Ex: L'orbite de la planète Mars

L'observation de Mars en opposition a fourni la période qui sépare ces oppositions, ou période synodique notée . Cette période est égale à 780 jours.

En déduire la valeur de la période sidérale de mars, que l'on notera .

Solution

Calculer la durée qui sépare les 2 dates successives de chaque couple d'observations. Quelle conclusion peut-on en tirer?

Solution

Trouver la relation entre la longitude écliptique héliocentrique de la Terre (angle entre la direction de la Terre et celle du point vernal mesurée depuis le Soleil) et la longitude géocentrique du Soleil . Calculer pour chacune des dates du tableau.

Solution

(modulo 360°).

	DATE
1a	17/02/1585	339°23'	135°12'	159°23'
1b	05/01/1587	295°21'	182°08'	115°21'
2a	19/09/1591	185°47'	284°18'	5°47'
2b	06/08/1593	143°26'	346°56'	323°26'
3a	07/12/1593	265°53'	3°04'	85°53'
3b	25/10/1595	221°42'	49°42'	41°42'
4a	28/03/1587	16°50'	168°12'	196°50'
4b	12/02/1589	333°42'	218°48'	153°42'
5a	10/03/1585	359°41'	131°48'	179°41'
5b	26/01/1587	316°06'	184°42'	136°06'

Représenter sur une feuille de papier millimétré l'orbite de la Terre par un cercle de centre (Soleil) et de rayon égal à 5 cm. Choisir la direction du point vernal selon une des lignes du papier.

Pour chacun des 5 couples d'observations, construire:

• la première position T_i de la Terre sur son orbite et la direction T_ix de Mars telle qu'on l'observe depuis la Terre
• la seconde position T'_i de la Terre sur son orbite et la direction T'_ix' de Mars

Montrer que le point M_i représentant Mars est à l'intersection des deux demi-droites T_ix et T'_ix'.

On déterminera ainsi les 5 positions de M₁, M₂, M₃, M₄ et M₅ de Mars.

Vérifier que ces 5 points ne sont pas sur un cercle centré sur le Soleil.

Dans ce qui suit, on admet que l'orbite de Mars est une ellipse de faible excentricité, dont la forme ne diffère pas significativement de celle d'un cercle, mais dont le centre n'est pas le Soleil.

Pour déterminer le rayon de ce cercle, on partira d'une première approximation qui est la moyenne des 5 rayons SM_i. On tracera le cercle ayant ce rayon sur une feuille de papier calque et on cherchera, par tâtonnement, à le faire passer au mieux parmi les 5 points M_i. Si le rayon du cercle est trop petit, la majorité des points se trouveront toujours à l'extérieur du cercle; inversement, s'il est trop grand, la majorité des points se trouveront toujours à l'intérieur. On modifiera donc le rayon de ce cercle, millimètre par millimètre, pour qu'il passe au mieux parmi les 5 points. Soit alors la valeur du rayon de ce cercle.

Autre possibilité: connaissant la période sidérale de Mars, calculer son demi-grand axe en UA (unité astronomique, égale à la distance moyenne Terre-Soleil, soit 149 597 871 km). Tracer le cercle correspondant à cette orbite et estimer une erreur en mm sur les positions de Mars.

Solution

Mesurer la distance du centre du cercle ainsi déterminé au point (Soleil). En déduire l'excentricité de l'orbite .

Calculer la valeur du petit axe de l'ellipse, et discuter la validité de l'approximation faite ici, qui a conduit à assimiler l'ellipse à un cercle de rayon .

Solution

Sachant que l'excentricité de la Terre est 0.016, l'approximation de l'orbite de la Terre par un cercle centré sur le Soleil est-elle justifiée?

Solution

Quelle est la distance minimale de Mars à la Terre lors d'une opposition? A quelle date de l'année ces oppositions favorables se produisent-elles? Quelle est la distance maximale de Mars à la Terre lors d'une opposition? A quelle date de l'année ces oppositions défavorables se produisent-elles?

Solution

Afin de vérifier la loi des aires, mesurer l'aire balayée par le rayon-vecteur Soleil-Mars entre le 6 août et le 7 décembre 1593 et celle balayée entre le 26 janvier et le 28 mars 1587. En déduire la valeur moyenne de l'aire balayée par jour dans chacun des deux cas. On pourra, pour cela, compter les carreaux du papier.

Solution