique géocentrique de Mars, notée (angle vu de la Terre entre la direction de Mars et celle du point vernal).

	DATE
1a	17/02/1585	339°23'	135°12'
1b	05/01/1587	295°21'	182°08'
2a	19/09/1591	185°47'	284°18'
2b	06/08/1593	143°26'	346°56'
3a	07/12/1593	265°53'	3°04'
3b	25/10/1595	221°42'	49°42'
4a	28/03/1587	16°50'	168°12'
4b	12/02/1589	333°42'	218°48'
5a	10/03/1585	359°41'	131°48'
5b	26/01/1587	316°06'	184°42'

Auteur: S. Renner

Date de création: 06 janvier 2011

L'objectif de cet exercice est de quantifier la précession du périastre d'un satellite en orbite autour d'un corps central légèrement aplati aux pôles.

Il est conseillé de s'intéresser au préalable à la résolution du problème à 2 corps.

Les formules mathématiques utilisées en Astronomie définissent des relations entre grandeurs physiques. Ces grandeurs ont une dimension physique, et sont mesurées dans une certaine unité.

La dimension est inhérente à une grandeur physique, sa valeur est fonction de l'unité utilisée. On distingue sept types de grandeurs physiques, ou dimensions, indépendantes. Toute quantité physique peut s'exprimer comme combinaison de ces grandeurs de base.

Le système officiel en vigueur est le SI (Système International d'unités) ou MKSA, qui définit les unités de mesure des sept grandeurs indépendantes (voir par exemple la définition de la seconde). Différents systèmes d'unités ont été utilisés au cours de l'histoire, et d'autres systèmes sont en usage dans des domaines particuliers. En Astronomie, on utilise couramment des unités en rapport avec les phénomènes étudiés, par exemple l'unité astronomique, l'année-lumière, le parsec, ou le décalage vers le rouge pour les distances.

Deux autres grandeurs sont utilisées en complément de celles-ci. Elles sont dépourvues de dimension physique (elles peuvent être comprises comme des rapports de longueurs ou de surfaces), mais peuvent s'exprimer dans différentes échelles. En pratique, on préfère l'échelle qui n'introduit pas de coefficient dans les fonctions trigonométriques (en radians, par opposition aux degrés pour les angles plats).

Ecrire une équation aux dimensions consiste à remplacer dans une formule les grandeurs par leurs dimensions et à négliger les coefficients de proportionnalité.

On peut toujours multiplier ou diviser des grandeurs quelconques entre elles, mais on ne peut additionner que des grandeurs physiques de même dimension — l'inverse reviendrait littéralement à additionner les torchons et les serviettes.

Les équations ou formules doivent donc être homogènes : chaque membre (et chaque terme) d'une équation doit avoir la même dimension physique. La vérification de l'homogénéité d'une formule ou d'un résultat de calcul doit être un réflexe en physique : c'est un moyen efficace pour éliminer les erreurs de calcul, et éviter les non-sens.

Les constantes qui apparaissent dans les lois physiques ont également une dimension. On peut dériver celle-ci en posant l'équation aux dimensions. La valeur numérique dépend encore une fois du système d'unités utilisé.

Les fonctions mathématiques n'acceptent que des arguments sans dimension, ou dédimensionalisés. En pratique, ce sont des nombres purs ou des rapports de quantités de même grandeur.

Les équations aux dimensions permettent également de dériver les ordres de grandeur de phénomènes physiques, éventuellement en utilisant des modèles dérivés d'hypothèses simples.

De façon similaire, chaque grandeur possède une dimension tensorielle : scalaire, vecteur, ou tenseur d'ordre supérieur. La dimension tensorielle se préserve de la même façon que la dimension physique (chaque terme d'une équation doit avoir la même dimension tensorielle).

L'analyse des dimensions d'un problème complexe permet de prédire la forme d'une loi physique, dans le cas fréquent où elle s'exprime comme produit des grandeurs qui interviennent.

Auteur: Alain Vienne

Souvent, lorsque l'on considère le problème des 2 corps et quand l'excentricité de l'orbite est petite, on a besoin de l'approximation suivante:

et sont les coordonnées polaires du corps, étant compté à partir du péricentre (anomalie vraie). est le temps ou plus précisément c'est l'anomalie moyenne avec la période, le temps et l'instant de passage au péricentre. et sont respectivement le demi-grand axe et l'excentricité de l'orbite.

Dans l'exercice qui est proposé ci-après, on utilisera en plus des anomalies moyennes et vraies, l'anomalie excentrique. L'animation qui est donnée ici visualise leur évolution dans le cas d'une excentricité de 0,7.

Evolution des 3 anomalies (respectivement vraie, excentrique et moyenne)

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou

Si l'existence des développements ci-dessus est admise, l'astronome s'autrorise alors une démarche pragmatique pour les obtenir. Sa démarche n'a pas la rigueur du mathématicien. Dans le cas présenté ici, elle n'a pas non plus une grande efficacité si on souhaite "pousser" le développement plus loin en ordre.Elle a le seul avantage de pouvoir "se tirer d'affaire" dans le cas qui le préoccupe.

Dans l'exercice qui est proposé, on utilisera au besoin le développement de Taylor, l'intégration d'un développement, la substitution de développements.

Auteur: S. Renner

Date de création: 10 avril 2013

Dans le problème des 2 corps, lorsque l'excentricité de l'orbite est petite, on peut écrire :

,

où est l'angle entre la direction du péricentre et la position du corps sur son orbite (anomalie vraie), est le temps ou plus précisément l'anomalie moyenne , avec la période, le temps et l'instant de passage au péricentre.

L'animation donnée ci-après montre l'évolution des anomalies vraie et moyenne (et excentrique) dans le cas d'une excentricité .

Evolution des 3 anomalies (respectivement vraie, excentrique et moyenne)

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou

Dans l'exercice proposé, on établit le développement ci-dessus à l'aide du théorème d'inversion de Lagrange.

Auteur: S. Renner

Date de création: 3 février 2010

Souvent en dynamique du système solaire, l'excentricité est très faible, et il est donc utile de considérer des approximations au premier ordre en excentricité, en particulier pour des systèmes vus dans des repères tournants. Cette approche est par exemple intéressante pour décrire la dynamique des anneaux planétaires, ou les effets de l'aplatissement d'une planète sur les orbites de satellites.

On propose ici un exercice qui porte sur la description du mouvement keplerien par des épicycles : le mouvement elliptique d'une particule P autour d'un foyer F est vu dans un repère centré sur un point G (le centre guide) en orbite circulaire uniforme autour de F (de rayon a égal au demi-grand axe de la particule, et de vitesse angulaire égale au moyen mouvement , où est la période orbitale de P).

L'exercice est largement inspiré du livre Solar System Dynamics (C.D. Murray & S.F. Dermott, 1999).

Auteur: S. Renner et A. Vienne

Date de création: 3 mars 2010

Nous allons définir la notion de sphère d'influence en s'intéressant au problème à trois corps Soleil + Jupiter + satellite, de masses respectives (qui constitue ce que l'on appelle un problème de Kepler perturbé).

On trouvera dans ce chapitre les exercices suivants :

• démonstration de la loi de Wien pour les corps noirs (application de la continuité d'une fonction)

Auteur : Marc Fouchard

La loi de Planck montre que pour un corps noir, l'énergie émise par rayonnement suivant un longueur d'onde, ne dépend que de la température de surface du corps noir. Cette loi est donnée par la relation suivante :

où correspond à la vitesse de la lumière dans le vide, est la constante de Planck, la constante de Boltzmann, la longueur d'onde à laquelle le rayonnement est émis et la température de surface du corps noir.

La figure ci dessous montre le comportement de pour différentes températures de surface du corps noir. On peut remarquer que le maximum de la courbe se déplace sur la gauche lorsque la température augmente. Autrement dit, la longueur d'onde pour laquelle le rayonnement émis est maximal diminue lorsque la température de surface augmente.

Loi de Planck

Le but de cet exercice est de trouver la relation exacte entre et .

On trouvera dans cette partie les exercices suivants :

• étude de la rétrogradation de la planète Mars
• perturbation d'une orbite elliptique
• loi de Planck en fréquence
• étude des racines réelles du polynôme de degré 8 issu de la méthode de Laplace (détermination d'orbite)
• le théorème de Rolle appliquée dans une récurrence pour les racines des polynômes de Legendre
• étude de la projection cartographique de Mollweide
• démonstration de la loi du déplacement de Wien pour le corps noir (application de la détermination d'un extrema pour une fonction continue sur un intervalle fermé)
• rayon d'équilibre d'une étoile à Neutron (application de la détermination d'un extrema pour une fonction continue sur un intervalle fermé)
• calcul de la sphère de photons d'un trou noir

Auteur : Marc Fouchard

Le mouvement de Mars vu depuis la Terre montre des périodes pendant lesquelles Mars se déplace dans le sens inverse au Soleil par rapport au fond d'étoiles fixes. L'exercice présenté ici consiste à étudier cette phase de rétrogradation de Mars.

L'animation ci-dessous montre à gauche le mouvement de la Terre et de Mars autour du Soleil et à droite les mêmes mouvements vus depuis la Terre.

Retrogradation de Mars

Mouvement de la Terre et de Mars autour du Soleil.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou Fouchard

On remarque que vu de la Terre le mouvement de Mars se fait dans le sens inverse (sens retrograde) à celui du Soleil (sens prograde). Le but de cet exercice est d'étudier cette phase de rétrogradation.

Auteur: S. Renner

Date de création: 04 avril 2011

L'objectif de cet exercice est de déterminer quels types de forces perturbatrices peuvent modifier le demi grand-axe ou l'excentricité d'une orbite.

Il est nécessaire de s'intéresser au préalable à la résolution du problème à 2 corps.

Auteur: Stéphane Erard

Date de création: 07 mars 2013

La loi de Planck donnant le spectre du corps noir est souvent donnée en fonction de la longueur d'onde. L'objectif de cet exercice est de dériver cette loi en fonction de la fréquence du rayonnement. Cette expression est plus naturellement utilisée dans certains domaines, en particulier aux basses énergies (domaine radio) et aux basses températures (dans le milieu interstellaire par exemple).

Auteur: Alain Vienne

Lors de la découverte d'un nouvel objet dans le système solaire, on souhaite rapidement connaitre sa trajectoire. Celle-ci est généralement héliocentrique et, dans un premier temps, on la suppose képlérienne. Or les observations terrestres donnent uniquement la direction de l'astre mais pas sa distance. La méthode de Laplace propose un moyen qui, à partir de 3 observations de direction faites à des dates assez rapprochées, donne les vecteurs position et la vitesse de l'astre. Le détail de la méthode peut être trouvé dans le cours suivant: Dynamique du système solaire. On peut y voir notamment que la méthode conduit à chercher les racines d'un polynôme de degré 8. Il y est affirmé qu'il y a 4 racines réelles (1 négative, 3 positives) et 4 complexes non réelles. C'est cette affirmation qui est étudiée dans l'exercice qui suit.

Le polynôme est de la forme:

On sait que et qu'il existe au moins 2 solutions distinctes strictement positives. L'une des deux est où est la distance Terre-Soleil. On peut aller voir l'exercice qui vérifie cette racine ici. La deuxième solution distincte de et strictement positive suppose que les 3 observations ont été bien faites et correspondent physiquement à un même objet du système solaire. Elle n'est pas garantie mathématiquement mais s'appuie sur l'argument que cette solution "doit exister".

Voici à titre d'exemple le graphe du polynôme dans le cas de 3 observations de Jupiter à son opposition (courbe "complète" et un agrandissement):

Le polynome de la méthode de Laplace dans le cas de 3 observations de Jupiter (courbe "complète" et un agrandissement). L'axe horizontal est gradué en ua. On note que ce polynôme n'est pas très bien conditionné car la vue d'ensemble ne donne pas une idée des racines ni même du nombre de ces racines. La deuxième figure est agrandissement sur la partie utile. On voit la racine ua () et les 2 autres racines dont celle qui nous intéresse à 5 ua.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Auteur: Alain Vienne

En Mécanique Céleste, on est souvent conduit à utiliser les polynômes de Legendre que l'on note ici .

C'est le cas, par exemple, dans le développement du potentiel terrestre. Si on suppose que la Terre est un sphéroïde, le potentiel peut s'écrire:

est la constante de gravitation de la Terre, la masse totale de la Terre, son rayon équatorial et des coefficients numériques. et sont le rayon et la latitude du point pour lequel on évalue le potentiel .

Un autre exemple d'utilisation est de considérer 2 corps et décrivant autour d'un centre des orbites proches d'un mouvement elliptique. Pour décrire les perturbations (gravitationnelles) entre et , on doit écrire l'inverse de la dsitance entre et , , en fonction de leurs éléments d'orbite. On montre facilement que:

Avec , , et l'angle entre et vu de .

Cette dernière expression est développée en puissance de grâce aux polynômes de Legendre:

Ce développement est rapidement convergent si est petit. C'est le cas si, par exemple, est la Terre, le Soleil et un satellite artificiel.

Plus de détails de ces développement peuvent être vus dans le cours de Mécanique Céleste de Luc Duriez.

Les polynômes de Legendre ont de nombreuses propriétés. Celle que nous allons utiliser dans l'exercice qui suit est la formule de Rodrigues:

Cette formule va nous permettre de montrer que l'équation a toutes ses racines dans et en a distinctes.

Auteur: Marc Fouchard

La projection de Mollweide est la projection d'une sphère sur un plan qui conserve les aires au sacrifice de la conservation des distances et des formes. La projection d'une sphère rempli une ellipse dont le petit axe est le double du grand axe.

L'avantage d'une telle projection en astronomie est qu'elle permet d'avoir une idée globale de la répartition d'une certaine quantité sur la sphère céleste par unité de surface (ou stéradian). Par exemple, l'image suivante montre la répartition du rayonnement du fond cosmologique sur une projection de Mollweide de la sphère céleste. Comme ce rayonnement est mesuré par unité de surface (ou par stéradian), la conservation des aires est ici fondamentale pour bien visualiser les données.

Le rayonnement du fond cosmologique par WMAP

Répartition du rayonnement du fond cosmologique observé par le satellite WMAP (l'échelle de couleur est entre +/- 200 micro Kelvin par rapport à une valeur moyenne) sur une projection de Mollweide de la sphère céleste. Le plan de référence est celui de la Voie Lactée dont le rayonnement a été soustrait.

Crédit : NASA/WMAP

Sur une sphère, on défini un système de coordonnées en choisissant un plan de référence (par exemple l'équateur), à partir duquel seront mesurées les latitudes, notées , un méridien de référence (par exemple le méridien de Greenwich) à partir duquel sont mesurées les longitudes, notées . Pour chaque angle un sens positif est défini (par exemple vers le nord pour les latitudes et vers l'ouest pour les longitudes).

Les coordonnées par la projection de Mollweide d'un point de coordonnées de la sphère céleste sont définies par:

où la longitude est mesurée entre et et est un angle auxiliaire défini par :

(*)

L'équation (*) ne peut être résolue analytiquement. Le but de cet exercice est de trouver une méthode permettant de déterminer afin de pouvoir calculer et .

Auteur : Marc Fouchard

La loi de Planck indique que pour un corps noir, l'énergie émise par rayonnement à une longueur d'onde donnée, ne dépend que de la température de surface du corps noir. Cette loi est donnée par la relation suivante :

où correspond à la vitesse de la lumière dans le vide, est la constante de Planck, la constante de Boltzmann, la longueur d'onde à laquelle le rayonnement est émis et la température de surface du corps noir.

La figure ci dessous montre le comportement de pour différentes températures de surface du corps noir. On peut remarquer que le maximum de la courbe se déplace sur la gauche lorsque la température augmente. Autrement dit, la longueur d'onde pour laquelle le rayonnement émis est maximal diminue lorsque la température de surface augmente.

Le but de cet exercice est de trouver la relation exacte entre et .

Auteur : Jérôme Thiébaut

Une étoile à neutron constitue l'étape ultime d'évolution des étoiles de masses inférieures à trois masses solaires. Ayant brulé tout son carburant, l'étoile devient une supernova, elle éjecte ses couches extérieures et son coeur s'éffondre sur lui même. Les électrons et les protons fusionnent ensemble et se transforment en neutrons. La densité devient alors comparable à celle de la matière nucléaire et la température est de l'ordre de K. Le but de cet exercice est de déterminer grâce à un modèle simple le rayon d'équilibre de ces étoiles.

Auteur: Jérôme Thiébaut

En relativité générale la gravitation n'est pas une force mais une déformation de l'espace temps due aux corps qu'il contient. Par conséquent, la métrique, c'est à dire la manière de mesurer les distances, s'en trouve transformée par rapport aux distances euclidiennes usuelles. La métrique de Schwarzschild est une métrique applicable à un corps massif central statique ou en rotation lente. Cette métrique s'applique à l'extérieur du corps en question et n'est plus valable en son sein. Elle permet de plus, à grande distance ou dans le cas de potentiel faible, de retrouver la gravitation newtonnienne. Le but de cet exercice est de montrer que pour des trous noirs, il existe une orbite circulaire en deça de laquelle il est impossible d'orbiter, et que cette orbite correspond à la trajectoire de photons.

On trouvera dans cette partie les exercices suivants :

• Détermination de la relation entre redshift et facteur d'échelle (changement de variable d'intégration)
• Calcul de la surface d'une calotte sphérique (aire d'une surface)
• Calcul du potentiel terrestre en modélisant l'aplatissement équatorial par un anneau (intégrales définies)
• Détermination du redshift d'une supernova (changement de variable d'intégration)
• Calcul du bruit de numérisation dans une caméra CCD (intégrales définies)
• Démonstration de la loi de Stefan pour les corps noirs (intégrales généralisées)
• Calcul de la distribution des vitesses moléculaires dans un gaz (intégrales généralisées)
• Calcul du temps de vie d'une étoile (intégrales généralisées)

Auteur : Jérôme Thiébaut

En coordonnées cartésiennes, un élément de longueur se calcule selon le théorème de Pythagore: .

Ceci donne en coordonnées sphériques: .

On voit que l'expression de dépend de la métrique utilisée, c'est à dire de la manière de décrire l'espace. En cosmologie, dans le cadre de la relativité générale, on calcule de même les éléments de longueur en fonction de la métrique de l'espace temps soit:

,

ou est le facteur d'échelle qui décrit l'expansion de l'univers, le temps, , et les coordonnées comobiles (c'est à dire fixes par rapport à l'expansion de l'univers) , la vitesse de la lumière et la courbure de l'univers.

Pour un photon, la trajectoire est telle que .

On se propose dans cet exercice d'étudier la trajectoire d'un photon radial afin de relier le redshift (ou décallage spectral), , au facteur d'échelle, .

Auteur : Marc Fouchard

Etant donné qu'un observateur sur Terre se trouve à une distance finie de la Lune, lorsqu'il regarde la Lune il ne perçoit qu'une calotte et non un hemisphère. L'objectif de cet exercice est de trouver la surface de la partie de la Lune observable depuis la Terre et de comparer cette surface à celle de l'hémisphère.

On note l'observateur, le centre de la Lune et l'intersection de la sphère correspondant à la Lune avec un plan contenant la droite . Ainsi est un cercle de centre et de rayon , où est le rayon de la Lune. On note la distance . Les tangentes à passant par coupent en et . Soit le point de tel que est perpendiculaire à avec du même coté que de la droite . On note le projeté orthogonal de sur , l'angle et la distance .

La calotte visible depuis correspond donc à la partie de la surface de la Lune tournée vers et de frontière le cercle de centre et de rayon .

Auteur : Alain Vienne

Le potentiel gravitaionnel de la Terre est souvent modélisé par:

avec

C'est le potentiel évalué en un point de coordonnées sphériques (dont le plan horizontal est la plan de l'équateur).

est la masse totale de la Terre et son rayon équatorial ( la constante de gravitation universelle). est un coefficient qui caractérise l'aplatissement de la Terre suivant l'axe des pôles. Sa valeur (sans unité) est de .

Dans l'exercice qui suit, nous allons évaluer le potentiel d'un anneau massif et homogène. Nous verrons que l'expression obtenue aura exactement la même forme que celle ci-dessus.

Un exemple d'application concerne la prise en compte de la gravitation des anneaux de Saturne: il suffit de réévaluer le cooefficient d'aplatissement de Saturne.

Voici un autre exercice sur le potentiel gravitationnel terrestre.

Auteur: Jérôme Thiébaut

Les supernovae de type 1A correspondent à l'explosion d'une étoile de type naine blanche suite à l'accrétion de matière arrachée à une étoile géante proche. Ces phénomènes extrêmement lumineux sont visibles de très loin ce qui permet leurs détections. La courbe de luminosité d'une SN1A est caractéristique et permet de déterminer sa magnitude absolue. Le but de cet exercice est de montrer comment grâce à des mesures de luminosité, on peut déterminer le redshift de l'étoile, et donc de la galaxie hôte. Le redshift étant une mesure de la distance, les SN1A servent de balises pour mesurer les distances dans l'univers.

Courbe de lumière d'une supernova.

Courbe de lumière et spectre au maximum d'intensité d'une supernova.

Crédit : Supernova Cosmology Project, Berkeley University

Auteur: Stéphane Erard

Les instruments modernes utilisent des détecteurs numériques tels que des CCD, c'est-à-dire qu'ils fournissent en sortie un signal numérisé sur un nombre fini de valeurs. Cette étape produit une erreur d'arrondi appelée "bruit de quantification" ou "bruit de numérisation" qui peut dans certains cas limiter la précision de la mesure. On étudie ici la statistique de ce bruit.

Auteur : Marc Fouchard

La loi de Planck montre que pour un corps noir, l'énergie émise par rayonnement suivant une longueur d'onde, ne dépend que de la température de surface du corps noir. Cette loi est donnée par la relation suivante :

où correspond à la vitesse de la lumière dans le vide, est la constante de Planck, la constante de Boltzmann, la longueur d'onde à laquelle le rayonnement est émis et la température de surface du corps noir.

La figure ci dessous montre le comportement de pour différente température de surface du corps noir. Sachant que l'énergie totale émise par le corps noir par seconde et par unité de surface correspond à l'aire comprise en l'axe des abcisses et la courbe, on remarque que augmente avec la température de surface du corps noir (il ne faut pas cocher la case "normaliser").

Le but de cet exercice est d'établir la relation exacte entre et la température de surface du corps noir.

Loi de Planck

Auteur: Stéphane Erard

On considère un gaz en équilibre, pour lequel on veut connaître les vitesses des molécules. La théorie cinétique des gaz ne donne qu'une valeur moyenne (la vitesse quadratique moyenne) :

où m est la masse des molécules, T est la température, k la constante de Boltzman.

On cherche ici la distribution de vitesse, c'est-à-dire la probabilité d'avoir une vitessse comprise entre v et v+dv. Le calcul qui suit est classique (non quantique) et reproduit l'étude de Maxwell au XIXe siècle.

Auteur : S. Renner

On estime ici la durée de vie d'une étoile de type solaire, en supposant tout d'abord que la seule source d'énergie est la gravitation, puis en considérant le cas réel des réactions de fusion thermonucléaire de l'hydrogène en hélium. La première hypothèse (dissipation de l'énergie gravitationnelle) est une idée qui apparaît avec les travaux de Kelvin au XIXe siècle.

On trouvera dans ce chapitre les exercices suivants :

• Détermination du rayon d'Einstein pour les lentilles gravitationnelles
• Une application en lien avec le passage des coordonnées horizontales aux coordonnées horaires (angle horaire et déclinaison)
• Résolution de l'équation de Kepler dans le cas elliptique par utilisation de formule de Taylor
• Estimation de la limite de Roche
• Les expressions du corps noir à longues et courtes longueurs d'onde

Auteur : Jérôme Thiébaut

L'idée de base de la relativité générale est que la matière, par sa masse, courbe l'espace. Ainsi, une planète orbitant autour d'une étoile n'est pas soumise à une force de gravitation mais circule librement sur un espace courbé par l'étoile. Il s'ensuit que la lumière, bien que dépourvue de masse, est également déviée par la présence d'un corps massif. Si un corps massif se situe entre une galaxie lointaine et un observateur, celui ci va donc dévier la lumière de la galaxie et déformer son image. C'est ce qu'on appelle une lentille gravitationnelle. Dans le cas où les trois objets sont parfaitement alignés, l'image de la galaxie se déforme pour former un anneau autour de la lentille appelé anneau d'Einstein. Le but de cet exercice est de déterminer le diamètre angulaire de cet anneau en fonction des caractéristiques du système (masse et distances).

Lentille Gravitationnelle

Lentille gravitationnelle : la déviation de la lumière par un fort potentiel gravitationnel (l'amas de galaxies 0024+1654) conduit à de multiples images d'un objet situé derrière le centre de masse du déflecteur.

Crédit : HST

Auteur : S. Renner

Date de création: 30 novembre 2009

On propose ici un exercice en lien avec le passage des coordonnées locales (ou horizontales) aux coordonnées horaires (angle horaire et déclinaison).

Il est donc préférable de se familiariser avec les systèmes de coordonnées utilisés en astronomie pour le repérage des étoiles dans le ciel, ainsi qu'avec les formules de base de la trigonométrie sphérique.

Auteur : S. Renner

Date de création: 31 janvier 2011

On cherche à déterminer la distance, que l'on notera , en dessous de laquelle un satellite commence à se disloquer sous l'action des forces de marée causées par la planète autour de laquelle il orbite.

Cette distance théorique s'appelle la limite de Roche. Elle tire son nom de l'astronome français qui l'a formulée en 1850.

Auteur : Marc Fouchard

Date de création: 8 Mai 2013

En astronomie on a souvent besoin de reproduire le mouvement des objets en effectuant des intégraitons numériques. Quelque soit la méthode, elle repose toujours sur des approximations et elle nécessite un certain temps de calcul. Ainsi l'objectif d'une méthode est de trouver le meilleur compromis entre temps de calcul et précision.

Une méthode très performante est la méthode dite de Taylor.

Soit l'équation différentielle suivante :

.

Soit , un pas d'intégration. Le but est de trouver avec la meilleure précision possible.

La méthode de Taylor repose sur le développement de en :

Le problème principal est donc d'estimer les coefficients du développement de Taylor de la solution.

Auteur : Stéphane Erard

Date de création: 30 Mai 2013

La loi de Planck donne l'expression exacte du spectre du corps noir. Historiquement elle a été dérivée après des approximations valables aux grandes et courtes longueurs d'onde, qui sont toujours utilisées dans certaines situations. L'exercice propose de retrouver ces approximations à partir de la loi complète.

On trouvera dans ce chapitre les exercices suivants :

• Détermination de l'équation d'évolution du champ de densité de l'univers
• Effet de l'aplatissement aux pôles du potentiel gravitationnel terrestre

Auteur: Jérôme Thiébaut

Le CMB (Cosmic Microwave Background où fond diffus cosmologique) représente le champ de densité de l'univers lorsque celui ci avait environ 300 000 ans (dans le cadre de la théorie du Big Bang). L'un des enjeux de la cosmologie est, à partir de ce champ de densité, de comprendre son évolution et la formation des structures à différentes échelles (galaxies, amas, super amas, filaments). Dans un premier temps, on peut linéariser les équations régissant le mouvement d'un fluide afin de déterminer l'évolution linéaire du champ de densité. Le but de l'exercice est de déterminer l'équation différentielle à laquelle obéit le champ de densité dans ce régime.

Le fond diffus cosmologique vu par COBE et WMAP.

Cartes du ciel obtenues par les satellites COBE (en haut) et WMAP (en bas); on remarque la résolution spatiale bien meilleure de WMAP.

Crédit : COBE/WMAP

Auteur: Arnaud Beck

A l'ordre zéro, le potentiel gravitationnel de la Terre est supposé être celui d'une masse ponctuelle située au centre de la terre. Cette hypothèse revient en fait à supposer que la symétrie sphérique de la Terre est parfaite et donc, que son potentiel gravitationnel ne dépend que de la distance au centre . Or, des mesures suffisamment précises ont montré que des effets "non sphériques" étaient détectables. Cet exercice propose d'étudier la fonction du potentiel terrestre corrigé au premier ordre. Cette correction est celle qui est due à l'aplatissement de la Terre aux pôles et rend le potentiel dépendant de la latitude.

Voici un autre exercice sur le potentiel gravitationnel terrestre.

On trouvera dans cette partie les exercices suivants :

• Problèmes simples de transfert de rayonnement (équations différentielles linéaires du premier ordre)
• La démonstration de l'équation de Kepler (équations différentielles du premier ordre)
• Une discussion sur la stabilité d'un pendule perturbé
• Résolution du problème de 2 corps (équations différentielles linéaires du second ordre)
• Détermination du potentiel dans une sphère de Debye (équations différentielles du second ordre)
• Train gravitationnel (équations différentielles du second ordre)
• Le pendule de Foucault

Le transfert de rayonnement décrit l'interaction du rayonnement électromagnétique et de la matière. Cette discipline permet notamment d'analyser la propagation de la lumière à travers un milieu gazeux et joue donc un rôle fondamental dans l'analyse des spectres stellaires et des atmosphères planétaires.

L'équation de transfert fait le bilan énergétique relatif au transport de photons dans un milieu. Comme toujours, on écrit que la quantité à laquelle on s'intéresse varie proportionnellement à sa valeur sur un intervalle suffisamment petit pour que le coefficient soit constant :

où est l'intensité lumineuse à la fréquence , est la profondeur optique du milieu, est la fonction source, égale au rapport du coefficient d'émission au coefficient d'absorption du milieu traversé.

En intégrant cette équation le long du trajet du faisceau lumineux, on a :

où est l'épaisseur optique entre les points s' et s, et est le coefficient d'absorption du milieu en z.

On veut résoudre cette équation pour connaître l'intensité en fonction des propriétés du milieu. Les exercices suivants étudient des situations particulières qu'on rencontre fréquemment.

Auteur: Marc fouchard

On reprend les résultats obtenus dans l'exercice sur la résolution du problème de 2 corps. Le but est d'obtenir à partir de ces résultats l'équation de Kepler. Cette équation est fondamentale en mécanique céleste puisque c'est elle qui fait le lien entre le temps et la position de l'objet sur son orbite (voir la figure).

Les trois anomalies

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou Fouchard

Auteur: Alain Vienne

Beaucoup de modèles dynamiques, après maintes transformations (hypothèses simplificatrices, moyennisations, ...), ressemblent au modèle du pendule (masse à une distance constante d'un point fixe sous l'effet de la pesanteur). Ici nous allons nous intéresser à un type d'équation du pendule correspondant à l'équation de Mathieu:

Si est nul, c'est l'équation d'un pendule simple pour de petites oscillations. Dans ce cas, est inversement proportionnel à la longueur du pendule. On rappelle que la période est alors .

Ici est un petit paramètre. On dit que le modèle du pendule simple est perturbé. L'équation de Mathieu est un cas particulier de l'équation

où est une fonction périodique de période qui est utilisée en Mécanique Céleste pour l'étude du mouvement de la Lune.

De manière plus ludique, ces équations peuvent modéliser le mouvement d'une balançoire dont le passager se lève et s'assied (périodiquement) afin de s'élancer. Le fait de se lever et de s'assoir régulièrement revient à déplacer le centre de gravité du passager et donc, revient à faire varier périodiquement la longueur du pendule (ici la balançoire).

L'exercice qui suit ne résoud pas l'équation différentielle. Il cherche simplement à savoir dans quelles conditions la solution est bornée ou non (problème de stabilité). Il est insipré du théorème de Gustave Floquet (1847-1920).

Auteur: Arnaud Beck

Un plasma est une collection de particules chargées. Pour simplifier, considérons qu'il n'est composé que d'électrons de charge et d'ions de charge .

Un ion, considéré comme ponctuel, lorsqu'il est dans le vide crée autour de lui un potentiel où est la distance à l'ion. Ce potentiel est appelé le potentiel Coulombien.

Dans un plasma, il en va différemment. En effet, il va attirer autour de lui des charges de signe opposé (les électrons) qui vont écranter son potentiel. La sphère d'électrons qui se forme autour de l'ion est appelée la sphère de Debye et son rayon est appelé la longueur de Debye. C'est un paramètre fondamental en physique des plasmas.

Auteur : Marc Fouchard

En mécanique céleste le premier problème à résoudre est le problème de deux corps. Ce problème consiste à trouver les trajectoires de deux corps s'attirant l'un l'autre suivant le principe universelle de la gravitation établi par Newton.

Si on considère deux corps ponctuels et de masses respectives et , isolés de toute autre influence, alors l'équation du mouvement de par rapport à est:

où avec la constante universelle de la gravitation, et avec et désignant les vecteurs positions des corps et dans un repère inertiel.

Le but de l'exercice est donc de résoudre cette équation.

Auteur: S. Renner

Date de création: 14 décembre 2009

L'accélération de la pesanteur dépend de la distance au centre de la Terre. Dans l'exercice qui suit, on va utiliser cette propriété pour imaginer un moyen de transport très rapide: en perçant un tunnel rectiligne entre 2 points A et B quelconques de la surface terrestre, un train roulant sans frottement dans ce tunnel pourrait parcourir très rapidement la distance entre A et B. La durée du trajet, de 42 minutes environ, est même indépendante des points A et B choisis.

Florent Deleflie & Alain Vienne

Date de création: 21décembre 2010

Le pendule de Foucault est une expérience conçue pour mettre en évidence la rotation de la Terre, depuis un site terrestre d'observation. Son principe est basé sur la force de Coriolis qui existe dans tout réferentiel non galiléen, comme le référentiel terrestre d'observation. La réalisation de l'expérience est facilitée si la longueur du pendule est grande, comme sous le dôme d'une cathédrale par exemple. La première démonstration publique a eu lieu en 1851, sous la voûte du Panthéon, à Paris.

L'animation ci-dessous tient compte de toutes les forces sans les approximations qui seront faites dans l'exercice suivant.

Pendule de Foucault

On trouvera dans cette partie les exercices suivants :

• démonstration de la loi de Wien pour les corps noirs (application du théormème du point fixe)

Auteur: Marc Fouchard

La loi de Planck montre que pour un corps noir, l'énergie émise par rayonnement suivant une longueur d'onde, ne dépend que de la température de surface du corps noir. Cette loi est donnée par la relation suivante :

:

où correspond à la vitesse de la lumière dans le vide, est la constante de Planck, la constante de Boltzmann, la longueur d'onde à laquelle le rayonnement est émis et la température de surface du corps noir.

La figure ci dessous montre le comportement de pour différente température de surface du corps noir. On peut remarquer que le maximum de la courbe se déplace sur la gauche lorsque la température augmente. Autrement dit, la longueur d'onde pour laquelle le rayonnement émis est maximal diminue lorsque la température de surface augmente.

Loi de Planck

Le but de cet exercice est de trouver la relation exacte entre et .

On trouvera dans cette section des exercices concernant :

• les logarithmes (magnitudes des étoiles)
• les exponentielles (désintégration radioactive)
• les fonctions hyperboliques (univers à courbure négative, équation de Kepler hyperbolique)

Auteur: Alain Vienne

Les anciens classaient les étoiles suivant leur "grandeur". Cette grandeur correspond à l'éclat tel que le percevaient les anciens: ils observaient des étoiles de "première grandeur", de "deuxième grandeur", etc ... On appelle aussi ces grandeurs magnitudes et on la note : pour l'étoile la plus brillante du ciel (Véga de la constellation de la Lyre) et est souvent considéré comme la limite des étoiles visibles à l'oeil nu. Avec les plus grands télescopes actuels, on peut voir jusqu'à la magnitude 30. A l'inverse, le Soleil qui est très "éclatant" a une magnitude -27.

Voir aussi le cours AMC

En fait, la perception visuelle suit une échelle logarithmique par rapport au phénomène physique correspondant. Pour conserver la classification des anciens, la magnitude ou magnitude apparente (puisque que c'est la magnitude qui nous "apparaît" de l'endroit où on observe) est définie par: où est l'éclat de l'astre que l'on observe. est l'éclat de l'étoile Véga qui est ainsi prise en référence (pour assurer que sa magnitude apparente est 0). On rappelle que la notation désigne le logarithme en base 10.

Il est clair que l'éclat est d'autant plus important que l'observateur est proche de la source lumineuse. Plus précisément, on a où est la puissance totale émise par l'astre et est sa distance.

Pour caractériser la brillance intrinsèque d'un astre, on utilise la magnitude absolue, notée . C'est la magnitude qu'aurait cet astre si il était observé à la distance de 10 parsecs. On a donc pour un même astre : et avec

On rappelle que le parsec est la distance pour laquelle on voit le rayon de l'orbite de la Terre (1 UA) sous l'angle de 1" de degré. Ainsi (de la même manière qu'il y a 206265 " dans un radian).

Auteur: Stéphane Erard

Les éléments chimiques les plus légers sont formés au début de l'univers, les plus lourds sont formés essentiellement dans les étoiles.

Tous ne sont pas stables. Un radionucléide est un noyau atomique instable qui se désintègre en une autre espèce. La probabilité de désintégration de chaque atome est constante au cours du temps, et les événements sont indépendants.

Auteur: Jérôme Thiébaut

Les équations d'Einstein de la relativité générale appliquées à l'univers que l'on suppose être un fluide homogène et isotrope, aboutissent à l'équation de Friedmann,

,

décrivant l'évolution de l'univers en fonction de son contenu. Ce contenu est défini par les paramètres de densité de matière, , de rayonnement, , de constante cosmologique, et de courbure, . est la constante de Hubble et est le facteur d'échelle décrivant l'évolution de l'univers. La composition de l'univers évoluant avec le temps, les différents paramètres de densité ont des importances relatives différentes en fonction de l'ère cosmologique considérée. Ils sont tour à tour dominants ( puis et et enfin ) ou négligeables. On se propose dans cet exercice d'étudier un modèle d'univers dominé par la matière avec une courbure négative et de vérifier si il peut coïncider avec les observations actuelles.

Auteur: Marc Fouchard

astrolabe

Astrolabe du XVI siècle.

Crédit : David Monniaux, licence : CC BY-SA 3.0

L'astrolabe est un outil astronomique permettant de représenter la partie du ciel observée en fonction de la date et de l'heure pour un lieu donné. Il permet ensuite de faire différentes mesures comme la détermination des heures de lever et de coucher d'un astre. Les applications de l'astrolabe sont pourtant très nombreuses. Pour avoir plus de détails, on pourra aller voir l'astrolabe.

La construction d'un astrolabe repose sur la projection stéréographique. Le but de cet exercice est d'étudier les propriétés principales de cette projection et d'en déduire l'image de points et de cercles caractéristiques de la sphère céleste.

Ce sont ces constructions qui ont permis de construire l'animation suivante.

astrolabe

sphère céleste

Sur une sphère céleste un point est repéré par une longitude et une latitude. La latitude correspond à un angle entre donnant la hauteur au dessus d'un grand cercle de référence et en choisissant un côté positif (comme sur Terre, la latitude d'un lieu correspond à une hauteur au-dessus de l'équateur, comptée positivement dans l'hémisphère nord). Ce cercle de référence permet de définir l'axe des pôles et les pôles. La longitude correspond à l'angle, compris dans l'intervalle , entre un méridien de référence et le méridien passant par le point considéré. Cet angle est mesuré sur le cercle de référence en choisissant un sens positif. Sur la Terre les longitudes sont mesurées à partir du méridien passant par Greenwich en prenant comme sens positif la direction de l'Ouest (ce qui correspond au sens des aiguilles d'une montre lorsqu'on regarde du pôle nord).

Dans notre cas, la sphère céleste est une sphère de rayon unité (arbitraire), centrée sur l'observateur. Sur cette sphère on projette l'équateur terrestre, ce qui nous donne un grand cercle , appelé équateur céleste, le pôle nord se projette au point et le pôle sud au point , appelés respectivement pôle céleste nord et pôle céleste sud.

En astronomie différents ensembles de longitude et de latitude sont utilisés :

• les coordonnées locales : le grand cercle de référence correspond à la projection de l'horizon sur la sphère céleste. Les pôles sont donc la direction de la verticale du lieu appelé zénith et la direction opposée appelée Nadir. Ainsi, la latitude correspond à une hauteur sur l'horizon céleste, notée et positive au dessus de l'horizon, et une longitude mesurée sur l'horizon céleste, appelée azimut et notée , en prenant comme méridien d'origine celui passant par le pôle céleste sud et comme sens positif vers l'ouest.
• Les coordonnées horaires : définies par rapport à l'équateur céleste, avec une latitude, appelée déclinaison et notée , positive vers le pôle céleste nord, et une longitude appelée angle horaire et noté , avec comme méridien d'origine le méridien passant par le zénith et comme sens positif vers l'ouest.
• Les coordonnées équatoriales :même latitude que le précédent mais la longitude, appelée ascension droite et notée , est mesurée par rapport au méridien d'origine qui contient la position du Soleil au moment de l'équinoxe de printemps et le sens positif est le sens trigonométrique (vue du pôle nord). Cette position est appelé le point vernal et ce sens positif correspond au sens du mouvement annuel du Soleil.

La figure ci-dessous montre la correspondance entre ces différents systèmes de coordonnées. On remarquera aussi sur la figure le lien entre la position du zénith et la latitude terrestre du lieu.

sphère céleste

Les coordonnées utilisées en astronomie. Le grand cercle vert correspond à l'horizon céleste et le rouge à l'équateur céleste. La hauteur du pôle céleste nord sur l'horizon correspond à la latitude du lieu. Le point correspond à la direction du point vernal.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard

En un lieu de latitude on a alors les équations suivantes permettant de passer d'un ensemble de coordonnées à l'autre:

Le lien entre l'ascension droite et l'angle horaire se fait en utilisant l'angle horaire du point vernal appelé temps sidéral, que l'on notera . On a la relation : .

Auteur: Marc Fouchard

Le but de cet exercice est de construire une carte illustrant la partie visible du ciel en un lieu donné en fonction de la date et de l'heure.

On peut voir dans l'animation ci-dessous le résultat final de cet exercice. L'horizon est fixe tandis que le fond d'étoiles fixes et le Soleil défilent à cause de la rotation de la Terre sur elle-même.

carte du ciel

Pour bien comprendre le but de l'exercice, il faut bien assimiler les deux sphères célestes qui interviennent ici. On pourra aller voir cette page où ces deux sphères sont présentées, ainsi que les 3 principaux systèmes de coordonnées utilisés en astronomie.

On trouvera dans ce chapitre les exercices suivants :

• Détermination de l'entropie de l'univers en fonction de sa température (dérivations partielles)
• Formulation hamiltonienne du problème des deux corps (dérivations partielles)
• Variables de Delaunay dans le problème des deux corps (dérivations partielles)
• Théorème d'inversion de Lagrange (dérivations partielles)
• Paramètre de Tisserand (dérivations partielles)
• Photométrie planétaire (intégrales multiples)
• Théorème de Liouville (intégrales multiples)

Auteur : Jérôme Thiébaut

La connaissance du contenu de l'univers en terme de particules et d'énergie est indispensable à la compréhension de son évolution. Juste après le Big Bang, l'univers était très chaud et les premières particules présentes n'étaient ni des électrons ni des protons, mais plutôt des quarks, neutrinos... En se diluant, l'univers refroidit et les particules qui le constituent changent et évoluent ensemble puis séparément. La température de l'univers est donc une quantité extrêmement importante. La thermodynamique est la branche de la physique qui permet de traiter ce problème. Elle permet, grâce à ses lois, de relier entre elles diverses quantités fondamentales telles que la température, la pression, l'énergie, la densité de particules, de photons... L'entropie est une de ces quantités. Elle mesure en quelque sorte le degré de désordre d'un système microscopique, où autrement dit, la capacité d'un système de particules à produire ou non des phénomènes collectifs. Le but de cet exercice est d'exprimer l'entropie en fonction de la température de l'univers.

Auteur : Marc Fouchard

On a vu dans cet exercice comment résoudre le problème de deux corps. Nous allons voir ici, comment obtenir les équations hamiltoniennes de ce problème.

On considère donc un corps ponctuel de masse unité mobile dans un plan et soumis à l'attraction gravitationnelle d'un corps fixe de masse se trouvant en . On suppose que .

Auteur: Marc Fouchard

On a vu dans l'exercice sur la formulation hamiltonienne du problème de 2 corps, comment écrire les équations de hamilton de ce problème. Cependant, on n'intégrait pas les équations. On va voir ici, qu'en utilisant des variables hamiltoniennes appropriées on peut intégrer le problème très facilement. Ces variables sont les variables de Delaunay.

Auteur: S. Renner

Le théorème d'inversion de Lagrange donne le développement en série d'une fonction définie implicitement. L'application de ce théorème permet entre autres d'obtenir une solution numérique de l'équation de Kepler , ou d'écrire des développements utiles du problème des deux corps.

Voici un énoncé de ce théorème :

Soit fonction de 2 variables et et d'une fonction infiniment dérivable de la forme : avec petit.

Alors .

On propose ici de le démontrer par une méthode reposant sur les dérivées partielles, révélée par Pierre-Simon Laplace.

Auteur: Marc Fouchard

Date de création: 9 Mai 2013

L'objectif de cet exercice est de déterminer le paramètre de Tisserand qui est une quasi-constante du mouvement pour les comètes observées. Ainsi ce paramètre permet de montrer que l'observation de deux comètes à des époques différentes correspondent en fait au même objet.

Les surfaces planétaires réfléchissent la lumière solaire d'une façon qui dépend de leurs propriétés et de leur composition. Si les caractéristiques spectrales reflètent la composition (minéralogique) d'une surface, la distribution angulaire du rayonnement diffusé dépend surtout de ses propriétés physiques : taille de particules, porosité, rugosité à diverses échelles...

Divers modèles photométriques rendent compte de ces comportements, en décrivant la dépendance angulaire de la luminance. La luminance est la puissance émise ou diffusée dans un angle solide élémentaire par unité de surface. Il s’agit d’une caractéristique intrinsèque à la source lumineuse :

Figure 1

Géométrie d'observation d'une surface

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Dans la configuration générale décrite Figure 1, la luminance est définie de la façon suivante :

où dW est la puissance recueillie par le détecteur, e est l'angle sous lequel on voit la source, l'angle solide sous lequel la source voit le détecteur, et S la surface de la source. Dans le Système International, la luminance se mesure en , ou dans un intervalle de longueur d'onde élémentaire en .

Le modèle photométrique le plus commun est le modèle lambertien, que suit notamment le corps noir : la luminance est simplement isotrope (ne dépend pas de la direction e).

Auteur : Marc Fouchard.

Le but de cet exercice est de montrer qu'un volume soumis à un flux, c'est-à-dire qu'en chaque point de l'espace on peut associer un vecteur vitesse donné par une équation différentielle d'ordre 1, hamiltonien reste constant.

La figure suivante illustre cette propriété dans le cas du problème de 2 corps plan. Comme on est à deux dimensions un volume correspond à une surface. Le disque est soumis à une force gravitationelle due à un corps massif se trouvant à l'origine. La surface verte est constante au cours du temps, même si la forme est fortement modifiée.

théorème de Liouville

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Fouchard

Un flux hamiltonien vérifie les équations d'hamilton. C'est-à-dire que le point de coordonnées vérifie les équations différentielles suivantes :

, avec .

où est le hamiltonien du système, indépendant du temps.

On trouvera dans ce chapitre les exercices suivants :

• Spectre de puissance du champ de densité de l'univers (séries de Fourier).

Auteur: Jérôme Thiébaut

L'un des outils les plus utilisés pour étudier le champ de densité de l'univers est le spectre de puissance . Ce spectre est relié à la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation du champ et est une fonction des fréquences spatiales . En d'autres termes, la transformée de Fourier revient à effectuer un changement de base et à remplacer le champ définie de manière locale par une somme de sinusoides, contenues dans une boîte de taille L, définissant le champ de manière globale.

Ainsi, le spectre de puissance donne pour chaque , le poids de cette fréquence.

Dans la jeunesse de l'univers, celui ci était invariant d'échelle, ce qui signifie qu'il n'existait aucune longueur caractéristiques ou privilégiée. Ainsi le spectre était une loi de puissance de la forme . On voit que la connaissance d'une seule quantité, l'indice , procure beaucoup d'information. Le spectre de puissance est donc un outil très puissant et est extrêmement utilisé en cosmologie, notamment dans les simulations numériques.

Le but de cet exercice est de relier de manière précise le spectre de puissance à la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation du champ de densité.

On trouvera dans cette partie les exercices suivants :

• Excentricité limite dans les développements du problème des deux corps
• Dérivation des relations de Kramers-Kronig par le théorème des résidus

Auteur: Alain Vienne

En mécanique céleste, il est quelque fois utile d'utiliser certaines formules du problème à 2 corps (ou problème keplerien) sous forme de développements. Cela permet, en théorie des perturbations, de faire des calculs analytiques.

Par exemple, l'"équation du centre", qui donne la position du corps sur son orbite en fonction du temps, est:

est l'anomalie vraie, c'est à dire l'angle qui positionne le corps sur son orbite à partir de la direction du minimum de distance (péricentre ). est le temps ou plus précisément c'est l'anomalie moyenne avec la période, le temps et l'instant de passage au péricentre. est l'excentricité.

Attention cette formule est bien une série entière en (mais tronquée à l'ordre 4). Cela aurait été plus net si on l'avait écrit comme:

Mais, en fait, on préfère l'écriture en série de Fourier, c'est-à-dire:

En tant que série de Fourier, la convergence ne pose pas de problème car la fonction à considérer est de classe par rapport à la variable . Seulement, dès que les sont tronqués à un certain ordre en excentricité, cela revient à considérer la série entière.

L'exercice qui est proposé utilise le théorème de Lagrange pour montrer que la série entière ci-dessus (et toutes celles du problème des 2-corps) converge si . Cela signifie que ces séries ne peuvent être utilisées que pour des excentricités bien en deça de cette valeur. Evidemment, la solution du problème à 2 corps elle-même existe quelque soit l'excentricité.

Un autre exercice avec ce théorème est disponible ici.

Auteur: Stéphane Erard

Les relations de Kramers-Kronig relient les indices de réfraction réel et imaginaire d'un même milieu matériel. Ceux-ci, bien qu'on les appelle couramment constantes optiques, varient en fonction de la longueur d'onde d'une façon caractéristique de la composition du milieu. A ce titre, ils jouent un rôle particulièrement important en Astrophysique puisque l'étude de la lumière produite, absorbée ou réfléchie par un astre distant permet de connaître sa composition.

La partie réelle de l'indice (généralement appelée indice de réfraction) intervient dans les lois de Snell-Descartes, la partie imaginaire (coefficient d'absorption) rendant compte de l'absorption au cours de la propagation dans le milieu. La mesure simultanée des deux quantités est difficile ; les relations de Kramers-Kronig qui permettent de calculer l'un en connaissant l'autre ont donc une grande importance pratique en spectroscopie de laboratoire.

On trouvera dans cette partie les exercices suivants :

• Calcul de la distance Terre-Lune (application du théorème de Thalès)
• Visibilité d'un satellite artificiel (application du théorème de Pythagore)
• Extinction atmosphérique et observation du Soleil couchant (application des théorèmes de Pythagore et Al Kashi)
• Détermination historique de la vitesse de la lumière (application du théorème d'Al Kashi)
• Démonstration géométrique de la loi des aires
• Détermination de la vitesse orbitale de la Terre autour du Soleil (et de la distance Terre-Soleil) par l'effet Doppler-Fizeau
• Etablissement géométrique de l'équation de Képler
• Démonstration de la loi des aires et de l'intégrale de Laplace (application du produit vectoriel)
• Trajectoire balistiques dans le système solaire (application des coniques)
• Description des solutions du problème à deux corps (application des coniques)
• Estimation de la masse du trou noir central à partir de la trajectoire d'une étoile sur la sphère céleste (application des coniques)
• Angles solides et photométrie (géométrie dans l'espace)
• Croissant de Lune vu à l'horizontal (par la géométrie sphérique)

Auteur: Arnaud Beck

La première estimation de la distance Terre-Lune date de la Grèce antique. Pourtant elle est d'une précision remarquable. Elle a été effectuée par Aristarque de Samos vers 250 avant JC. Celui-ci a eu l'idée d'observer une éclipse de Lune pour comparer le rayon de la Lune avec l'ombre de la Terre projetée sur la Lune. Cette méthode est facile à mettre en oeuvre et d'une grande précision mais a l'inconvénient de donner uniquement le rapport des rayons lunaire et terrestre. Pour connaître la valeur du rayon de la Lune il faut donc connaître celui de la Terre.

Dans cet exercice, on se propose de refaire les calculs d'Aristarque de Samos en se basant sur les observations qu'il avait lui-même effectuées en son temps et de retrouver le rapport entre les rayons lunaire et terrestre.

Auteur: Alain Vienne

On propose ici une application simple et directe du thèorème de Pythagore. Il faut le considérer ici comme une révision des "années collège et lycée" de l'étudiant. Notre expérience d'enseignement montre que cela n'est pas inutile.

On considère un satellite à une certaine altitude. Il s'agit de savoir sur quelle partie de la Terre il sera visible. Cet excercice peut s'appliquer directement pour savoir d'où est visible une montagne.

L'exercice proposé dans la partie "intégrale de Rieman" est plus complet et calcule notamment la surface correspondante.

Auteurs: Arnaud Beck, Stéphane Erard

Quand le Soleil est au zénith, impossible de le regarder à l'oeil nu sans être ébloui voire même se brûler la rétine. Pourtant, le soir tombé, on peut admirer le Soleil couchant sans la moindre gêne.

Cela s'explique simplement par la diffusion des rayons solaires par les molécules de l'atmosphère. En effet, quand les rayons du Soleil rencontrent une molécule, une partie d'entre eux est déviée ou absorbée. Et plus le nombre de particules qu'ils rencontrent est grand, plus la proportion de rayons déviés est grande et l'énergie lumineuse reçue par l'observateur sera réduite d'autant.

Dans cet exercice, on propose de quantifier le nombre de particules rencontrées par un rayon de Soleil en fonction de sa position dans le ciel par rapport à un observateur potentiel. Le parcours atmosphérique est également calculé dans le cas général.

Auteur: Stéphane Erard

Depuis l'antiquité jusqu'au XVIIe siècle, plusieurs conceptions de la lumière se sont succédées. Il était notamment impossible de dire si la lumière se propage instantanément ou à vitesse finie. En 1676, Ole Römer met en évidence une vitesse de propagation finie, dont il estime un ordre de grandeur correct à partir de l'observation des satellites de Jupiter. Cette méthode est reproduite ici.

Auteur: Alain Vienne

La loi des aires dit que, dans le problème de l'interaction gravitationnelle de deux corps, l'aire balayée par le rayon vecteur est proportionnel au temps. Cette loi est aussi appelée "deuxième loi de Kepler" (voir aussi dans ce même chapitre, le lien suivant).

La loi des aires : les aires décrites par le mobile dans des temps égaux sont égales. Ainsi, lorsque l'astre s'éloigne du Soleil, sa vitesse diminue.

Crédit : Astrophysique sur Mesure

En fait, la loi des aires est plus générale que la deuxième loi de Kepler puisque qu'elle s'applique pour toute force centrale. Pour la démontrer, il faut bien-sur utiliser la loi fondamentale de la dynamique:

La preuve qui est proposée en exercice utilise un modèle discret. Elle est directement inspirée d'une application isssue du livre de Daniel Perrin "Nombre, mesures et géométrie" (Ed. CASSINI). Ainsi le temps est une juxtaposition d'instants de durée très courte de telle sorte que . La discrétisation revient à supposer qu'entre les instants et , le mobile se déplace de à avec la vistesse constante . En vecteur la vistesse est donc . Sur l'intervalle suivant , la vitesse est différente mais constante aussi pour cette durée: . Ainsi à l'instant l'accélération est .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Le modèle continu s'obtient facilement par passage à la limite.

La loi fondamentale de la dynamique s'écrit alors:

Les outils mathématiques nécéssaires à cette preuve se limitent alors à deux petits lemmes que Daniel Perrin nomment lemmes de découpage et que nous admettrons:

Auteur: S. Renner

Date de création: 2 mars 2009

On observe Arcturus, troisième étoile la plus brillante du ciel (dans la constellation du Bouvier), à deux dates et espacées de 6 mois.

La latitude par rapport au plan de l'orbite de la Terre est , et la longitude par rapport à une direction fixe est . A l'instant la longitude de la Terre est , et à l'instant . Voir la figure ci-dessous pour les conditions d'observation.

Situation de l'observation d'Arcturus. Voir texte pour la valeur des angles.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

On effectue aux dates et un spectre de la lumière de l'étoile. L'étude des raies d'absorption permet de remarquer qu'une raie d'absorption du fer, qui normalement se situe à nm, est mesurée nm sur le spectre obtenu à la date , et nm sur celui obtenu à la date .

L'objectif est d'en déduire la vitesse orbitale de la Terre autour du Soleil, ainsi que la distance moyenne Terre-Soleil.

Auteur: S. Renner

Date de création: 16 mai 2013

On reprend les résultats obtenus dans l'exercice sur la résolution du problème des 2 corps. Le but ici est d'établir l'équation de Kepler à l'aide de la géométrie essentiellement, plutôt que par le calcul. L'équation de Kepler () est importante car elle fait le lien entre la position de l'objet sur son orbite (voir la figure ci-dessous) et le temps, ou plus précisément l'anomalie moyenne , avec la période orbitale, le temps et l'instant de passage au péricentre.

Les trois anomalies

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou Fouchard

Auteur: Alain Vienne

Quand on formule le problème des 2-corps, on arrive au problème de Képler, c'est-à-dire à l'équation différentielle vectorielle suivante:

est une constante réelle positive et . est un point fixe et on étudie le mouvement de .

Les deux exercices proposés donnent la loi des aires et l'intégrale de Laplace.

En fait, le premier exercice aura 2 conséquences: la première est que le mouvement est plan et la deuxième que la loi du mouvement est la loi des aires proprement dite:

La loi des aires : les aires décrites par le mobile dans des temps égaux sont égales. Ainsi, lorsque l'astre s'éloigne du Soleil, sa vitesse diminue.

Crédit : Astrophysique sur Mesure

Auteur : Alain Vienne

On considère une sonde spatiale qui se déplace dans le système solaire. On suppose qu'elle ne subit que l'attraction gravitationnelle du Soleil . Sous cette hypothèse, le mouvement de cette sonde autour du Soleil est un mouvement képlérien c'est-à-dire que la trajectoire est une conique dont le Soleil occupe l'un des foyers.

Les coniques sont des ellipses (comme le dit la première loi de Képler) ou des hyperboles ou des paraboles.

On ne considère pas ici le cas des paraboles qui est le cas limite entre les ellipses et les hyperboles. Une parabole peut être vue comme une ellipse dont l'un des foyer est rejeté à l'infini, ou symétriquement, comme une hyperbole dont l'un des foyers est rejeté à l'infini.

L'exercice proposé considère 2 points et du système solaire avec plus près de que . On peut considérer que est la Terre et que est Jupiter. Cela permet de fixer les idées mais il n'y a aucune obligation formelle à cela. On fait partir la sonde du point pour qu'elle arrive au point . étant l'un des foyers, on note le second foyer de la conique qui définit la trajectoire.

Auteur: Marc Fouchard

L'exercice de ce lien montre que la solution générale du problème de deux corps est de la forme:

où est la distance entre un corps se trouvant à l'origine et le second corps , et l'angle entre une direction de référence et le vecteur et un nombre réel supérieur ou égale à zéro et un nombre réel strictement supérieur à zéro.

Solutions du problème de 2 corps

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Benoît Mosser

Le but de cet exercice et d'étudier les diférentes familles de solution de cette équation.

Auteur : Alain Vienne

On dispose d'un tracé de l'orbite apparente d'une étoile (appelée S2) autour d'un point (SgrA) localisé par diverses méthodes comme étant au centre de notre Galaxie. Cette orbite est une ellipse qui diffère de l'orbite réelle car elle est vue en projection sur la sphère céleste. Le plan de la figure ci-dessous est le plan perpendiculaire à la ligne de visée: le plan de projection On se propose de trouver les caractéristiques géométriques de l'ellipse réelle, qui permettent finalement de calculer la masse centrale: sa valeur n'est compatible qu'avec celle d'un trou noir. On utilise la troisième loi de képler qui relie cette masse, la période et le demi-grand axe.

Orbite apparente d'une étoile autour de SgrA

Crédit : European Southern Observatory / ESO

On cherche à caractériser la partie de l'espace délimitée par un cône de sommet O et de demi-ouverture . On considère la calotte sphérique de rayon R et d'aire S(R) délimitée par ce cône. La quantité

est indépendante de R. Elle mesure l'angle solide défini par le cône.

Cette quantité sans dimension est mesurée en stéradians (sr) - voir la définition des unités physiques.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Auteur: Alain Vienne (et le groupe IREM de Lille1)

On se propose d'établir les conditions pour que le croissant de Lune soit vu d'un lieu de la Terre comme une gondole:

Croissant de Lune vu horizontalement (comme une "gondole").

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Nous allons étudier ce problème par la trigonométrie sphérique qui permet de voir facilement les choses. La notion de sphère céleste est issue du fait que, à un lieu donné et à une date donnée, l'observateur n'a pas accès à la distance entre lui et l'objet céleste. Cet observateur peut alors considérer que tous ces objets sont à une même distance (arbitraire). Cela revient à dire que l'observateur n'appréhende que les directions issues de sa position. Or l'ensemble de ces directions s'identifie à une sphère centrée sur ce point.

Aucune formule n'est nécessaire pour résoudre l'exercice suivant. Il suffit de connaitre les bases. Soit:

• On considère une sphère de rayon 1.
• L'intersection de tout plan passant son centre avec la sphère est un grand cercle. Les grands cercles sont les géodésiques de la sphère.
• On s'oriente sur la sphère par la donnée un grand cercle orienté (ou de manière équivalente par un point appelé pôle qui est situé à 90° du grand cercle origine) et par une origine sur ce grand cercle.

Auteur: Alain Vienne (et le groupe IREM de Lille1)

Il est peut-être plus facile de voir les 2 cas (coplanaire et non-coplanaire) en raisonnant sur la sphère des fixes. Précédemment, on regardait le mouvement diurne d'un point de la sphère des fixes (le pôle de l'écliptique) sur la sphère locale (de pôle ). Ici, nous allons faire la démarche réciproque: on regarde le mouvement diurne de sur la sphère des fixes. On utilise la condition suivante:

En effet, nous avons vu que c'est la condition pour voir la Lune comme une gondole (ou tout au moins, la Lune à l'horizontal).

Petit cercle des zéniths sur la sphère des fixes durant le mouvement diurne. Cas d'une zone tempérée (à gauche) et d'une zone intertropicale (à droite). Cas de la Lune sur l'écliptique (en haut) et cas de la Lune de part et d'autre de l'écliptique à au plus (en bas).

Crédit : Alain Vienne / IREM de Lille

Sur une sphère des fixes où on a placé l'équateur, l'écliptique et leur pôle, et pour une latitude donnée, on trace le petit cercle correspondant aux positions prises par le zénith au cours du mouvement diurne (petit cercle des ). A chacune de ces positions de , il correspond un seul grand cercle passant par le Soleil: c'est le vertical du Soleil. On obtient ainsi un "faisceau" de grands cercles dont les sommets sont le Soleil et le point diamétralement opposé. Sur la figure, pour ne pas encombrer celle-ci, nous en avons tracé qu'une partie puisque qu'on les a arrétés au niveau du petit cercle des. En réalité, ces grands cercles sont bien complets de sorte que toute la calotte sphérique se situant au dessus du petit cercle des est parcouru par ces grands cercles. Ainsi la sphère est divisée en deux parties: celle contenant chaque vertical du Soleil et l'autre.

La Lune doit se trouver dans la première partie (les "faisceaux" de la figure). La frontière entre ces deux parties correspond au vertical du Soleil qui est tangent au petit cercle des .

Cas de la Lune sur l'écliptique: Ce cas correspond aux 2 dessins du haut de la figure. En dehors de la zone intertropicale (à gauche), l'écliptique coupe les "faisceaux" qu'en ses sommets: au Soleil et au point diamétralement opposé. Si on impose à la Lune d'être sur l'écliptique, il n'y a qu'en ces points que la condition est réalisée (éclipses). Par contre, dans la zone intertropicale, tout l'écliptique est contenu dans les "faisceaux". Ainsi la condition est réalisée deux fois par jour comme on l'a vu dans précédemment.

Cas où la Lune est de part et d'autre de l'écliptique:

L'orbite de la Lune est inclinée d'environ sur l'écliptique. Son noeud qui permettrait de positionner le grand cercle correspondant à son orbite, a un mouvement de rétrograde de an (période: 18,6 ans). Pour ne pas rentrer dans trop de détails superflus à la compréhension, nous allons simplement considérer que la Lune est de part et d'autre de l'écliptique sur une bande large de . Bien-sur, il ne faut pas oublier que la Lune parcourt en fait un grand cercle contenu dans cette bande: la position en longitude dans cette bande dépend de la date dans la lunaison et la position "verticale" dans cette bande dépend de la position du noeud de l'orbite lunaire.

On remarque ainsi qu'au voisinage de la pleine Lune ou au voisinage de la nouvelle Lune, la condition de "Lune horizontale" est possible partout sur la Terre. Mais on se rend bien compte que, loin des tropiques, la zone est étroite. Elle s'agrandit au fur et à mesure que le lieu considéré s'approche du tropique.

Dans le cas d'un lieu dans la zone intertropicale, la possibilité d'une telle condition est grande. La probabilité de réalisation l'est donc aussi. Cependant cette probabilité n'est pas 1, car on voit apparaitre une petite zone de la bande lunaire qui croise la partie où il n'y a pas de vertical du Soleil (en dehors des "faisceaux"). Cette zone est petite et proche du Soleil. Ainsi même dans la zone intertropicale, il peut y avoir des jours où la Lune n'est pas vue à l'horizontal. Cela se produit pour des positions particulières de l'orbite lunaire et pour des dates proches de la pleine Lune ou de la nouvelle Lune.

On trouvera dans cette partie des exercices portant sur :

• Une factorisation du polynôme de Laplace pour la détermination d'orbites
• L'utilisation de la notion de l'ordre d'une racine pour les racines des polynômes de Legendre
• Les systèmes linéaires, appliqués aux configurations d'équilibre de satellites co-orbitaux (qui généralisent le problème des points de Lagrange)
• Stabilité d'un système dynamique (exposants de Lyapunov)
• Perturbations mutuelles des mouvements de Jupiter et Saturne (diagonalisation de matrice)
• Les mouvements de la Lune (pendule et matrice de Floquet)
• La détermination des heures de lever et de coucher du Soleil
• L'étude du mouvement d'étoiles doubles
• L'étude des ondes de Langmuir dans les plasmas
• Le filtrage de Wiener en traitement d'images
• Les équations diophantiennes, appliquées à des calculs de configurations planétaires
• Les modèles d'atome de Rutherford et de Bohr
• Le calendrier grégorien (fractions continues)
• Le cycle de Saros (fractions continues)

Auteur: Alain Vienne

Lors de la découverte d'un nouvel objet dans le système solaire, on souhaite rapidement connaitre sa trajectoire. Celle-ci est généralement héliocentrique et, dans un premier temps, on la suppose képlérienne. Or les observations terrestres donnent uniquement la direction de l'astre mais pas sa distance. La méthode de Laplace propose un moyen qui, à partir de 3 observations de direction faites à des dates assez rapprochées, donne les vecteurs position et la vitesse de l'astre. Le détail de la méthode peut être vu dans le cours suivant: Dynamique du système solaire. On peut y voir notamment que la méthode conduit à chercher les racines d'un polynôme de degré 8.

Il y est affirmé qu'il y a 4 racines réelles (1 négative, 3 positives) et 4 complexes non réelles. Cette affirmation est étudiée et montrée dans l'exercice Les racines du polynôme de la méthode de Laplace. Ici, on montre que où est la distance Terre-Soleil, et, on utilise cette racine pour factoriser le polynôme.

Voici à titre d'exemple le graphe du polynôme dans le cas de 3 observations de Jupiter à son opposition (courbe "complète" et un agrandissement):

Le polynome de la méthode de Laplace dans le cas de 3 observations de Jupiter (courbe "complète" et un agrandissement). L'axe horizontal est gradué en ua. On note que ce polynôme n'est pas très bien conditionné car la vue d'ensemble ne donne pas une idée des racines ni même du nombre de ces racines. La deuxième figure est agrandissement sur la partie utile. On note la racine ua () et les 2 autres racines dont celle à 5 ua.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Auteur: Alain Vienne

En Mécanique Céleste, on est souvent conduit à utiliser les polynômes de Legendre que l'on note ici .

C'est le cas, par exemple, dans le développement du potentiel terrestre. Si on suppose que la Terre est un sphéroïde, le potentiel peut s'écrire:

est la constante de gravitation de la Terre, la masse totale de la Terre, son rayon équatorial et des coefficients numériques. et sont le rayon et la latitude du point pour lequel on évalue le potentiel .

Un autre exemple d'utilisation est de considérer 2 corps et décrivant autour d'un centre des orbites proches d'un mouvement elliptique. Pour décrire les perturbations (gravitationnelles) entre et , on doit écrire l'inverse de la dsitance entre et , , en fonction de leurs éléments d'orbite. On montre facilement que:

Avec , , et l'angle entre et vu de .

Cette dernière expression est développée en puissance de grâce aux polynômes de Legendre:

Ce développement est rapidement convergent si est petit. C'est le cas si, par exemple, est la Terre, le Soleil et un satellite artificiel.

Plus de détails de ces développement peuvent être vus dans le cours de Mécanique Céleste de Luc Duriez.

Les polynômes de Legendre ont de nombreuses propriétés. Celle que nous allons utiliser dans l'exercice qui suit est la formule de Rodrigues:

Cette formule va nous permettre de montrer que l'équation a toutes ses racines dans et en a distinctes.

Auteur: S. Renner

Date de création: 8 avril 2009

Dans le système solaire, on trouve plusieurs exemples de configurations où des petits satellites co-orbitaux sont en orbite autour d'un corps central (planète) beaucoup plus massif. Dans le système de Saturne, les satellites Hélène et Pollux sont en libration autour des points de Lagrange et de Dioné. De même, Télesto et Calypso sont respectivement au point et de Téthys. D'autre part, les satellites co-orbitaux Janus et Epiméthée ont des orbites en fer à cheval (cf. figure des points de Lagrange) autour de leur point mutuel.

Dans un autre contexte, la présence de 4 arcs de matière (des "morceaux" d'anneau) autour de Neptune pourrait s'expliquer par l'existence de satellites co-orbitaux (non découverts) qui confineraient la poussière observée de l'anneau formant les arcs.

Le but ici est de redémontrer des résultats généraux sur les configurations stationnaires (planes) de satellites co-orbitaux, en orbite autour d'une planète beaucoup plus massive (problème à corps, plan). Ces résultats généralisent le problème des points de Lagrange et sont extraits de Renner, S. & Sicardy, B., Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 88, 397-414, 2004.

Plus précisément, on va montrer que l'existence de solutions stationnaires planes pour le problème à corps dépend de la parité de . Plus précisément, si est impair, et pour une configuration angulaire donnée, il existe toujours un ensemble de masses (positives ou négatives) qui réalise un équilibre! Pour pair au contraire, il n'y a à priori pas de combinaison de masses qui réalise un équilibre, pour des séparations angulaires données entre les satellites.