Algèbre

Introduction
Anneaux des polynômes et fractions
- Une factorisation du polynôme de la méthode de Laplace
- Ex: Une factorisation du polynôme de la méthode de Laplace
- Les racines des polynômes de Legendre
- Ex: Les racines des polynômes de Legendre
Systèmes linéaires
- Configurations d'équilibre de satellites co-orbitaux
- Ex: Configurations d'équilibre de satellites co-orbitaux
- En savoir plus: Configurations d'équilibre de satellites co-orbitaux
- Exposants de Lyapunov
- Ex: exposants de Lyapunov
Applications linéaires et matrices
- Système de Laplace-Lagrange
- Ex: Système de Laplace-Lagrange
- Pendule et matrice de Floquet
- Ex: Pendule et matrice de Floquet
- Lever et coucher du Soleil
- Ex: Lever et coucher du Soleil
- Etoiles doubles
- Ex: Etoiles doubles
Théorie Spectrale
- Onde de Langmuir
- Ex: Onde de Langmuir
- Filtrage de Wiener
- Ex: Filtrage de Wiener
Groupe quotient
- Phénomènes mutuels
- Ex: Phénomènes mutuels
- Atome de Bohr
- Ex: Atome de Bohr
- Cycles astronomiques et fractions continues
- Ex: Cycles astronomiques et fractions continues

Introduction

On trouvera dans cette partie des exercices portant sur :

Une factorisation du polynôme de Laplace pour la détermination d'orbites
L'utilisation de la notion de l'ordre d'une racine pour les racines des polynômes de Legendre
Les systèmes linéaires, appliqués aux configurations d'équilibre de satellites co-orbitaux (qui généralisent le problème des points de Lagrange)
Stabilité d'un système dynamique (exposants de Lyapunov)
Perturbations mutuelles des mouvements de Jupiter et Saturne (diagonalisation de matrice)
Les mouvements de la Lune (pendule et matrice de Floquet)
La détermination des heures de lever et de coucher du Soleil
L'étude du mouvement d'étoiles doubles
L'étude des ondes de Langmuir dans les plasmas
Le filtrage de Wiener en traitement d'images
Les équations diophantiennes, appliquées à des calculs de configurations planétaires
Les modèles d'atome de Rutherford et de Bohr
Le calendrier grégorien (fractions continues)
Le cycle de Saros (fractions continues)

Anneaux des polynômes et fractions

Auteur: Alain Vienne

Une factorisation du polynôme de la méthode de Laplace

Auteur: Alain Vienne

Lors de la découverte d'un nouvel objet dans le système solaire, on souhaite rapidement connaitre sa trajectoire. Celle-ci est généralement héliocentrique et, dans un premier temps, on la suppose képlérienne. Or les observations terrestres donnent uniquement la direction de l'astre mais pas sa distance. La méthode de Laplace propose un moyen qui, à partir de 3 observations de direction faites à des dates assez rapprochées, donne les vecteurs position et la vitesse de l'astre. Le détail de la méthode peut être vu dans le cours suivant: Dynamique du système solaire. On peut y voir notamment que la méthode conduit à chercher les racines d'un polynôme de degré 8.

P(x)=x^8 + a_6 x^6 + a_3 x^3 + a_0

Il y est affirmé qu'il y a 4 racines réelles (1 négative, 3 positives) et 4 complexes non réelles. Cette affirmation est étudiée et montrée dans l'exercice Les racines du polynôme de la méthode de Laplace. Ici, on montre que x=s où est la distance Terre-Soleil, et, on utilise cette racine pour factoriser le polynôme.

Voici à titre d'exemple le graphe du polynôme dans le cas de 3 observations de Jupiter à son opposition (courbe "complète" et un agrandissement):

Le polynome de la méthode de Laplace dans le cas de 3 observations de Jupiter (courbe "complète" et un agrandissement). L'axe horizontal est gradué en ua. On note que ce polynôme n'est pas très bien conditionné car la vue d'ensemble ne donne pas une idée des racines ni même du nombre de ces racines. La deuxième figure est agrandissement sur la partie utile. On note la racine x=1

ua (

) et les 2 autres racines dont celle à 5 ua.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Ex: Une factorisation du polynôme de la méthode de Laplace

Auteur: Alain Vienne

Factorisation du polynôme de la méthode de Laplace

Difficulté : ☆ Temps : 30mn

Le polynôme issu de la méthode de Laplace a la forme suivante:

$P(x)=x^8 + (2t\beta-t^2-s^2) x^6 + 2\alpha(\beta-t) x^3 - \alpha^2$

où est la distance Terre-Soleil et $t=-\frac{\alpha}{s^3}$ .

$\alpha$ et $\beta$ sont des coefficients réels issus de la géométrie du problème.

Question 1)

Vérifier que x=s est racine de .

Question 2)

Mettre en facteur (x-s) dans .

Les racines des polynômes de Legendre

Auteur: Alain Vienne

En Mécanique Céleste, on est souvent conduit à utiliser les polynômes de Legendre que l'on note ici P_n .

C'est le cas, par exemple, dans le développement du potentiel terrestre. Si on suppose que la Terre est un sphéroïde, le potentiel peut s'écrire:

$U(r,\varphi)=\frac{KM_T}{r} \ [1 - \sum_{m=1}^{\infty} J_{2m} (\frac{a_e}{r})^{2m} P_{2m}(\sin\varphi) \ ]$

est la constante de gravitation de la Terre, M_T la masse totale de la Terre, a_e son rayon équatorial et $J_{2m}$ des coefficients numériques. et $\varphi$ sont le rayon et la latitude du point pour lequel on évalue le potentiel .

Un autre exemple d'utilisation est de considérer 2 corps et décrivant autour d'un centre des orbites proches d'un mouvement elliptique. Pour décrire les perturbations (gravitationnelles) entre et , on doit écrire l'inverse de la dsitance entre et , $1/\Delta$ , en fonction de leurs éléments d'orbite. On montre facilement que:

$\frac{1}{\Delta} = \frac{1}{r'} (1-2\rho \cos S + \rho^2)^{-1/2}$

Avec r=PM , r'=PM' , $\rho = r/r'$ et l'angle entre et vu de .

Cette dernière expression est développée en puissance de $\rho$ grâce aux polynômes de Legendre:

$(1-2\rho \cos S + \rho^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^n P_n(\cos S)$

Ce développement est rapidement convergent si $\rho$ est petit. C'est le cas si, par exemple, est la Terre, le Soleil et un satellite artificiel.

Plus de détails de ces développement peuvent être vus dans le cours de Mécanique Céleste de Luc Duriez.

Les polynômes de Legendre ont de nombreuses propriétés. Celle que nous allons utiliser dans l'exercice qui suit est la formule de Rodrigues:

$P_m(x)=\frac{1}{2^m \ m!} \ \frac{d^m}{dx^m} (x^2-1)^m$

Cette formule va nous permettre de montrer que l'équation P_m(x)=0 a toutes ses racines dans [-1,+1] et en a distinctes.

Ex: Les racines des polynômes de Legendre

Auteur: Alain Vienne

Les racines des polynômes de Legendre

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h (pour une rédaction correcte)

Les polynômes de Legendre, bien connus en Mécanique Céleste, peuvent se déterminer par la formule de Rodrigues:

$P_m(x)=\frac{1}{2^m \ m!} \ \frac{d^m}{dx^m} (x^2-1)^m$

Question 1)

Montrer que l'équation P_m(x)=0 a toutes ses racines dans [-1,+1] et en a distinctes.

Systèmes linéaires

Auteurs: S. Renner, Marc Fouchard

Configurations d'équilibre de satellites co-orbitaux

Auteur: S. Renner

Date de création: 8 avril 2009

Dans le système solaire, on trouve plusieurs exemples de configurations où des petits satellites co-orbitaux sont en orbite autour d'un corps central (planète) beaucoup plus massif. Dans le système de Saturne, les satellites Hélène et Pollux sont en libration autour des points de Lagrange L_4 et L_5 de Dioné. De même, Télesto et Calypso sont respectivement au point L_4 et L_5 de Téthys. D'autre part, les satellites co-orbitaux Janus et Epiméthée ont des orbites en fer à cheval (cf. figure des points de Lagrange) autour de leur point L_3 mutuel.

Dans un autre contexte, la présence de 4 arcs de matière (des "morceaux" d'anneau) autour de Neptune pourrait s'expliquer par l'existence de satellites co-orbitaux (non découverts) qui confineraient la poussière observée de l'anneau formant les arcs.

Le but ici est de redémontrer des résultats généraux sur les configurations stationnaires (planes) de satellites co-orbitaux, en orbite autour d'une planète beaucoup plus massive (problème à N+1 corps, plan). Ces résultats généralisent le problème des points de Lagrange et sont extraits de Renner, S. & Sicardy, B., Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 88, 397-414, 2004.

Plus précisément, on va montrer que l'existence de solutions stationnaires planes pour le problème à N+1 corps dépend de la parité de . Plus précisément, si est impair, et pour une configuration angulaire donnée, il existe toujours un ensemble de masses (positives ou négatives) qui réalise un équilibre! Pour pair au contraire, il n'y a à priori pas de combinaison de masses qui réalise un équilibre, pour des séparations angulaires données entre les satellites.

Ex: Configurations d'équilibre de satellites co-orbitaux

Auteur: S. Renner

Equilibres de satellites co-orbitaux

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h30

On considère satellites co-orbitaux en orbite autour d'un corps central supposé ponctuel de masse M. On note n_0 la vitesse angulaire moyenne et r_0 le rayon orbital moyen des satellites.

On suppose le problème plan, et on se place dans un repère centré sur M et tournant à la vitesse angulaire n_0 .

Le mouvement de chaque satellite est décrit par les coordonnées $(\phi_i,\xi_i)$ , i=1,...,N , où $\phi_i$ est la longitude du satellite i par rapport à une longitude de référence arbitraire, et $\xi_i=\Delta r_i/r_0$ l'excursion radiale relative du satellite par rapport au rayon moyen r_0 (voir figure ci-dessous).

Notations pour la dynamique des satellites co-orbitaux (cf. texte).

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

On peut montrer que la dynamique de chaque satellite est régie par le système d'équations différentielles suivant :

$\left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle {\dot \phi_i}= -{3 \over 2} \xi_i \\ \\ \displaystyle {\dot \xi_i}= -2 \sum_{j \neq i} m_j f'(\phi_i - \phi_j) \end{array} \right.$

avec

$f(\phi)= \cos \phi - {1 \over 2|\sin \phi/2|}$ , $f'(\phi)= \sin \phi \left[ -1 + {1 \over 8|\sin \phi/2|^3} \right]$ , $f''(\phi)= -\cos \phi - {3 + \cos \phi \over 16|\sin \phi/2|^3} \cdot$

Question 1)

Ecrire les deux équations algébriques donnant les points fixes du système.

Question 2)

Que signifie la première relation?

Question 3)

La seconde relation correspond en fait à équations linéaires des masses. Ecrire ce système sous forme matricielle. On note M_N la matrice obtenue.

Question 4)

Que peut-on dire de la matrice M_N ?

Question 5)

Trouver les points d'équilibre dans le cas N=2 .

Question 6)

On cherche à trouver tous les angles $\phi_1$ ,..., $\phi_N$ tels que (m_1,...,m_N) soit solution de l'équation matricielle, avec $m_1,...,m_N \geq 0$ . Il est évidemment impossible de résoudre cette équation analytiquement pour quelconque. On peut néanmoins déduire des propriétés générales sur les solutions.

soit $(\phi_1,...,\phi_N) \in [0,360^\circ[^N$ tel que $\phi_i \neq \phi_j$ pour tout $i \neq j$ (f' n'est pas définie en 0).

On suppose que est impair. Déterminer le rang de la matrice M_N , puis en déduire qu'il existe une famille à paramètres, avec entier impair, de vecteurs $(m_1,...,m_N) \in \mathbb{R}^N$ pour laquelle $(\phi_1,...,\phi_N)$ est une configuration stationnaire.

Question 7)

On suppose que est pair. Déterminer le rang de la matrice M_N , et en déduire qu'en général il n'existe pas de famille de vecteurs qui réalise un équilibre.

Question 8)

Dans le cas où est pair, quelle propriété doit vérifier la matrice M_N pour pouvoir obtenir des solutions non-triviales (m_1,...,m_N) ?

Question 9)

Vérifier les deux questions précédentes avec le cas N=2 .

En savoir plus: Configurations d'équilibre de satellites co-orbitaux

En savoir plus

Les équations du mouvement sont donc:

$\left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle {\dot \phi_i}= -{3 \over 2} \xi_i \\ \\ \displaystyle {\dot \xi_i}= -2 \sum_{j \neq i} m_j f'(\phi_i - \phi_j) \end{array} \right.$

avec

$f(\phi)= \cos \phi - {1 \over 2|\sin \phi/2|}$ , $f'(\phi)= \sin \phi \left[ -1 + {1 \over 8|\sin \phi/2|^3} \right]$ , $f''(\phi)= -\cos \phi - {3 + \cos \phi \over 16|\sin \phi/2|^3} \cdot$

Pour établir ces équations, on a fait les hypothèses suivantes:

chaque satellite a une masse négligeable devant celle du corps central : quelque soit , $0 \leq m_i/M << 1$ , où est la masse du $i^{eme}$ satellite
l'excentricité des satellites est supposée nulle
les satellites ne s'approchent pas trop de leurs rayons de Hill mutuels, définis par $r_H = r_0 \cdot \left[\left(m_i + m_j\right)/3M\right]^{1/3}$ . Ainsi on évite tout mouvement chaotique, et les satellites restent co-orbitaux. On ne considère pas en particulier les points stationnaires alignés avec le satellite et la planète (comme les points de Lagrange et dans le cas N=2).
pour simplifier et sans perte de généralité on a choisi , et

La première équation n'est rien d'autre que la vitesse keplerienne différentielle de chaque satellite par rapport à l'orbite de référence de rayon r_0 . La seconde équation contient, sous forme dérivée, tous les termes résultant des interactions gravitationnelles mutuelles entre les satellites.

La fonction $f(\phi)$ est la somme des potentiels direct et indirect exercé par un satellite donné sur les autres co-orbitaux. C'est une fonction paire, et son graphe est tracé ci-dessous avec ses dérivées première et seconde $f'(\phi)$ et $f''(\phi)$ .

La fonction $f(\phi)$ , décrivant le potentiel créé par un satellite sur une particule co-orbitale, avec ses dérivées première et seconde $f'(\phi)$ et $f''(\phi)$ .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

Puisque est impaire, il est facile de montrer d'après les équations du mouvement que $\displaystyle \sum_{i} m_i \xi_i = {\rm constante}$ . Le rayon de référence r_0 étant arbitraire, il peut être choisi de telle manière que $\displaystyle \sum_{i} m_i \xi_i = 0$ , sans perte de généralité. Ainsi le système possède les intégrales premières suivantes :

$\left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle \sum_{i} m_i \xi_i = 0 \\ \\ \displaystyle \sum_{i} m_i \phi_i = {\rm constante}, \end{array} \right.$

qui résultent de la conservation du moment cinétique total. Cette conservation résulte elle-même de l'invariance par rotation du problème. Il existe une autre intégrale première :

$J= \sum_{i} m_i \left[ - {3 \over 4} \xi_i^2 + \sum_{j \neq i} m_j f(\phi_i - \phi_j) \right]$

Elle exprime la conservation de l'énergie dans le repère tournant, et est appelée constante de Jacobi.

Exposants de Lyapunov

Auteur: Marc Fouchard

Date de création: 4 avril 2011

On considère le système dynamique suivant:

$\dot{{\bf x}}={\bf f} ({\bf x})$ ,

où ${\bf x}$ est un vecteur de dimension , et ${\bf f}$ une fonction vectorielle de dimension continue et dérivable.

On appelle exposant de Lyapunov en ${\bf x}_0$ suivant le vecteur ${\bf w}_0$ la quantité:

$\chi({\bf x}_0,{\bf w}_0)=\lim_{t \to +\infty}\frac{1}{t}\ln || {\bf w}(t) ||$ ,

où ${\bf w}(t)$ est solution de l'équation différentielle:

$\dot{{\bf w}}=\mathcal{J}\cdot {\bf w}$ ,

avec $\mathcal J=\frac{\partial {\bf f}}{\partial {\bf x}}$ est le Jacobien de ${\bf f}$ .

Cette équation, appelée équation variationnelle, est associée à l'équation différentielle décrivant l'évolution de ${\bf x}$ . Les vecteurs ${\bf x}_0$ et ${\bf w}_0$ sont les conditions initiales de ces équations différentielles.

On appelle généralement le vecteur ${\bf w}$ le vecteur tangent à la trajectoire. Il évolue dans un espace appelé espace tangent qui peut être identifié à $\mathcal{R}^n.$

Les exposants de Lyapunov permettent de savoir si la trajectoire passant par ${\bf x}_0$ est chaotique ou pas. Par exemple sur la figure ci-dessous on peut voir qu'un dérivé des exposants de Lyapunov (Exposant de Lyapunov Rapide) se comporte de manière différente pour une trajectoire régulière (accroisement linéaire) et pour une trajectoire chaotique (accroissement exponentiel). Dans la suite on va étudier les exposants de Lyapunov associés à la trajectoire passant par ${\bf x}_0$ à t=0 et démontrer quelques propriétés élémentaires de ces exposants, en particulier leur similarité avec le spectre des valeurs propres d'en endomorphisme.

Evolutions d'exposants de Lyapunov Rapides

Evolution de l'exposant de Lyapunov Rapide (à droite) pour trois trajectoires (à gauche). Les trajectoires rouge et verte sont régulières alors que la trajectoire noire est chaotique.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard

Ex: exposants de Lyapunov

Auteur: Marc Fouchard

exposants de Lyapunov

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 1h30

Question 1)

Soit une orbite périodique de condition initiale ${\bf x}_0$ et de période $\tau$ . Ainsi après une période on a ${\bf w}(\tau)=\mathcal{M} \cdot {\bf w}_0$ , où $\mathcal{M}$ est une matrice carrée de dimension , et pour $t=k\tau \quad (k\in\mathbb{N})$ on a ${\bf w}(t)=\mathcal{M}^k \cdot {\bf w}_0$ . Montrer que si ${\bf w}_0$ est un vecteur propre de la matrice $\mathcal M$ associé à la valeur propre $\lambda_0$ alors:

$\chi({\bf x}_0,{\bf w}_0)=\frac{\ln |\lambda_0|}{\tau}$

Question 2)

Ainsi on voit que pour les orbites périodiques les exposants de Lyapunov sont reliés au spectre, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs propres, du Jacobien de $\bf f$ . Dans le cas général la matrice $\mathcal M$ n'existe pas. Cependant on va voir qu'on peut définir un spectre d'exposants de Lypunov associé au Jacobien de ${\bf f}$ ayant certaines similarités avec le spectre des valeurs propres d'une matrice.

Montrer que $\chi ({\bf x}_0,\lambda{\bf w}_0)=\chi({\bf x}_0,{\bf w}_0)$ , pour $\lambda \in \mathcal R$ .

Question 3)

Montrer que $\chi({\bf x}_0,{\bf w}_0+{\bf w}_1})\le\max \left( \chi({\bf x}_0,{\bf w}_0),\chi({\bf x}_0,{\bf w}_1)\right)$ .

Question 4)

Avec la convention $\chi({\bf x_0,\vec{\bf 0})=-\infty$ , montrer que pour tout $\alpha \in {\mathcal R}$ , l'ensemble $\mathcal{L}(\alpha)=\left\Big\lbrace {\bf w} \in {\mathcal R}^n \quad {\rm t.q.} \quad \chi({\bf x}_0,{\bf w})\le \alpha \right\Big\rbrace$ , forme un sous-espace vectoriel de $\mathcal{R}^n$ .

Question 5)

En déduire qu'il existe au plus exposants de Lyapunov distincts pour une trajectoire donnée.

Remarque

On voit ainsi que les exposants de Lyapunov forment un spectre au même titre que les valeurs propres pour un opérateur linéaire. Si on a exposants distincts et tels que $\alpha_1>\dots\alpha_n$ , avec $\alpha_i=\chi({\bf x}_0,{\bf w}_i)$ , alors les vecteurs ${\bf w}_i, \quad i=1,\dots,n$ forment une base de $\mathcal{R}^n$ . Dans la pratique, on ne connait pas les vecteurs permettant de déterminer les exposants de Lyapunov. Mais si on prend un vecteur au hasard il apartiendra à $\mathcal{L}(\alpha_1)=\mathcal{R}^n$ mais peu probablement à $\mathcal{L}(\alpha_2)$ . En effet pour qu'il y appartienne il faudrait que la composante de ce vecteur suivant ${\bf w}_1$ soit égale à zéro. Lors d'un tirage au hasard cette probabilité est nulle.

Ainsi dans la pratique on calcule en général uniquement l'exposant maximal de Lyapunov $\alpha_1$ . Il permet de savoir si une orbite est stable ou chaotique. En effet dans le cas d'une orbite stable la norme du vecteur tangent va très probablement augmenter linéairement avec le temps, ainsi $\alpha_1=0$ , alors que dans le cas chaotique elle va augmenter très probablement exponentiellement avec le temps, ainsi $\alpha_1>0$ .

Applications linéaires et matrices

Auteurs: Alain Vienne, Marc Fouchard

Système de Laplace-Lagrange

Alain Vienne

Les mouvements de Jupiter et de Saturne sont très proches d'un mouvement képlérien. En effet, chacune de ces planètes est principalement attirée par le Soleil mais très peu par l'autre planète (la masse du Soleil est 1047 fois celle de Jupiter et 3498 fois celle de Saturne; ces 2 planètes étant les plus massives du système solaire). Leurs éléments d'orbite, notamment le demi-grand axe, l'excentricité () et la direction du péricentre ( $\varpi$ ), sont quasi constants. Plus précisément, soit ils varient peu (oscillations rapides de faible amplitude), soit ils varient lentement ("variations séculaires"). On dit que l'influence de Jupiter sur le mouvement de Saturne est une perturbation (et vice versa) du mouvement képlérien. L'objet de la mécanique céleste dans le cas de systèmes perturbés, est de modéliser ces variations.

Laplace (1749-1827) avait déjà montré que les demi-grands axes des planètes n'avaient pas de variations séculaires (plus précisément: à un certain degré d'approximation, les demi-grands axes des planètes n'ont que des petites variations périodiques). Ce qui était, à l'époque, un argument fort en faveur de la stabilité du système solaire.

Il fallait quand même s'assurer que les excentricités n'atteignent pas de valeurs trop grandes. En effet, de grandes excentricités conduisent vite à des collisions! L'objet de cette application est de voir que les variations d'excentricités sont bornées.

On simplifie notablement le calcul et la compréhension en utilisant la variable complexe suivante:

$z = e \exp \imath \varpi \ \ \textrm{avec} \ \ \imath = \sqrt{-1}$

Par exemple, on verra dans l'exercice suivant que l'"execntricité complexe" z_J asssociée à Jupiter a le mouvement suivant:

"Excentricité complexe" de Jupiter ( z_J

) qui montre que l'exentricité de Jupiter est bornée.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou Vienne

Ex: Système de Laplace-Lagrange

Auteur: Alain Vienne

Exercice

Difficulté : ☆ Temps : 1h30

Question 1)

La partie linéaire des équations séculaires relatives à z_J (Jupiter) et à z_S (Saturne) peut s'écrire:

$\frac{d\alpha}{dt} = \imath A \alpha \ \rm{avec} \ A = \left( \begin{array}{rr}0.020031 & -0.013114\\-0.032335 & 0.049538\end{array} \right)$ $\rm{en\ } $''/j$$

avec $\alpha = \left( \begin{array}{c} z_J \\ z_S \end{array} \right)$

Montrer que est diagonalisable et donner ses valeurs propres (appelées ici, "fréquences propres").

Remarque: on notera les valeurs propres $\nu_5$ et $\nu_6$ . Ces indices 5 et 6 font référence respectivement à la cinquième et à la sixième ligne de la matrice obtenue par Le Verrier lorsque celui-ci considérait les 8 planètes.

Question 2)

Intégrer le système différentiel en recherchant pour z_J et z_S une solution sous la forme de termes périodiques. On montrera que les valeurs propres de la matrice sont les fréquences de ces termes périodiques.

Question 3)

Donner les périodes de ces termes périodiques en années.

Question 4)

Sachant qu'à t=0 , on a les valeurs:

e_J = 0,04833475 et $\varpi_J = 12^{\circ} 43' 15''$

e_S = 0,05589231 et $\varpi_S = 91^{\circ} 05' 54''$

calculer les constantes d'intégration de la solution, puis les amplitudes des termes à très longues périodes des solutions de z_J et z_S (on ne demande pas les phases)

Question 5)

En déduire les valeurs extrêmes que peuvent atteindre les excentricités de Jupiter et de Saturne.

Remarque

Le fait que le système de Laplace-Lagrange conduit à des valeurs bornées de l'excentricité est illustré par la figure suivante. C'est la variable z_5 qui est représentée.

Solution de la variable en excentricité de Jupiter ( z_J

) issue d'un système séculaire complet (non linéarisé et avec les 8 planètes).

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Cette solution diffère de la notre car elle est issue d'un système séculaire complet, c'est à dire non linéarisé et avec les 8 planètes.

Pendule et matrice de Floquet

Auteur: Alain Vienne

Beaucoup de modèles dynamiques, après maintes transformations (hypothèses simplificatrices, moyennisations, ...), ressemblent au modèle du pendule (masse à une distance constante d'un point fixe sous l'effet de la pesanteur). Ici nous allons nous intéresser à un type d'équation du pendule correspondant à l'équation de Mathieu:

$\ddot{\theta} + \omega_0^2(1+\varepsilon \cos \omega t ) \theta = 0$

Si $\varepsilon$ est nul, c'est l'équation d'un pendule simple pour de petites oscillations. Dans ce cas, $\omega_0^2$ est inversement proportionnel à la longueur du pendule. On rappelle que la période T_0 est alors $\frac{2\pi}{\omega_0}$ .

Ici $\epsilon$ est un petit paramètre. On dit que le modèle du pendule simple est perturbé. L'équation de Mathieu est un cas particulier de l'équation

$\ddot{\theta} + w^2(t) \theta = 0$

où w(t) est une fonction périodique de période qui est utilisée en Mécanique Céleste pour l'étude du mouvement de la Lune.

De manière plus ludique, ces équations peuvent modéliser le mouvement d'une balançoire dont le passager se lève et s'assied (périodiquement) afin de s'élancer. Le fait de se lever et de s'assoir régulièrement revient à déplacer le centre de gravité du passager et donc, revient à faire varier périodiquement la longueur du pendule (ici la balançoire).

L'exercice qui suit ne résoud pas l'équation différentielle. Il cherche simplement à savoir dans quelles conditions la solution est bornée ou non (problème de stabilité). Il est insipré du théorème de Gustave Floquet (1847-1920). C'est un exercice de la théorie des équations différentielles mais il utilise beaucoup l'algèbre linéaire d'où sa présence dans cette partie.

Ex: Pendule et matrice de Floquet

Cet exercice est un classique de la théorie des équations différentielle. On le trouve donc dans la partie "Equations différentielles linéaires". Cependant il utilise beaucoup l'algèbre linéaire d'où sa présence dans cette partie.

Auteur: Alain Vienne

Exercice

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h30

Voir l'énoncé

Lever et coucher du Soleil

Marc Fouchard

L'animation ci-dessous illustre le mouvement diurne du Soleil au dessus de l'horizon en un point de latitude $\varphi$ . Le point correspond à l'observateur. Il observe le mouvement du Soleil au cours d'une journée. Ce mouvement correspond uniquement à un changement de direction dans laquelle le Soleil est observé. Ainsi on peut représenter ce mouvement par un point se déplaçant sur une sphère (sphère céleste) centrée sur est de rayon qu'on prendra arbitrairement égale à 1.

Sur cette sphère, on peut représenter toutes les directions parallèles à l'horizon, ce qui défini l'horizon céleste. Les astres dont la direction se trouve en dessous de l'horizon céleste ne sont pas visibles depuis . Sur l'horizon céleste on peut représenter les directions du Sud $\mathcal{S}ud$ , de l'Ouest $\mathcal{O}uest$ , du Nord $\mathcal{N}ord$ et de l'Est $\mathcal{E}st$ . De même, on peut représenter la direction perpendiculaire à l'horizon: le Zénith () et la direction parallèle à l'axe de rotation de la Terre: le pôle céleste Nord (). Le plan qui coupe la sphère céleste perpendiculaire à la direction (OP) et passant par , s'appelle l'équateur céleste. Sur l'équateur céleste on note $\mathcal{S}ud'$ la direction du Sud. On note le Nadir, qui correspond à la direction opposée au Zénith, et on note le pôle céleste Sud qui correspond à la direction opposée au pôle céleste nord. On remarquera que les points $O, \mathcal{N}ord, P$ et sont coplanaires avec $\widehat{\overrightarrow{O\mathcal{N}ord},\overrightarrow{OP}}=\varphi$ .

Ainsi, au cours d'une journée la Terre tourne autour d'un axe parallèle à (OP) . Pour l'observateur, ceci ce traduit par un déplacement des astres observés sur des cercles parallèles à l'équateur céleste.

Soit le point de la sphère céleste indiquant la direction dans laquelle est observé le Soleil depuis . On appelle l'intersection de l'arc de grand cercle (PSP') avec l'équateur céleste et l'intersection de l'arc de grand cercle (ZSZ') avec l'horizon céleste.

On note $\delta$ l'angle $\widehat{SOM}$ , l'angle $\widehat{\mathcal{S}ud'OM}$ , l'angle $\widehat{SON}$ et l'angle $\widehat{\mathcal{S}udON}$ . (A,h) sont appelées les coordonnées locales, alors que $(H,\delta)$ sont les coordonnées horaires. Au court du mouvement diurne d'une étoile seule $\delta$ est constant. Pour le Soleil $\delta$ varie au cours de l'année, mais on peut le considérer constant sur une journée. L'animation permet de modifier $\delta$ afin de voir les variations dans le mouvement diurne en fonction de $\delta$ .

Le but de cette exercice est d'établir des relations entre les coordonnées horaires et locales par des rotations puis d'utiliser ces relations pour calculer les heures de lever et de coucher du Soleil aux solstices et aux équinoxes.

Ex: Lever et coucher du Soleil

Auteur: Marc Fouchard

Exercice

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Question 1)

Soit les repères orthonormés suivants :

$\mathbf{\mathcal{R}}_{SH}$ le repère $(\overrightarrow{OS},\overrightarrow{OU},\overrightarrow{OT})$ , où $\overrightarrow{OT}$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{OS}$ dans le plan et tel que l'angle $\widehat{\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OT}}$ soit inférieur à $\pi/2$ en valeur absolue et $\overrightarrow{OU}$ complète un repère orthonormé direct.
$\mathbf{\mathcal{R}}_M$ le repère $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OU},\overrightarrow{OP})$ ,
$\mathbf{\mathcal{R}}_H$ le repère $(\overrightarrow{O\mathcal{S}ud'},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest},\overrightarrow{OP})$ ,
$\mathbf{\mathcal{R}}_{SL}$ le repère $(\overrightarrow{OS},\overrightarrow{OV},\overrightarrow{OW})$ , où $\overrightarrow{OW}$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{OS}$ dans le plan et tel que l'angle $\widehat{\overrightarrow{OZ},\overrightarrow{OW}}$ soit inférieur à $\pi/2$ en valeur absolue et $\overrightarrow{OV}$ complète un repère orthonormé direct.
$\mathbf{\mathcal{R}}_N$ le repère $(\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OV},\overrightarrow{OZ})$ ,
$\mathbf{\mathcal{R}}_L$ le repère $(\overrightarrow{O\mathcal{S}ud},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest},\overrightarrow{OZ})$ .

Le but de l'exercice est d'établir relations entre les coordonnées horaires et coordonnées locales du Soleil en utilisant des matrices de rotation entre les différents repères.

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_{SH}$ au repère $\mathcal{R}_M$ par une rotation d'angle $-\delta$ et d'axe $\overrightarrow{OU}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{M}$ de la base de $\mathcal{R}_{SH}$ à celle de $\mathcal{R}_M$ .

Question 2)

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_M$ au repère $\mathcal{R}_H$ par une rotation d'angle et d'axe $\overrightarrow{OP}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{N}$ de la base de $\mathcal{R}_{M}$ à celle de $\mathcal{R}_H$ .

Question 3)

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_{SL}$ au repère $\mathcal{R}_N$ par une rotation d'angle et d'axe $\overrightarrow{OV}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{P}$ de la base de $\mathcal{R}_{SL}$ à celle de $\mathcal{R}_N$ .

Question 4)

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_N$ au repère $\mathcal{R}_L$ par une rotation d'angle et d'axe $\overrightarrow{OZ}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{Q}$ de la base de $\mathcal{R}_{N}$ à celle de $\mathcal{R}_L$ .

Question 5)

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_H$ au repère $\mathcal{R}_L$ par une rotation d'angle $\pi/2-\varphi$ et d'axe $\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{T}$ de la base de $\mathcal{R}_{H}$ à celle de $\mathcal{R}_L$ .

Question 6)

Ecrire les coordonnées de en fonction de $\delta$ et dans $\mathcal{R}_H$ .

Question 7)

Ecrire les coordonnées de en fonction de et dans $\mathcal{R}_L$ . Puis les coordonnées de dans le repère $\mathcal{R}_H$ en fonction de h, A et $\varphi$ . En déduire trois relations, dépendant de $\varphi$ , entre les coordonnées horaires et les coordonnées locales du Soleil.

Question 8)

En déduire les valeurs de l'angle horaire au moment du lever et du coucher du Soleil en fonction de $\varphi$ et $\delta$ .

Question 9)

En déduire les valeurs de (mesuré entre -12h et +12h) et de la durée du jour au moment des équinoxes ( $\delta =0$ ), du solstice d'été $\delta= 23,5^{\circ}$ et du solstice d'hiver ( $\delta=-23,5^{\circ}$ ) en un point de latitude $\varphi=50^{\circ}$ (approximativement la ville de Lille, France)

Etoiles doubles

Marc Fouchard

Les étoiles doubles correspondent à des couples d'étoiles reliées gravitationnellement l'une à l'autre. Ainsi, les deux étoiles effectuent un mouvement elliptique autour du centre de gravité du couple. La détermination des paramètres de cette ellipse, et en particulier de son demi-grand axe, est particulièrement importante parce qu'elle permet d'obtenir la masse des étoiles.

L'objet de ce petit exercice est juste d'établir le système permettant de déterminer les paramètres de l'équation algébrique d'une conique.

Ex: Etoiles doubles

Auteur: Marc Fouchard

Etoiles doubles

Difficulté : ☆ Temps : 20 mn

Question 1)

Quelle est l'équation générale d'une conique dans le plan.

Question 2)

Pour une ellipse, on a la contrainte supplémentaire que $a\ne0$ (entre autre). En déduire une équation de l'ellipse contenant cinq paramètres.

Question 3)

On a donc cinq paramètres indépendants à déterminer. Combien, au moins, nous faut-il d'observation pour pouvoir déterminer les paramètres ?

Question 4)

Soit $M_i \left(\begin{array}{c}x_i \\ y_i \end{array}\right)$ , $i=1,\cdots,5$ , ces 5 observations. Ecrire sous forme matricielle le système à résoudre.

Question 5)

Donner une astuce pour se ramener à la résolution d'un système à trois inconnues que l'on déterminera.

Théorie Spectrale

Auteurs: Arnaud Beck, Jérôme Thiébaut

Onde de Langmuir

Auteur: Arnaud Beck

Un plasma est un gaz dont les constituants, au lieu d'être neutres, sont électriquement chargés. Cela en fait un milieu bien plus complexe qu'un fluide traditionnel.

Dans un gaz normal, toutes les perturbations se propagent de la même manière et à la même vitesse. Ainsi, si quelqu'un fait vibrer un gaz à un point A, cette vibration va se propager jusqu'au point B à la vitesse du son, indépendamment de la fréquence de la vibration. Ce sont les ondes sonores.

Dans un plasma, les interactions entre particules chargées permettent à un grand nombre d'ondes différentes d'exister. Chacune de ces ondes propage des perturbations qui peuvent être de natures différentes (charge, pression, champ électrique, champ magnétique ...) et ont des vitesses différentes qui dépendent, entre autres, de la fréquence de la perturbation.

Dans cet exercice, on propose de retrouver la relation de dispersion d'une de ces ondes de plasma appelée "Onde de Langmuir". De telles ondes sont créées lorsqu'on écarte localement le plasma de la neutralité de charge. On cherche donc à savoir comment cet écart à la neutralité va se propager dans le plasma.

Ex: Onde de Langmuir

Auteur: Arnaud Beck

Relation de dispersion

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Un plasma est constitué d'ions et d'électrons. Les ions étant largement plus lourds, nous allons les supposer immobiles dans le développement qui suit. Considérons qu'ils sont répartis uniformément dans l'espace avec une densité n_0 .

L'onde de Langmuir étant la propagation d'une perturbation électrostatique (écart à la neutralité mais sans création de courant électrique à grande échelle), nous pouvons, pour simplifier le problème, supposer l'absence de champ magnétique.

A l'équilibre, les électrons sont eux aussi immobiles et uniformément répartis avec une densité n_e=n_0 . Mais, que se passe t-il si on perturbe cet équilibre en posant que n_e=n_0+n_1(x,t) , où n_1 est un petit terme perturbatif qui dépend de la position et du temps ?

Dans ce cas, un champ électrique E(x,t) se crée et met les électrons en mouvement à une vitesse u(x,t) .

Les équations qui gouvernent ensuite l'évolution de ces trois grandeurs (perturbation de densité, champ électrique et vitesse des électrons) sont l'équation de continuité, l'équation de conservation du moment dynamique et l'équation de Poisson:

$\frac{\partial n_1}{\partial t}+n_0\frac{\partial u}{\partial x}=0$

$m_en_0\frac{\partial u}{\partial t}=-en_0E-3T\frac{\partial n_1}{\partial x}$

$\frac{\partial E}{\partial x}=-en_1/\epsilon_0$

où est la température moyenne des électrons, m_e leur masse, leur charge, et epsilon_0 la permittivité du vide.

Les équations ont été ici écrites à une dimension, dans la direction x. On suppose que les perturbations vont se propager dans cette direction sous la forme d'onde plane et donc que l'on peut écrire:

$E(x,t)=\tilde{E}exp(-i\omega t +ikx)$

$u(x,t)=\tilde{u}exp(-i\omega t +ikx)$

$n_1(x,t)=\tilde{n_1}exp(-i\omega t +ikx)$

où omega est la pulsation de l'onde et l'amplitude de son vecteur d'onde selon .

Question 1)

Écrire le système linéaire vérifié par les inconnues $\tilde{E}$ , $\tilde{u}$ et $\tilde{n_1}$ et ayant omega et comme paramètres.

Question 2)

Trouver la relation de dispersion de l'onde, c'est à dire une expression de omega en fonction de .

Question 3)

Si on prend le mouvement des ions en compte, le système d'équation change et on trouve une nouvelle relation de dispersion qui correspond cette fois à une onde acoustique ionique.

En utilisant la même méthode que précédemment, retrouver la fonction de dispersion d'une onde acoustique ionique à partir du système d'équations ci dessous. Les indices et indiquent l'espèce (électron ou ion).

$\frac{\partial n_{e1}}{\partial t}+n_0\frac{\partial u_e}{\partial x}=0$

$\frac{\partial n_{i1}}{\partial t}+n_0\frac{\partial u_i}{\partial x}=0$

$m_en_0\frac{\partial u_e}{\partial t}=-en_0E-\gamma_e T_e\frac{\partial n_{e1}}{\partial x}$

$m_in_0\frac{\partial u_i}{\partial t}=en_0E-\gamma_i T_i\frac{\partial n_{i1}}{\partial x}$

$\frac{\partial E}{\partial x}=e(n_{i1}-n_{e1}/)\epsilon_0$

où les gamma sont des constantes (rapports des chaleurs spécifiques de chaque espèce).

Filtrage de Wiener

Auteur: Jérôme Thiébaut

En astrophysique, les photos de galaxies sont prises par des caméras CCD fixées derrière un télescope. L'instrument d'observation, ici le télescope, laisse son empreinte sur l'image. A cela s'ajoute le bruit de mesure c'est à dire un signal autre que l'image elle même qui s'ajoute à celle-ci. Ce bruit est dû à la caméra.... On se propose dans cet exercice de montrer comment retrouver l'image la plus proche de l'image initiale, c'est à dire de déconvoluer et de filtrer l'image reçue afin de s'affranchir au maximum des effets de l'instrument d'observation et du bruit.

Ex: Filtrage de Wiener

Auteur: Jérôme Thiébaut

Filtrage de Wiener

Difficulté : ☆☆ Temps : 40mn

Question 1)

L'image reçue par le CCD est une collection de pixels que l'on rassemble sous la forme d'un vecteur . Ce vecteur resulte de l'image initiale, , qui a été convoluée par le télescope auquel s'ajoute un vecteur bruit noté . La convolution se modélise par l'application d'une matrice sur le vecteur . Ainsi on a: Y=AX+N . Dans l'espace de Fourier, cette relation s'ecrit: Y_k=A_k*X_k +N_k où k=((k_x* k_y)) représente la fréquence spatiale en deux dimensions. Dans cet espace, la matrice A_k est diagonale de valeur propre lambda_k . Le spectre de puissance de l'image suit souvent une loi de puissance, c'est à dire <X_k^2> =C_0* k^(-alpha) et le bruit est souvent un bruit blanc c'est à dire qu'il à la même intensité quelquesoit la fréquence spatiale, <N_k^2> =C , où et C_0 sont des constantes. Montrer que l'inversion simple de cette relation (qui consiste à appliquer la matrice A^(-1) sur les données afin de retrouver ) conduit, au delà d'une certaine fréquence, à une amplification du bruit.

Galaxie spirale M100

Image convoluée bruitée

Question 2)

On cherche donc maintenant à déconvoluer l'image mais aussi à filtrer le bruit. Pour cela, on va chercher le filtre à appliquer sur les données qui va minimiser l'écart quadratique moyen entre la vraie image et l'image filtrée accent(X;~)=R*Y . On cherche donc à minimiser la quantité S=<(accent(X;~)-X)^2> par rapport à . En postulant que le bruit et le signal sont décorrélés et que le bruit est non biaisé (pas d'erreur systématique), montrer que R=(A^T*C_N^(-1)*A+C_X^(-1))^(-1)*A^T*C_N^(-1) ,où C_X=<X^T*X> et C_N=<N^T*N> sont les matrices de variance-covariance du signal et du bruit.

Question 3)

Dans l'espace de Fourier, les matrices de variance-covariance sont diagonales également et se réduisent aux spectres de puissances. Montrer que le filtre de Wiener R_k inverse les basses fréquences et coupe les plus grandes où le bruit domine.

Image déconvoluée filtrée

Groupe quotient

Phénomènes mutuels

Auteur: Stéphane Erard

L'arithmétique intervient en Astronomie lorsqu'il est question de phénomènes périodiques. Historiquement, la prévision des éclipses et des fêtes religieuses a fait appel à de tels calculs. Dans la période moderne, c'est la mécanique quantique (à travers l'équation de Schrödinger) qui introduit des solutions à base de nombres entiers.

Ex: Phénomènes mutuels

Auteur: Stéphane Erard

Phénomènes mutuels

Difficulté : ☆☆ Temps : 45 min

Le corps céleste A a une période synodique (par rapport à la Terre) de 105 jours et passe à l'opposition à la date J_0 . Six jours plus tard on observe à l'opposition le corps B dont la période synodique est de 81 jours.

On veut déterminer la date J_1 de la prochaine opposition simultanée des deux corps.

Question 1)

Trouver une condition permettant de déterminer cette date.

Question 2)

Trouver une solution particulière de cette équation.

Question 3)

Déterminer toutes les solutions de l'équation trouvée plus haut.

Question 4)

Quelle est la date de la prochaine opposition commune ?

Question 5)

Application à Mars et Jupiter : une opposition de Mars a eu lieu le 24/12/2007, l'opposition suivante de Jupiter le 4/7/2008. Les périodes synodiques respectives sont de 780 et 399 jours. Quand se produira la prochaine opposition simultanée des deux planètes ?

Atome de Bohr

Auteur: Stéphane Erard

Les premières mesures spectroscopiques ont révélé à la fin du XIXe siècle un comportement inattendu des sources lumineuses : elles présentent fréquemment des raies intenses, soit en absorption soit en émission. Pour une source donnée, l'émission ou l'absorption ne se produisent qu'à certaines longueurs d'onde. La formule expérimentale de Balmer-Rydberg (1885-88) rend compte de la position de ces raies pour l'atome d'hydrogène, mais ne correspond à aucun phénomène connu.

Divers modèles de structure atomique ont été proposés dans les années suivantes pour intégrer les résultats expérimentaux de l'époque. Le modèle de Bohr pour l'atome d'hydrogène (1913) a fourni la première explication des résultats spectroscopiques. Il implique un comportement non-classique des systèmes microscopiques, qui sautent sans transition entre états d'énergie discrets.

Ex: Atome de Bohr

Auteur: Stéphane Erard

Modèle de Rutherford

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Un des premiers modèles atomiques modernes est celui de Rutherford (1911), s'appuyant sur des expériences de diffusion de particules alpha. Ce modèle suppose que l'atome est formé d'un noyau de très petites dimensions chargé positivement, autour duquel gravitent des électrons négatifs beaucoup moins massifs sur des orbites circulaires. En raison d'une analogie évidente, on l'appelle modèle planétaire.

Question 1)

On considère un atome d'hydrogène où un électron unique orbite autour d'un noyau de charge unité. L'électron est soumis à une force électrostatique d'intensité $F_c = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$

où e est la charge de l'électron et du noyau (opposées), r leur distance et $\epsilon_0$ une constante physique (permittivité du vide).

Ecrire la distance électron-noyau dans ce modèle.

Question 2)

Calculer l'énergie totale (cinétique et potentielle).

Auteur: Stéphane Erard

Atome de Bohr

Difficulté : ☆ Temps : 45 min

Une difficulté avec le modèle de Rutherford est qu'il ne rend pas compte des expériences de spectroscopie de l'époque et de l'existence de raies spectrales. Par ailleurs, l'électrodynamique classique prévoit que les électrons devraient rayonner et perdre de l'énergie, ce qui les ferait tomber sur le noyau très rapidement. Niels Borh travaillait à ce problème quand il prit connaissance de la formule de Balmer qui donne la position observée des raies spectrales de l'hydrogène dans le visible :

$1/ \lambda = \nu / c = R\left(\frac{1}{2^2} - \frac {1}{n^2} \right)$

où $\nu$ est la fréquence associée, n est un nombre entier > 2, R une constante et c la vitesse de la lumière.

Par ailleurs il connaissait l'hypothèse d'Einstein formulée pour l'étude de l'effet photo-électrique : la lumière peut se décomposer en "quanta" (les photons) dont l'énergie est liée à la fréquence $\nu$ du rayonnement : $E = h \nu$ .

En rapprochant ces faits, Bohr formula l'hypothèse que l'atome ne peut prendre que certains états d'énergie donnés dans son modèle atomique (1913).

Question 1)

Calculer les longueurs d'onde des raies visibles et dessiner le spectre de l'hydrogène à l'aide de la formule ci-dessus. On prendra les raies de Balmer n = 3 à 6 qui sont dans le domaine visible, et $R = 1.1\;10^7\; m^{-1}$ (constante de Rydberg).

Question 2)

Ecrire les variations d'énergie de l'atome d'hydrogène liées à l'émission d'une raie de la série de Balmer.

Question 3)

En déduire les valeurs possibles du rayon de l'électron et du moment cinétique mrv .

Question 4)

Comment interpréter ce résultat ?

remarque

Les autres séries de raies de l'hydrogène correspondent à des transitions vers les couches n ≠ 2. On peut représenter les niveaux énergétiques de l'hydrogène de la façon suivante :

Diagramme énergétique de l'hydrogène

Crédit : Astrophysique sur Mesure / FSU

La première raie de Balmer $H_{\alpha}$ est particulièrement importante en Astronomie car elle permet de détecter l'hydrogène atomique dans le milieu interstellaire.

Cycles astronomiques et fractions continues

Auteur: Alexandre Pousse

Introduction

Les fractions continues ont une très longue histoire car liées à celle des nombres. En effet, il existe un lien important entre celles-ci et l'algorithme d'Euclide. Plus particulièrement, elles apparaissent dans l'approximation de nombre comme π ou du nombre d'or.

Délaissées pendant un certain temps, elles sont redécouvertes en Europe en 1655 par le mathématicien anglais John Wallis, puis étudiées par la suite par Leonhard Euler qui va apporter de nombreux théorèmes.

L'interêt de l'étude des fractions continues est souvent pour l'approximation d'équations diophantiennes. Ce sont des équations algébriques pour lesquelles on cherche des solutions en entiers. Un exemple particulier qui est utile en astronomie car permettant de mettre en évidence des phénomènes de résonnances ou de prévoir le retour d'un phénomène périodique, c'est de fixer X,Y deux nombres représentant des périodes, et de trouver $\lambda, \mu$ , deux entiers tels que $\lambda X + \mu Y = 0$ . La notion d'approximation introduite par les fractions continues est utilisée lorsque X, Y sont irrationnelles ou rationnelles comportant de nombreuses décimales (ce qui est fréquent de manière générale en Physique), on va alors chercher à trouver la meilleure combinaison linéaire approximant $\lambda X + \mu Y$ . Autre application des fractions conitnues: en arithmétique, elles vont permettre l'étude et la caractérisation de nombres transcendants (par exemple, par l'étude de leur périodicité).

Définitions et propriétés

Une fraction continue est un objet s'écrivant sous la forme $a_0 + \frac{b_0}{a_1 + \frac{b_1}{a_2 + \frac{b_2}{a_3 + \frac{ b_3}{a_4 + ...}}}}$ où les a_n et les b_n sont des nombres entiers naturels ou relatifs. La fraction obtenue peut être composée d'un nombre fini ou infini de termes.

Mais ce que nous utiliserons par la suite et qui ont été étudiées plus particulièrement, ce sont les fractions continues simples, c'est-à-dire de la forme $a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \frac{ 1}{a_4 + ...}}}}$ avec $a_0 \in \mathbb{Z}$ et $(a_n)_{n>0} \subset \mathbb{N}$ (fini ou non). Une notation plus compacte et qui sera utilisée ici est d'écrire [a_0;a_1;a_2;...;a_n;...] .

Afin de caractériser une fraction continue, on utilise la notion de réduite. Par exemple, pour $n \in \mathbb{N}$ , on appellera réduite de la fraction continue définie par la suite $(a_n)_{n\geq0} \subset \mathbb{N}$ , la fraction $\frac{p_n}{q_n}=[a_0;a_1;a_2;a_3;...;a_n]$ . Pour le nombre d'or $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ , les trois premières réduites sont $\frac{p_0}{q_0}= [1]$ , $\frac{p_1}{q_1}=[1;1]$ , $\frac{p_2}{q_2}=[1;1;1]$ . Ainsi, nous obtenons deux suites d'entiers $(p_n)_{n\geq 0}$ et $(q_n)_{n\geq 0}$ avec en particulier, la propriété suivante: si $p_{-1}=1$ , $p_{0}=a_0$ et $\forall n \geq 1~~p_n = a_np_{n-1} + p_{n-2}$ , et si $q_{-1}=0$ , $q_{0}=a_0$ et $\forall n \geq 1~~q_n = a_nq_{n-1} + q_{n-2}$ , alors $\forall n \geq 0~~ \frac{p_n}{q_n} = [a_0;a_1;a_2;a_3;...a_n]$ .

Approximation des nombres

Introduisons maintenant la fraction continue dans le cadre de l'approximation des nombres. Soit α un réel et $(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels telle que:

$\alpha_0 = \alpha$ ,

si $\alpha_n \notin \mathbb{N}^*$ alors $\alpha_n = a_n + \frac{1}{\alpha_{n+1}}~~\mbox{avec}~~ \alpha_{n+1} >1 ~~\mbox{et}~~ a_n \in \mathbb{N}^*$ ,

sinon $\alpha_n = a_n ~~\mbox{avec}~~ a_n \in \mathbb{N}^*$ .

Ainsi, on obtient le développement suivant $\alpha = a_0 + \frac{1}{\alpha_1}= a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{\alpha_2}}} = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2+ \frac{1}{\alpha_3}}}}=...=[a_0;a_1;a_2;...;a_n+ \frac{1}{\alpha_{n+1}}]=...$

Application à l'astronomie

L'intérêt des fractions continues dans le domaine de l'astronomie est lié à la notion de périodicité ou de résonnance et donc aux équations diophantiennes qui en résultent. En effet, si l'on considère deux phénomènes ayant chacun une période T_1 et T_2 , alors afin de caractériser le retour mutuel de ces deux phénomènes, il est commode de chercher deux entiers X et Y tels que XT_1 + YT_2 = 0 . Or généralement, les périodes ne sont malheureusement pas des nombres entiers ce qui implique de grands nombres entiers pour X et Y.

L'idée est donc de chercher les "meilleurs" rationnels $\frac{X}{Y}$ approchant $\frac{T_2}{T_1}$ de façon à résoudre le problème au voisinage de la résonnance. C'est ce qu'on appelle l'approximation diophantienne. Nous utiliserons pour cela les fractions continues.

Les exercices qui suivent vont ainsi permettre de mettre en évidence la propriété théorique sur les réduites ainsi que des applications astronomique par la recherche de meilleure solution approximation de l'équation diophantienne via les fractions continues en caractérisant le mouvement de Saturne et de la Terre, le phénomène d'éclipse et en définissant une meilleure approximation de l'année tropique.

Ex: Cycles astronomiques et fractions continues

Auteur: Alexandre Pousse

Propriété des réduites

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Soient $(p_n)_{n\geq 0}$ et $(q_n)_{n\geq 0}$ , deux suites d'entiers. Rappelons la propriété sur les réduites donnée dans le cours:

si $p_{-1}=1$ , $p_{0}=a_0$ et $\forall n \geq 1~~p_n = a_np_{n-1} + p_{n-2}$ ,

et si $q_{-1}=0$ , $q_{0}=a_0$ et $\forall n \geq 1~~q_n = a_nq_{n-1} + q_{n-2}$ ,

alors $\forall n \geq 0~~ \frac{p_n}{q_n} = [a_0;a_1;a_2;a_3;...a_n]$ .

Question 1)

Démontrer la propriété des réduites.

Auteur: Alexandre Pousse

Une meilleure approximation de l'année tropique

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Une année tropique correspond au temps s'écoulant entre deux équinoxes de printemps, c'est-à-dire 365.24219052 jours (année tropique moyenne à J2000). C'est donc l'année permettant "le retour des saisons" au mêmes dates et donc compensant le phénomène de précession des équinoxes.

En effet, avant la réforme du calendrier par Grégoire XIII au XVI^e siècle, le calendrier était le calendrier Julien, établi par l'astronome Sosigène d'Alexandrie et comportant 365.25 jours (année bissextile tous les quatre ans). Cela impliquait un décalage d'un jour tous les 128 ans, d'où modification de la date de retour des saisons.

L'idée de cet exercice est de comprendre le calendrier utilisé aujourd'hui, puis de trouver par l'intermédiaire d'une fraction continue une valeur plus stable de l'année.

Question 1)

L'année grégorienne correspond à 366 jours les années multiples de quatre et non multiples de cent sauf les année multiples de quatre cents. Sinon, l'année vaut 365 jours.

Établir la valeur et la fraction représentant la partie décimale de l'année grégorienne.

Question 2)

On définira la notion de stabilité comme l'écart la durée de l'année estimée et la durée de l'année tropique moyenne. Le réel obtenu permet de déduire le décalage du retour des équinoxes.

Évaluer la stabilité du calendrier grégorien. Au bout de combien de temps le calendrier se décale d'un jour?

Question 3)

En utilisant la méthode d'approximation des nombres à l'aide d'une fraction continue, trouver une nouvelle définition de l'année beaucoup plus stable que l'année grégorienne. Proposer une méthode d'application pour remplacer le calendrier actuel.

Auteur: Alexandre Pousse

L'automate de Huygens

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Christian Huygens, mathématicien et astronome du XVII^e siècle, souhaitait réaliser un automate planétaire permettant de modéliser l'évolution du système solaire au cours du temps (en approximation circulaire). À cet époque, le système solaire ne comprend que 6 planètes (Mercure, Venus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Rappelons qu'un automate est un système composé d'une manivelle reliée à différents rouages, chacun associé à la période de révolution d'une planète par leur nombre de dents.

Lors de la conception de cet objet, Huygens se retrouve confronté à une difficulté: le rapport de l'année terrestre et de celle de Saturne. Combien faut-il de dents sur les deux engrenages pour décrire convenablement le mouvement de la Terre et de Saturne au cours de leur révolution?

Question 1)

Dans l'approximation d'orbites circulaires, poser l'équation diophantienne du problème de l'automate.

Question 2)

Sur son orbite, la Terre parcourt un angle $\mu = 359\deg45'40''31'''$ en un an. De même en un an, Saturne réalise $\lambda = 12\deg 13'34''18'''$ (Ce sont les valeurs de l'époque).

Établir la fraction rationnelle donnée par le rapport $\frac{\mu}{\lambda}$ . Est-il raisonnable de réaliser deux engrenages associés à cette fraction?

Question 3)

Maintenant, afin de supprimer ce problème technique, introduire la notion de fraction continue pour résoudre le problème par approximation diophantienne.

Question 4)

Huygens définit la notion de stabilité comme le décalage entre l'angle parcouru par Saturne sur son automate et dans la réalité après que la Terre ait réalisé 100 révolutions.

À l'aide d'un développement en fraction continue, proposer un engrenage satisfaisant d'un point de vue technique (au delà d'un millier de dents, la réalisation est difficile) et stable au sens de Huygens.

Auteur: Alexandre Pousse

Le cycle de Saros

Difficulté : ☆ Temps : 60 min

Un cycle de Saros correspond à 223 lunaisons. C'est une période associée au retour d'une éclipse de Soleil (resp. de Lune) après une éclipse totale. Ainsi, si une éclipse a lieu à un instant t alors il est possible de prédire qu'au temps t+223 lunaisons il s'en reproduira une autre.

L'idée de cet exercice est de comprendre et de retrouver pourquoi nous avons ce nombre de 223 lunaisons pour le retour d'une éclipse.

Question 1)

Définir géométriquement la notion d'éclipse de Lune (resp. de Soleil) vu de la Terre (avec la notion de droite ou de plan par exemple).

Question 2)

Caractériser la notion d'éclipse en terme de position de la Lune sur son orbite ainsi que de son éclairement relatif à la Terre.

Question 3)

Introduisons deux notions pour la détermination de cycle de Saros.

Le mois draconitique, c'est le temps que met la Lune à partir du noeud ascendant pour y revenir. La durée du mois draconitique est de $\mu = 27.212221~\mbox{j}$ .

Le mois synodique ou lunaison est le temps entre deux nouvelles Lunes successives. Sa durée est d'en moyenne $\lambda = 29.2953089~\mbox{j}$ .

Dans l'approximation d'orbites circulaires, poser l'équation diophantienne du problème du retour d'éclipse.

Question 4)

Introduire la notion de fraction continue pour résoudre le problème par approximation diophantienne.

Question 5)

Rappelons que le diamètre de la Lune et du Soleil vu de la Terre est de 30' d'arc.

Établir l'erreur de coincidence maximal pour que l'on ait une éclipse (on considère qu'une éclipse partielle est encore une éclipse).

Question 6)

Développer la fraction continue jusqu'au terme adéquat (évaluation des réduites et contrôle de l'erreur de coïncidence).

Question 7)

Conclure sur la notion de cycle de Saros.

Question 8)

Vous vous rappelez peut-être de l'éclipse totale de Soleil du 11 août 1999 (éclipse totale de la Normandie à l'Alsace en France et partielle au voisinage de cette bande). Déterminer quand cette configuration va t-elle se reproduire? Va t-elle avoir lieu aux mêmes longitudes?

Réponses aux exercices

pages_poly/exo-factorisation-laplace.html

Exercice 'Factorisation du polynôme de la méthode de Laplace'

Question 1
Question 2
Aide :
Faire le changement de variables pour éliminer les fractions.

Aide :
Lors de la substitution (ou équivalemment de la question précédente), repérer les groupes de termes qui s'annulent afin de mettre en facteur dans chacun de ces groupes

Solution :
On obtient:

$(z-1)\ \ [s^8 z^6 (z+1) - 2 \alpha \beta s^3 z^3 (z^2+z+1) - \alpha^2 (z-1) (z^2+z+1)^2]$

Si on en a le courage et le temps, il ne reste plus qu'à développer l'expression et à remplacer par .

pages_poly/exo-poly-legendre-racines2.html

Exercice 'Les racines des polynômes de Legendre'

Question 1
Aide :
Notez que a racines. Elles sont non disctinctes car il s'agit de et chacune d'elles étant d'ordre .

Aide :
Les racines étant d'ordre m, on a $P^{(i)}(+1)=0$ et $P^{(i)}(-1)=0$ pour tout $i \in \{0, \dots , m-1 \}$ , où

Aide :
Appliquer le théorême de Roll au polynôme sur l'intervalle

Aide :
On a donc $P^{(1)}$ qui s'annulle en , $x_{1,1}$ et (ces trois racines sont distinctes)

Aide :
Appliquer le théorême de Roll au polynôme $P^{(1)}$ sur l'intervalle $[-1,x_{1,1}]$ , puis sur $[x_{1,1},+1]$ . On a donc les racines , $x_{2,1}$ , $x_{2,2}$ et (ces quatres racines sont distinctes). Rédigez ensuite la récurrence. Une rédaction propre n'est pas si aisée. Faites la avec soin et choissisez bien vos notations (par exemple, bien différencier l'indice du polynôme et l'indice de la récurrence).

pages_syst-lin/exo-sat-coorb.html

Exercice 'Equilibres de satellites co-orbitaux'

Question 1
Solution :
Les points fixes du système sont donnés par :

$\xi_i=0$ ,

et

$\sum_{j \neq i} m_j f'(\phi_i - \phi_j)=0$

pour tout .
Question 2
Solution :
La première équation signifie qu'en configuration stationnaire les satellites co-orbitaux ont le même rayon orbital. Dans le problème exact, cela est seulement vrai à l'ordre 0 en . Les petites corrections d'ordre sont ici négligées.
Question 3
Solution :
La seconde équation fait intervenir les séparations angulaires entre les satellites et peut s'écrire sous forme matricielle. On définit $f'_{ij} \equiv f'(\phi_i-\phi_j)$ . La fonction étant impaire, on obtient:

$\left [ \begin{array}{ccccc} 0 & f'_{12} & \cdots & \cdots & f'_{1N} \\ - f'_{12} & 0 & f'_{23} & \cdots & f'_{2N} \\ \vdots & & 0 & & \\ \vdots & & & \ddots & \\ - f'_{1N} & & & & 0 \end{array} \right] \cdot \left [ \begin{array}{ccccc} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ m_N \end{array} \right] \equiv M_N \cdot \left [ \begin{array}{ccccc} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ m_N \end{array} \right] = 0_{{\mathbb R}^N}$
Question 4
Solution :
La matrice définie ci-dessus est antisymétrique. Elle ne dépend que des longitudes $\phi_i$ , via les coefficients $f'_{ij}$ .
Question 5
Solution :
Avec , la condition d'équilibre s'écrit

$\xi_1=\xi_2= f'(\phi_2)=0$ ,

c'est-à-dire

$\xi_1=\xi_2=0$ et $\phi_2=60^\circ$ , $180^\circ$ ou $300^\circ$ .

Les points d'équilibre sont respectivement les points de Lagrange , et .

Remarque

Les points et n'apparaissent pas. Cela résulte des hypothèses du problème.
Question 6
Solution :
Puisque est antisymétrique, son rang est pair. C'est un résultat classique d'algèbre linéaire, non redémontré ici.

Par conséquent, pour des angles $\phi_i$ donnés, l'existence de solutions non-triviales (positives ou négatives) du système linéaire va dépendre de la parité du nombre de satellites.

Si N est impair, avec impair. Ainsi, étant données des séparations angulaires arbitraires et non-nulles entre les satellites, il existe une famille à k paramètres de vecteurs pour laquelle la configuration est stationnaire: étant données par exemple , , ..., , le système linéaire admet une et une seule solution .

Remarque

Notons cependant que les masses doivent être positives pour que la solution correspondante ait un sens physique. Cela réduit les configurations angulaires possibles $\phi_1,...,\phi_N$ à un sous-ensemble de $[0,360^\circ[^N$ .

Remarque

En fait "presque partout". Dans l'espace des $\phi_i$ , l'ensemble pour lequel le rang de est , ,..., est de mesure nulle. Ainsi étant donnée par exemple , il y aura une et une seule solution pour laquelle $(\phi_1,...,\phi_N)$ est une configuration d'équilibre.
Question 7
Solution :
Si est pair, le rang de est généralement : étant donnée une configuration angulaire arbitraire $\phi_1,...,\phi_N$ , il n'existe pas en général de solutions non-triviales pour lesquelles $(\phi_1,...,\phi_N)$ est un équilibre.
Question 8
Solution :
On doit tout d'abord annuler le déterminant de la matrice, , afin de trouver des solutions non-triviales.

Remarque

Le rang de sera "presque partout" sur $D=\{ (\phi_1,...,\phi_N) \in [0,360^\circ[^N | det(M_N) = 0\}$ . Dans ce cas, il existe une famille à 2 paramètres de vecteurs pour lesquels la configuration est stationnaire.
Question 9
Aide :
Dans le cas , seuls les points de Lagrange , et sont des points d'équilibre. Deux satellites à par exemple $60^\circ$ l'un de l'autre sont stationnaires quelque soit le choix arbitraire des masses et .

pages_syst-lin/exo-expo-lyap.html

Exercice 'exposants de Lyapunov'

Question 1
Solution :
On a ${\bf w}(k\tau)=\lambda^k {\bf w}_0$ . Ainsi:

$\chi({\bf x}_0,{\bf w}_0)=\lim_{k\to +\infty}\frac{1}{k\tau}\ln (|\lambda_0|^k||{\bf w}_0||) =\lim_{k\to +\infty}\frac{k \ln |\lambda_0|}{k\tau} =\frac{\ln |\lambda_0|}{\tau}$ .
Question 2
Solution :
L'équation différentielle décrivant l'évolution de ${\bf w}$ est linéaire. On en déduit que si ${\bf w}'(t)$ désigne l'évolution de $\lambda {\bf w}_0$ et ${\bf w}(t)$ l'évolution de ${\bf w}_0$ alors on a ${\bf w}'(t)=\lambda {\bf w}(t)$ . Ainsi on a :

$\chi({\bf x}_0,\lambda {\bf w}_0)=\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t}(\ln |\lambda| +\ln ||{\bf w}||) = \lim_{t\to +\infty }\frac{1}{t}\ln || {\bf w}||$
Question 3
Solution :
Toujours du fait de la linéarité de l'équation différentielle décrivant l'évolution de ${\bf w}$ , si on note ${\bf w}(t)$ et ${\bf w}'(t)$ les évolutions respectives de ${\bf w}_0$ et ${\bf w}_1$ on a:

$\chi({\bf x}_0,{\bf w}_0+{\bf w}_1)=\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t}\ln ||{\bf w}+{\bf w}'||$ .

D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz on a: $||{\bf w}+{\bf w}'||\le ||{\bf w}|| + ||{\bf w}'||$ . Ainsi, la fonction logarithme étant croissante, on a:

$\chi({\bf x}_0,{\bf w_0}+{\bf w}_1)\le \lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t}\ln ( ||{\bf w}||+||{\bf w}'||)=\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t} \ln \left\Big\lbrack \max(||{\bf w}||,||{\bf w}'||)\cdot(1+\epsilon ) \right\Big\rbrack = \lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t}\ln \left\big\lbrack \max(||{\bf w}||,||{\bf w}'||) \right\big\rbrack$

où $\epsilon=\frac{{\rm min}\left(||{\bf w}||,||{\bf w'}||\right)}{{\rm max}\left(||{\bf w}||,||{\bf w'}||\right)}$ , ainsi $0\le \epsilon \le 1$ ce qui permet d'éliminer le facteur $(1+\epsilon)$ lors du passage à la limite (division par ).

Lorsque les limites existent on a:

$\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t} \ln \left\big\lbrack \max(||{\bf w}||,||{\bf w}'||)\right\big\rbrack = \max \left( \lim_{t\to +\infty} \frac{1}{t} \ln ||{\bf w}||,\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t}\ln||{\bf w}'|| \right)$ ,

Ce qui montre le résultat.
Question 4
Solution :
D'après la convention, $\forall \alpha \in \mathcal{R},\quad \vec{\bf 0}\in \mathcal{L}(\alpha)$ . En tant que sous-espace d'un espace vectoriel, il suffit de montrer donc de montrer que $\mathcal{L}(\alpha)$ est stable par combinaison linéaire. Ceci est une conséquance immédiate des deux questions précédentes.
Question 5
Aide :
Procéder par l'absurde en supposant exposants de Lyapunov distincts.

Solution :
Supposons qu'il en existe . soit $\alpha_1,\dots,\alpha_{n+1}$ les exposants de Lyapunov, tels que $\alpha_1>\dots>\alpha_{n+1}$ . Par définition on a $\mathcal{L}(\alpha_{i-1}) \subset \mathcal{L}(\alpha_i)$ avec $\mathcal{L}(\alpha_{i-1})\ne\mathcal{L}(\alpha_i)$ . Ainsi $\dim \mathcal{L}(\alpha_i) \ge \dim \mathcal{L}(\alpha_{i-1})+1$ . Soit $\dim \mathcal{L}(\alpha_1)\ge n+1$ . Or $\mathcal{L}(\alpha_1)\subset \mathcal{R}^n$ qui est de dimension , donc il ne peut y avoir exposants de Lyapunov distincts.

pages_appli-lin/exo-lap-lag.html

Exercice

Question 1
Solution :
Il faut d'abord calculer le polynôme caractéristique qui est $P(\lambda) = A - \lambda I$ où est la matrice identtée. Il est de degré 2. La résolution de $P(\lambda)=0$ donnent les racines $\nu_5 = 0.0095$ ''/jour et $\nu_6 = 0.0601$ ''/jour. Ces valeurs propres sont distinctes donc est diagonalisable.
Question 2
Aide :
Utiliser le fait que le système est diagonalisable pour définir un nouveau jeu de variables (qui seront les "éléments propres"). On utilisera formellement la matrice des vecteurs propres mais il est inutile de la calculer explicitement.

Solution :
est diagonalisable donc il existe une matrice tel que:

$D = P^{-1} A P $$$ avec $D = \left( \begin{array}{cc} \nu_5 & 0\\ 0 & \nu_6 \end{array} \right)$

On définit le changement de variables: $\alpha = P \beta$

Le système devient alors: $\frac{d\beta}{dt} = \imath D \beta$

En notant $\beta = \left( \begin{array}{c} z^{*}_5 \\ z^{*}_6 \end{array} \right)$ , le système est trivialement intégrable:

$\begin{array}{ccc} \frac{dz^{*}_5 }{dt} \, = \imath \, \nu_5 \, z^{*}_5 & \Rightarrow & z^{*}_5 = z^{*}_5(0) \, \exp\imath\nu_5t \\ \frac{dz^{*}_6 }{dt} \, = \imath \, \nu_6 \, z^{*}_6 & \Rightarrow & z^{*}_6 = z^{*}_6(0) \, \exp\imath\nu_6t \\ \end{array}$
Question 3
Solution :
La période est donnée par $T=2\pi / \nu$ ou plutôt $T=360 \times 60 \times 60 / \nu$ puisque $\nu$ est donné en seconde de degré (par jour). Il faut encore diviser le résultat par pour l'avoir en année.

Les périodes sont 370 000 ans et 59 000 ans.
Question 4
Solution :
La matrice de passage n'est pas indispensable mais après avoir écrit la solution formelle de la question 2) en , il faudra inverser un système $2 \times 2$ .

On obtient: $\begin{array}{ccccc} z_J &= &0.044 \exp\imath(\nu_5 t + \varpi^{*}_{05}) &+ &0.016 \exp\imath(\nu_6 t + \varpi^{*}_{06}) \\ z_S &= &0.035 \exp\imath(\nu_5 t + \varpi^{*}_{05}) &+ &0.049 \exp\imath(\nu_6 t + \varpi^{*}_{06}) \\ \end{array}$
Question 5
Solution :
varie entre et

varie entre et

pages_appli-lin/exo-lever-coucher.html

Exercice

Question 1
Solution :
Par définition on a $\widehat{\overrightarrow{OS},\overrightarrow{OM}}=-\delta$ . Les points et sont coplanaires, ainsi $\widehat{\overrightarrow{OT},\overrightarrow{OP}}=\widehat{\overrightarrow{OT},\overrightarrow{OS}}+\widehat{\overrightarrow{OS},\overrightarrow{OM}}+\widehat{\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OP}}=-\frac{\pi}{2}-\delta+\frac{\pi}{2}=-\delta$ .

On a $\mathcal{M}=\left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos \delta & 0 & \sin \delta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \delta & 0 & \cos \delta }\end{array}\right\rbrack$ .
Question 2
Solution :
Par définition $\widehat{\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O\mathcal{S}ud'}}=-H$ . Comme $\overrightarrow{OU}$ est orthogonal à $\overrightarrow{OP}$ , on en déduit que se trouve sur l'équateur céleste (par définition de l'équateur céleste). De même, $\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}$ est perpendiculaire au plan $(O\mathcal{N}ordZ)$ qui est confondu avec le plan $(O\mathcal{N}ordP)$ . Ainsi $\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}$ est orthogonal à $\overrightarrow{OP}$ , donc le point $\mathcal{O}uest$ se trouve aussi sur l'équateur céleste. Finalement, les points $M, \mathcal{S}', U$ et $\mathcal{O}uest$ sont sur l'équateur céleste. On a donc: $\widehat{\overrightarrow{OU},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}}= \widehat{\overrightarrow{OU},\overrightarrow{OM}}+\widehat{\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O\mathcal{S}ud'}}+\widehat{\overrightarrow{O\mathcal{S}ud'},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}}=-\frac{\pi}{2}-H+\frac{\pi}{2}=-H$ .

On a $\mathcal{N}=\left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos H & \sin H & 0 \\ -\sin H & \cos H & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right\rbrack$ .
Question 3
Solution :
Par définition on a $\widehat{\overrightarrow{OS},\overrightarrow{ON}}=-\h$ . Les points et sont coplanaires, ainsi $\widehat{\overrightarrow{OW},\overrightarrow{OZ}}=\widehat{\overrightarrow{OW},\overrightarrow{OS}}+\widehat{\overrightarrow{OS},\overrightarrow{ON}}+\widehat{\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OZ}}=-\frac{\pi}{2}-h+\frac{\pi}{2}=-h$ .

On a $\mathcal{P}=\left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos h & 0 & \sin h \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin h & 0 & \cos h }\end{array}\right\rbrack$ .
Question 4
Solution :
Par définition $\widehat{\overrightarrow{ON},\overrightarrow{O\mathcal{S}ud}}=-A$ . Comme $\overrightarrow{OV}$ est orthogonal à $\overrightarrow{OZ}$ , on en déduit que se trouve sur l'horizon céleste (par définition de ). Ainsi, les points $N, \mathcal{S}ud, V$ et $\mathcal{O}uest$ sont sur l'horizon céleste. On a donc: $\widehat{\overrightarrow{OV},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}}= \widehat{\overrightarrow{OV},\overrightarrow{ON}}+\widehat{\overrightarrow{ON},\overrightarrow{O\mathcal{S}ud}}+\widehat{\overrightarrow{O\mathcal{S}},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}}=-\frac{\pi}{2}-A+\frac{\pi}{2}=-A$ .

On a $\mathcal{Q}=\left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos A & \sin A & 0 \\ -\sin A & \cos A & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right\rbrack$ .
Question 5
Solution :
Les points $\mathcal{S}ud, \mathcal{S}ud', Z, P$ et $\mathcal{N}ord$ sont coplanaires. Ainsi $\widehat{\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OZ}}=\widehat{\overrightarrow{OP},\overrightarrow{O\mathcal{N}ord}}+\widehat{\overrightarrow{O\mathcal{N}ord},\overrightarrow{OZ}}=-\varphi+\frac{\pi}{2}$ et $\widehat{\overrightarrow{O\mathcal{S}ud'},\overrightarrow{O\mathcal{S}ud}}=\widehat{\overrightarrow{O\mathcal{S}ud'},\overrightarrow{OP}}+\widehat{\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OZ}}+\widehat{\overrightarrow{OZ},\overrightarrow{O\mathcal{S}ud}}=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\varphi+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-\varphi$ .

Avec $\bar{\varphi}=\frac{\pi}{2}-\varphi$ , on a $\mathcal{T}=\left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos \bar{\varphi} & 0 & \sin \bar{\varphi} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \bar{\varphi} & 0 & \cos \bar{\varphi} }\end{array}\right\rbrack$ .
Question 6
Solution :
$\overrightarrow{OS}|_{\mathcal{R}_H}=\mathcal{N}^{-1}\cdot\mathcal{M}^{-1}\cdot\overrightarrow{OS}|_{\mathcal{R}_{SH}}=\left\lbrack \begin{array}{ccc} \cos H & -\sin H & 0 \\ \sin H & \cos H & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right\rbrack \cdot \left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos \delta & 0 & -\sin \delta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \delta & 0 & \cos \delta \end{array}\right \rbrack \cdot \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos H \cos \delta \\ \sin H \cos \delta \\ \sin \delta \end{array}\right)$ .
Question 7
Solution :
$\overrightarrow{OS}|_{\mathcal{R}_L}=\mathcal{Q}^{-1}\cdot\mathcal{P}^{-1}\cdot\overrightarrow{OS}|_{\mathcal{R}_{SL}}=\left\lbrack \begin{array}{ccc} \cos A & -\sin A & 0 \\ \sin A & \cos A & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right\rbrack \cdot \left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos h & 0 & -\sin h \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin h & 0 & \cos h \end{array}\right \rbrack \cdot \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos A \cos h \\ \sin A \cos h \\ \sin h \end{array}\right)$ .

$\overrightarrow{OS}|_{\mathcal{R}_H}=\mathcal{T}\cdot\overrightarrow{OS}|_{\mathcal{R}_{L}}=\left\lbrack \begin{array}{ccc} \cos \bar{\varphi} & 0 & \sin \bar{\varphi} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \bar{\varphi} & 0 & \cos \bar{\varphi} \end{array} \right\rbrack \cdot \left(\begin{array}{c}\cos A \cos h \\ \sin A \cos h \\ \sin h \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\cos \bar{\varphi} \cos A \cos h + \sin \bar{\varphi} \sin h \\ \sin A \cos h \\ -\sin \bar{\varphi} \cos A \cos h + \cos \bar{\varphi} \sin h \end{array}\right )= \left(\begin{array}{c}\sin \varphi \cos A \cos h + \cos \varphi \sin h \\ \sin A \cos h \\ -\cos \varphi \cos A \cos h + \sin \varphi \sin h \end{array}\right )$ .

Ainsi on a $\begin{array}{rcl}\cos H \cos \delta &=& \sin \varphi \cos A \cos h + \cos \varphi \sin h \\ \sin H \cos \delta &=& \sin A \cos H \\ \sin \delta &=& -\cos \varphi \cos A \cos h+\sin \varphi \sin h \end{array}$ .
Question 8
Solution :
Au moment du coucher et du lever . Ainsi les trois relations deviennent:

Ainsi on a $\begin{array}{rcl}\cos H \cos \delta &=& \sin \varphi \cos A \\ \sin H \cos \delta &=& \sin A \cos H \\ \sin \delta &=& -\cos \varphi \cos A \end{array}$ .

Sous réserve de la non annulation des dénominateurs, on peut diviser la première relation par la troisième pour obtenir : $\cos H =-\tan \varphi \tan \delta$ .

Ainsi on a $H = \pm \arccos (- \tan \varphi \tan \delta ) + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{N}$ .
Question 9
Solution :
Pour $\delta=0$ on a $H=\pm 6~{\rm h}$ et la durée du jour est de 12h. On remarque que ce résultat est indépendant de $\varphi$ . Pour $\delta=23,5^{\circ}$ , on a $H=\pm 8\,{\rm h}\,4\,{\rm mn} \, 48\,{\rm s}$ , donc la durée du jour est de $16\,{\rm h}\,9\,{\rm mn}\, 36\,{\rm s}$ . Pour $-\delta=23,5^{\circ}$ , on a $H=\pm 3\,{\rm h}\,55\,{\rm mn} \, 12\,{\rm s}$ , donc la durée du jour est de $7\,{\rm h}\,50\,{\rm mn}\, 24\,{\rm s}$ .

pages_appli-lin/exo-ed.html

Exercice 'Etoiles doubles'

Question 1
Solution :
L'équation d'une conique correspond à un polynôme en et de degré deux, c'est-à-dire :

,

où sont des constantes réelles.
Question 2
Solution :
Il suffit de diviser l'équation précédente par . On obtient :

.
Question 3
Solution :
Il faut au moins 5 observations permettant d'écrire cinq équations.
Question 4
Solution :
On a 5 équations de la forme :

.

Qui s'écrivent sous forme matricielle :

$\left(\begin{array}{ccccc}x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 &1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b' \\ c' \\ d' \\ e' \\ f' \end{array}\right) = -\left(\begin{array}{c}x_1^2 \\ x_2^2\\ x_3^2 \\ x_4^2 \\ x_5^2 \end{array}\right)$ .
Question 5
Aide :
Il faut pour cela choisir un repère orthormé dans lequel les coordonnées de et sont les plus simples possibles.

Solution :
Comme on est libre sur le système de coordonnées, on peut choisir à l'origine et qui nous définie l'axe des abscisses ainsi que la norme. Ainsi on a , et .

Le système devient :

$\left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 &1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b' \\ c' \\ d' \\ e' \\ f' \end{array}\right) = -\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ x_3^2 \\ x_4^2 \\ x_5^2 \end{array}\right)$ .

Qu'on peut écrire :

$\left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ x_3y_3 & y_3^2 & y_3 & x_3 & 1 \\ x_4y_4 & y_4^2 & y_4 & x_4 & 1 \\ x_5y_5 & y_5^2 & y_5 & x_5 &1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b' \\ c' \\ e' \\ d' \\ f' \end{array}\right) = -\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ x_3^2 \\ x_4^2 \\ x_5^2 \end{array}\right)$ .

Ainsi et .

Le système à résoudre est donc :

$\left(\begin{array}{ccc} y_3 & x_3 & 1 \\ y_4 & x_4 & 1 \\ y_5 & x_5 &1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} e' \\ d' \\ f' \end{array}\right) = -\left(\begin{array}{c} x_3^2 +y_3^2 \\ x_4^2 +y_4^2\\ x_5^2+y_5^2 \end{array}\right)$ .

pages_spectre/exo-determinant.html

Exercice 'Relation de dispersion '

Question 1
Aide :
On pourra ramener le système à seulement 3 équations à 3 inconnues en éliminant les 2 inconnues de vitesse. De plus, pour simplifier on peut faire l'hypothèse que la masse des électrons est négligeable devant celle des ions.

Solution :
Le système s'écrit avec:

$\Large{X=\left( \begin{array}{c}{\tilde{E} \cr \tilde{u} \cr \tilde{n_1}}\end{array}\right)}$ et $\Large{A=\left( \begin{array}{ccc}{0 & ikn_0 & -i\omega \cr \frac{e}{m_e} & -i\omega & \frac{3ikT}{m_en_0} \cr ik & 0 & \frac{e}{\epsilon_0}}\end{array}\right)}$
Question 2
Solution :
Le système admet une solution non triviale si et seulement si son déterminant est nul. L'équation donne la relation de dispersion suivante:

$\omega=\pm \left( \frac{e^2n_0}{m_e\epsilon_0}+\frac{3Tk^2}{m_e} \right)^{1/2}$
Question 3
Solution :
$\omega=\pm k\left( \frac{\gamma_i T_i}{m_i}+\frac{k^2\gamma_e T_e/m_i}{1+\gamma_ek^2T_e^2\epsilon_0/(e^2n_0)} \right)^{1/2}$

pages_spectre/exo-wiener.html

Exercice 'Filtrage de Wiener'

Question 1
Solution :
En inversant on obtient . Comme le spectre de puissance de l'image decroit quand augmente et que celui du bruit reste constant, il existe une fréquence limite à partir delaquelle et donc le bruit est amplifié et domine la reconstruction de l'image.

Image déconvoluée
Question 2
Aide :
Si le bruit et le signal sont décorrélés, ou tout autre produit de ce genre. Si les données sont non biaisées, .

Solution :
. Minimiser par rapport à revient à resoudre . Ceci conduit à
Question 3
Solution :
donc à petit , et et à grand , et . Les très hautes fréquences dominées par le bruit sont coupées, l'image est donc filtrée.

pages_quotient/exo-phenomenes-mutuels.html

Exercice 'Phénomènes mutuels'

Question 1
Solution :
Les dates d'opposition du corps A sont , où k est un nombre entier (relatif).

Les dates d'opposition du corps B sont , où k' est un autre nombre entier.

On cherche la première date telle que , soit , où k et k' sont les nombres de périodes effectuées par les corps A et B entre et . On reconnaît une équation diophantienne, reliant trois nombres entiers.
Question 2
Solution :
On commence par chercher une solution particulière de l'équation plus simple . Le couple (-10, -13) est une telle solution.

On aura donc (k,k') = 2(-10,-13) = (-20,-26), solution particulière recherchée.
Question 3
Solution :
Les couples solutions (x,y) sont tels que .

On cherche y tel que 35 divise 27(y+26), alors que 35 est premier avec 27. Le théorème de Gauss indique que 35 doit être un diviseur entier de y+26, donc qu'il existe un nombre k tel que

En remplaçant y dans l'équation, on trouve , donc la solution générale est l'ensemble des couples (27k-20,35k-26), où k est un entier.
Question 4
Solution :
Le plus court intervalle correspond à k = 1, soit $20\times105 = 9\times81+6 = 735$ jours.
Question 5
Aide :
L'intervalle entre les deux oppositions est de 193 jours (on calcule ce type d'intervalle en convertissant les dates en jours juliens, ce que font tous les tableurs courants).

Solution :
Le même calcul que précédemment donne

$(1408-399)\times780 = (2752-780)\times399 + 193$ jours, soit ~ 2156 années. On remarque aussi que ce résultat dépend de l'échelle d'échantillonnage adoptée : l'intervalle d'une journée est parfaitement arbitraire.

pages_quotient/exo-atome-bohr.html

Exercice 'Modèle de Rutherford'

Question 1
Aide :
On écrit le principe fondamental de la dynamique $\vec{F} = m\vec{\gamma}$ et on projette sur le rayon vecteur.

Solution :
La trajectoire étant circulaire, le principe fondamental s'écrit $F_c = m\gamma_N$ , soit :

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

$r = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m v^2}$
Question 2
Solution :
L'équation précédente donne directement l'énergie cinétique :

$E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{8\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r}$

La situation est formellement identique au problème à deux corps en mécanique céleste, on a dans les deux cas une force attractive en $\frac{1}{r^2}$ , qui dérive d'un potentiel en 1/r.

Le potentiel s'écrit $V(r) = -\frac{e}{4\pi\epsilon_0\;r} + Cst$

En prenant un potentiel nul à l'infini (électron détaché du noyau), la constante d'intégration est nulle.

L'énergie potentielle est donc $E_p = eV(r) = -\frac{e^2}^{4\pi\epsilon_0\;r}$

et l'énergie totale vaut $E = E_c + E_p = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0\;r}$

Rien dans ce modèle n'implique de quantification de la distance électronique ou de l'énergie.

pages_quotient/exo-atome-bohr.html

Exercice 'Atome de Bohr'

Question 1
Solution :
Les premières raies de la série de Balmer ont les caractéristiques suivantes :

Série de Balmer
Niveau de départ Niveau d'arrivée Nom de la raie Longueur d'onde (nm)

3 2 $H_{\alpha}$ 656

4 2 $H_{\beta}$ 486

5 2 $H_{\gamma}$ 434

6 2 $H_{\delta}$ 410

Les autres séries de raies (Lyman, Paschen, Brackett…) se déduisent de la même façon en modifiant le niveau d'arrivée (p = 2 pour la série de Balmer). La série de Lyman (p = 1) est située dans l'ultraviolet, les autres (p > 2) dans l'infrarouge proche.

Série de Balmer

Les quatre premières raies de la série de Balmer, en lumière visible, vues en émission (l'axe est en longueur d'onde).

Crédit : Merikanto / Wikipedia
Question 2
Solution :
L'énergie émise par rayonnement correspond à une variation de l'énergie de l'atome :

$\frac{\nu}{c} =R\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right) = -\frac{\Delta E}{hc} =- \frac{E_2 - E_n}{hc}$

On en déduit :

$\frac{E_n}{hc} = \frac{- R}{n^2}$

$E_n = \frac{- hcR}{n^2}$

Les niveaux d'énergie varient en
Question 3
Solution :
$\frac{hc R}{n^ 2} = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0\;r}$

Le rayon ne peut donc prendre que des valeurs discrètes :

$r_n = \frac{e^2 n^ 2}{8\pi\epsilon_0\;Rhc}$

Le moment cinétique s'écrit :

$mrv = \frac{e\sqrt{mr}}{\sqrt{4\pi\epsilon_0}}$

$mrv = \frac{e^2 \sqrt{m}\; n }{4\pi\epsilon_0\sqrt{2hcR}}$

La valeur expérimentale de la constante de Rydberg est telle que :

$mrv = \frac{h\;n}{2\pi}$

qui est l'hypothèse principale du modèle de Bohr : le moment cinétique est quantifié, ses valeurs ne peuvent être que des multiples d'un entier n appelé nombre quantique principal.
Question 4
Solution :
Le modèle de Bohr n'a pas d'explication physique simple dans un cadre classique. Les électrons ne peuvent être situés qu'à certaines distances du noyau, définies par n, où ils ne rayonnent pas. Ils sautent d'une position à l'autre spontannément en absorbant ou en cédant la différence d'énergie (par rayonnement ou par collision).

On voit aussi que seul le rayon intervient dans la détermination des configurations atomiques, ce qui revient à dire qu'on ne sait pas localiser l'électron plus précisément. Dans le modèle de Bohr, les électrons sont donc seulement localisés sur une couche sphérique à la distance r du noyau.

Série de Balmer
Niveau de départ	Niveau d'arrivée	Nom de la raie	Longueur d'onde (nm)
3	2	$H_{\alpha}$	656
4	2	$H_{\beta}$	486
5	2	$H_{\gamma}$	434
6	2	$H_{\delta}$	410

pages_quotient/exo-fracont.html

Exercice 'Propriété des réduites'

Question 1
Solution :
Raisonnement par récurrence. Vérifier que la propriété est vraie aux premiers rangs, puis la supposer vraie au rang n. Enfin, montrer que l'hérédité de la propriété en remarquant que $\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} = [a_0;a_1;a_2;a_3;\dots;a_n;a_{n+1}]=[a_0;a_1;a_2;a_3;\dots;a_n + \frac{1}{a_{n+1}}]$ et en l'appliquant au rang n.

pages_quotient/exo-fracont.html

Exercice 'Une meilleure approximation de l'année tropique'

Question 1
Solution :
"L'année grégorienne correspond à 366 jours les années multiples de quatre et non multiples de cent sauf les année multiples de quatre cents. Sinon, l'année vaut 365 jours."

"...Sinon, l'année vaut 365 jours.", donc par défaut 365 jours, après il faut regarder quand ajouter ou soustraire un jour.

"...366 jours les années multiples de quatre...", donc $365 + \frac{1}{4}$ .

"...et non multiples de cent ...", donc $365 + \frac{1}{4}- \frac{1}{100}$ .

"...sauf les année multiples de quatre cents.", donc $365 + \frac{1}{4}- \frac{1}{100} + \frac{1}{400}$ .

Ainsi, une année grégorienne correspond à $365 + \frac{97}{400} ~\mbox{j} = 365.2425 ~\mbox{j}$
Question 2
Solution :
Il suffit d'évaluer l'écart avec l'année tropique. Après calcul, on obtient qu'il se produit un décalage d'un jour au bout de 3231 années.
Question 3
Solution :
Détermination de la fraction continue (par la méthode d'approximation d'un réel décrite précédemment), des réduites (par la relation de récurrence) et de la stabilité (au bout de combien de temps, y a-t-il décalage d'un jour?):

$\frac{p_0}{q_0} = [365]= 365$ donne un décalage d'un jour en 4 ans.

$\frac{p_1}{q_1} = [365;4]= 365+\frac{1}{4}$ donne un décalage d'un jour en 128 ans.

$\frac{p_2}{q_2} = [365;4;7]= 365+\frac{7}{29}$ donne un décalage d'un jour en 1232 ans.

$\frac{p_3}{q_3} = [365;4;7;1]= 365+\frac{8}{33}$ donne un décalage d'un jour en 4278 ans.

$\frac{p_4}{q_4} = [365;4;7;1;3]= 365+\frac{31}{128}$ donne un décalage d'un jour en 331455 ans.

Ainsi, la réduite $\frac{p_3}{q_3}$ permet une meilleure approximation de l'année que l'année grégorienne mais la mise en place ne serait pas aisée pour un gain de stabilité d'un millénaire.

Par contre $\frac{p_4}{q_4}$ serait énormément plus interessant! Pour l'adopter, nous pouvons par exemple proposer de faire des années bissextiles les années multiples de quatre sauf les années multiples de 128 (pas évident à réaliser mais finalement peu contraignant au regard des 331455 ans de stabilité!).

pages_quotient/exo-fracont.html

Exercice 'L'automate de Huygens'

Question 1
Solution :
Soient X et Y entiers naturels correspondant au nombre de dents sur chaque engrenage associé à une planète. Alors l'équation diophantienne à résoudre est $X\lambda - Y\mu =0$ où λ est associée à la révolution de Saturne et μ de la Terre.
Question 2
Solution :
$\frac{\mu}{\lambda}= \frac{77708431}{2640858}= 29.4254485$ . Ainsi il faudrait deux engrenages contenant 2640858 dents pour la Terre et 77708431 dents pour Saturne...difficilement réalisable à l'époque même avec les meilleures techniques d'horlogerie!
Question 3
Solution :
L'équation diophantienne à résoudre est $X\lambda = Y\mu$ . Cela revient à trouver le rationnel $\frac{X}{Y}$ tel que $\frac{X}{Y} =\frac{\mu}{\lambda}$ .

Pour supprimer le problème technique occasionné par un trop grand nombre de dents, le problème est alors résolu par approximation diophantienne, c'est-à-dire trouver un rationnel approximant convenablement $\frac{\lambda}{\mu}$ , qui est techniquement réalisable et sans une trop grande erreur. Pour cela, il faut effectuer un développement de $\frac{\lambda}{\mu}$ fraction continue.
Question 4
Solution :
Il faut décomposer $\frac{\mu}{\lambda}= 29.4254485$ en une fraction continue tout en contrôlant la stabilité ( $\frac{\epsilon_n}{360} = 100\times|\frac{\lambda}{\mu} - \frac{q_n}{p_n}|$ ):

$\frac{p_0}{q_0} = [29]= 29$ donne un décalage de 17,95° sur la position de Saturne après 100 tours de la Terre.

$\frac{p_1}{q_1} = [29;2]= \frac{59}{2}$ donne un décalage de 3.09° sur la position de Saturne après 100 tours de la Terre.

$\frac{p_2}{q_2} = [29;2;2]= \frac{147}{5}$ donne un décalage de 1,06° sur la position de Saturne après 100 tours de la Terre.

$\frac{p_3}{q_3} = [29;2;2;1]= \frac{206}{7}$ donne un décalage de 7.79' sur la position de Saturne après 100 tours de la Terre.

$\frac{p_4}{q_4} = [29;2;2;1;5]= \frac{1177}{40}$ donne un décalage de 1.12' sur la position de Saturne après 100 tours de la Terre.

Ainsi, en tenant compte qu'il est difficile de construire des engrenages comportant plus de 1000 dents et au regard de la stabilité obtenue après 100 révolutions de la Terre, le système le plus optimal serait d'utiliser une roue comportant 7 dents pour la Terre et 206 dents pour Saturne.

C'est ce qu'avait conclu Christian Huygens à son époque!

pages_quotient/exo-fracont.html

Exercice 'Le cycle de Saros'

Question 1
Solution :
Le Soleil, la Terre et la Lune sont trois points de l'espace.

Soit $\mathcal{P}_{Soleil-Terre}$ , le plan défini par l'orbite de la Terre autour du Soleil (plan de l'écliptique) et soit $\mathcal{D}_{Soleil-Terre}$ , la droite passant par la Terre et le Soleil.

Il y a éclipse lorsque $P_{Lune} \in \mathcal{P}_{Soleil-Terre}$ (Lune dans le plan de l'écliptique) et $P_{Lune} \in \mathcal{D}_{Soleil-Terre}$ (Lune alignée sur la droite Terre-Soleil). On notera qu'il y a éclipse de Lune si on a l'ordre $(P_{Soleil}; P_{Terre}; P_{Lune})$ . Dans ce cas la Lune passe dans le côte d'ombre de la Terre. Et il y a éclipse de Soleil lorsque $(P_{Soleil}; P_{Lune};P_{Terre})$ .
Question 2
Solution :
Le plan orbital de la Lune étant incliné relativement au plan de l'écliptique, une éclipse apparaît lorsque le satellite naturel de la Terre passe à l'intersection du plan orbital de la Terre et de celui de l'orbite lunaire. Sur l'ellipse décrite par la Lune, ce sont deux points appelés noeud ascendant et descendant.

En terme d'éclairement de la Lune relativement à la Terre, le fait d'appartenir à la droite $\mathcal{D}_{Soleil-Terre}$ signifie soit une nouvelle-lune (Lune invisible sur Terre) pour l'éclipse de Soleil, soit une pleine-lune pour l'éclipse de Lune.
Question 3
Solution :
En partant d'une éclipse, et donc nouvelle/pleine-lune et Lune au noeud ascendant/descendant, pour prédire une nouvelle éclipse il doit exister une équation diophantienne reliant les deux périodes. Soient X et Y entiers naturels alors l'équation diophantienne à résoudre est $X\mu - Y\lambda = 0$ .
Question 4
Solution :
L'équation diophantienne à résoudre est $X\mu = Y\lambda$ . Cela revient à trouver le rationnel $\frac{X}{Y}$ tel que $\frac{X}{Y} = \frac{\lambda}{\mu} = 1.0852069002$ .

La Lune et le Soleil n'étant pas des objets ponctuels (30' d'arc de diamètre), il est possible de résoudre le problème par approximation diophantienne, c'est-à-dire trouver un rationnel approximant convenablement $\frac{\lambda}{\mu}$ tout en contrôlant l'écart de coincidence afin de vérifier qu'il y a bien éclipse (que la configuration n'est pas trop éloignée de la configuration d'éclipse total: c'est ce qu'on appelle une éclipse partielle).
Question 5
Solution :
Dans l'approximation des orbites circulaires, la Lune parcourt 1° en 1h48min relativement à l'axe formé par les noeuds. De même, la Lune relativement à l'axe Terre-Soleil parcourt 1° en 1h58min.

Il n'y a plus éclipse lorsque le centre de la Lune est à plus de 0.5° du passage au noeud ascendant ou à 0.5° de l'axe Terre-Soleil sur le cercle décrivant la lunaison. Ainsi, nous pouvons considérer qu'il n'y a plus éclipse lorsque l'écart de coincidence en temps est supérieur à 54min (on regarde le minimum des deux temps de parcours pour 1° et on évalue le temps que met le centre de la Lune pour être décallé de plus de 0.5° par rapport au point donnant une éclipse totale).

Donc, pour retrouver une éclipse (totale ou partielle) à partir d'une configuration d'éclipse totale, il faut trouver deux entiers, X et Y tels que $\epsilon = X\mu - Y\lambda < 54 ~\mbox{min}$ .
Question 6
Solution :
Détermination de la fraction continue (par la méthode d'approximation d'un réel décrite précédemment), des réduites (par la relation de récurrence) et des erreurs de coïncidence associées ( $\epsilon_n = |q_n\mu - p_n\lambda|$ ):

$\frac{p_0}{q_0} = [1]= 1~~\mbox{ et } \epsilon_0 = 2\mbox{j}~7\mbox{h}38\mbox{min}$

$\frac{p_1}{q_1} = [1;11]= \frac{12}{11}~~\mbox{ et } \epsilon_1 = 1\mbox{j}~16\mbox{h}58\mbox{min}$

$\frac{p_2}{q_2} = [1;11;1]= \frac{13}{12}~~\mbox{ et } \epsilon_2 = 14\mbox{h}41\mbox{min}$

$\frac{p_3}{q_3} = [1;11;1;2]= \frac{38}{35}~~\mbox{ et } \epsilon_3 = 11\mbox{h}36\mbox{min}$

$\frac{p_4}{q_4} = [1;11;1;2;1]= \frac{51}{47}~~\mbox{ et } \epsilon_4 = 3\mbox{h}12\mbox{min}$

$\frac{p_5}{q_5} = [1;11;1;2;1;3]= \frac{191}{176}~~\mbox{ et } \epsilon_5 = 2\mbox{h}21\mbox{min}$

$\frac{p_6}{q_6} = [1;11;1;2;1;3;1]= \frac{242}{223}~~\mbox{ et } \epsilon_6 = 45\mbox{min}$
Question 7
Solution :
Par la question précédente, nous pouvons conclure qu'après un temps correspondant à 223 lunaisons après une éclipse totale (où 242 mois draconitiques), nous sommes dans une configuration d'éclipse approchée avec un écart de 42 minutes sur la configuration exacte mais suffisamment proche de celle-ci pour que le disque lunaire intersecte le disque solaire (éclipse de Soleil) ou que le disque lunaire entre dans le cône d'ombre de la Terre (éclipse de Lune).

Ainsi, un cycle de Saros, c'est-à-dire le temps pour prédire le retour d'une éclipse (après une éclipse totale) est bien de 223 lunaisons.
Question 8
Solution :
Tout d'abord, 223 lunaisons correspond à 6585.38 jours, c'est-à-dire un peu plus de 18 ans. Or entre le 11 août 1999 et 2017, il y a 5 années bissextiles. Donc l'éclipse se déroulera 18 ans et 10 jours après: le 21 août 2017.

Par contre, les 0.38 jours restant impliquent que la Terre aura tourné d'un quart sur son axe ce qui correspond approximativement aux longitudes de l'Amérique du Nord. Donc, malheureusement invisible en France...