Importance des approximations : Page pour l'impression

Auteur: S. Renner

Date de création: 17 février 2009

L'objectif de cet exercice est d'établir les caractéristiques de l'orbite de la planète Mars, en utilisant les données d'observation de Tycho Brahé, celles-là mêmes qui furent utilisées par Kepler.

On suppose que les mouvements des planètes s'effectuent dans le même plan, qui est celui de l'écliptique. La position des planètes est alors repérée par une coordonnée, la longitude écliptique. On choisit pour origine des longitudes la direction du point vernal (noté $\gamma$ ). La tableau ci-dessous rassemble les données concernant 5 couples d'observations de Mars, effectuées par Tycho Brahé. On y indique la longitude écliptique géocentrique du Soleil, notée l_S (c'est-à-dire l'angle, mesurée depuis la Terre, entre la direction du Soleil et celle du point vernal), et la longitude écliptique géocentrique de Mars, notée l_M (angle vu de la Terre entre la direction de Mars et celle du point vernal).

	DATE	${\bf l_S}$	${\bf l_M}$
1a	17/02/1585	339°23'	135°12'
1b	05/01/1587	295°21'	182°08'
2a	19/09/1591	185°47'	284°18'
2b	06/08/1593	143°26'	346°56'
3a	07/12/1593	265°53'	3°04'
3b	25/10/1595	221°42'	49°42'
4a	28/03/1587	16°50'	168°12'
4b	12/02/1589	333°42'	218°48'
5a	10/03/1585	359°41'	131°48'
5b	26/01/1587	316°06'	184°42'

Ex: L'orbite de la planète Mars

Auteur: S. Renner

Orbite de Mars

Difficulté : ☆ Temps : 2h30

Question 1)

L'observation de Mars en opposition a fourni la période qui sépare ces oppositions, ou période synodique notée $T_{syn}$ . Cette période est égale à 780 jours.

En déduire la valeur de la période sidérale de mars, que l'on notera T_M .

Question 2)

Calculer la durée qui sépare les 2 dates successives de chaque couple d'observations. Quelle conclusion peut-on en tirer?

Question 3)

Trouver la relation entre la longitude écliptique héliocentrique de la Terre L_T (angle entre la direction de la Terre et celle du point vernal mesurée depuis le Soleil) et la longitude géocentrique du Soleil l_S . Calculer L_T pour chacune des dates du tableau.

Question 4)

Représenter sur une feuille de papier millimétré l'orbite de la Terre par un cercle de centre (Soleil) et de rayon égal à 5 cm. Choisir la direction du point vernal selon une des lignes du papier.

Pour chacun des 5 couples d'observations, construire:

la première position T_ide la Terre sur son orbite et la direction T_ix de Mars telle qu'on l'observe depuis la Terre
la seconde position T'_i de la Terre sur son orbite et la direction T'_ix' de Mars

Montrer que le point M_i représentant Mars est à l'intersection des deux demi-droites T_ix et T'_ix'.

On déterminera ainsi les 5 positions de M₁, M₂, M₃, M₄ et M₅ de Mars.

Question 5)

Vérifier que ces 5 points ne sont pas sur un cercle centré sur le Soleil.

Dans ce qui suit, on admet que l'orbite de Mars est une ellipse de faible excentricité, dont la forme ne diffère pas significativement de celle d'un cercle, mais dont le centre n'est pas le Soleil.

Pour déterminer le rayon de ce cercle, on partira d'une première approximation qui est la moyenne des 5 rayons SM_i. On tracera le cercle ayant ce rayon sur une feuille de papier calque et on cherchera, par tâtonnement, à le faire passer au mieux parmi les 5 points M_i. Si le rayon du cercle est trop petit, la majorité des points se trouveront toujours à l'extérieur du cercle; inversement, s'il est trop grand, la majorité des points se trouveront toujours à l'intérieur. On modifiera donc le rayon de ce cercle, millimètre par millimètre, pour qu'il passe au mieux parmi les 5 points. Soit alors la valeur du rayon de ce cercle.

Autre possibilité: connaissant la période sidérale de Mars, calculer son demi-grand axe en UA (unité astronomique, égale à la distance moyenne Terre-Soleil, soit 149 597 871 km). Tracer le cercle correspondant à cette orbite et estimer une erreur en mm sur les positions de Mars.

Question 6)

Mesurer la distance du centre du cercle ainsi déterminé au point (Soleil). En déduire l'excentricité de l'orbite e=CS/a .

Calculer la valeur du petit axe de l'ellipse, et discuter la validité de l'approximation faite ici, qui a conduit à assimiler l'ellipse à un cercle de rayon .

Question 7)

Sachant que l'excentricité de la Terre est 0.016, l'approximation de l'orbite de la Terre par un cercle centré sur le Soleil est-elle justifiée?

Question 8)

Quelle est la distance minimale de Mars à la Terre lors d'une opposition? A quelle date de l'année ces oppositions favorables se produisent-elles? Quelle est la distance maximale de Mars à la Terre lors d'une opposition? A quelle date de l'année ces oppositions défavorables se produisent-elles?

Question 9)

Afin de vérifier la loi des aires, mesurer l'aire balayée par le rayon-vecteur Soleil-Mars entre le 6 août et le 7 décembre 1593 et celle balayée entre le 26 janvier et le 28 mars 1587. En déduire la valeur moyenne de l'aire balayée par jour dans chacun des deux cas. On pourra, pour cela, compter les carreaux du papier.

Précession du périastre

Auteur: S. Renner

Date de création: 06 janvier 2011

L'objectif de cet exercice est de quantifier la précession du périastre d'un satellite en orbite autour d'un corps central légèrement aplati aux pôles.

Il est conseillé de s'intéresser au préalable à la résolution du problème à 2 corps.

Ex: Précession du périastre

Auteur: S. Renner

Précession du périastre

Difficulté : ☆ Temps : 1h30

On considère le mouvement d'un satellite de masse $m$ par rapport à un corps central de masse $M$ et de rayon $R$ . On note $a$ le demi-grand axe du satellite, sa distance au corps central, et $e$ son excentricité supposée faible (<<1).

Sous l'effet de sa rotation, le corps central est légèrement aplati aux pôles. En conséquence, le potentiel gravitationnel pour un satellite évoluant dans le plan équatorial est donné par : $\displaystyle V(r)= - \frac{G M}{r} \Big{(} 1 + \alpha \frac{R^2}{r^2} \Big{)},$ où $\alpha$ est une constante <<1 qui caractérise l'applatissement. On peut montrer qu'alors l'équation du mouvement du satellite s'écrit: $\displaystyle \frac{d^2}{d\theta^2} \Big{(} \frac{1}{r} \Big{)} + \frac{1}{r} = \frac{GM}{C^2} + \frac{3 \alpha GM R^2}{C^2 r^2} \equiv K_1 + \frac{K_2}{r^2},$ où $\theta$ est la position angulaire du satellite sur sa trajectoire (anomalie vraie), et $C=r^2 \dot{\theta}$ le moment cinétique.

Question 1)

Comparer K_1 et $\frac{K_2}{r^2}$ , et en déduire que la trajectoire du satellite est peu modifiée sous l'effet de l'applatissement du corps central, par rapport au problème à 2 corps classique.

Question 2)

Montrer que la solution de l'équation du mouvement peut s'écrire: $\displaystyle r = \frac{q}{1+e \cos (1+ \epsilon) \theta},$ avec $\epsilon$ <<1, et exprimer et $\epsilon$ en fonction de $a$ , $e$ , $R$ et $\alpha$ .

Question 3)

Quelle est alors l'allure de la trajectoire? Exprimer l'avance $\Delta \theta$ du périastre de la trajectoire, c'est-à-dire l'angle dont les axes de l'ellipse ont tourné après une révolution du satellite.

Question 4)

Déterminer:

a) l'avance du périgée d'un satellite artificiel d'altitude h=1000 km autour de la Terre ( $R= 6378$ km, $\alpha=542 \times 10^{-6}$ ).

b) l'avance du périastre du satellite Pan ( a=133583 km et période orbitale T=0.575 jours) autour de Saturne ( R=60268 km, $\alpha=8149 \times 10^{-6}$ ).

c) l'avance du périhélie de Mercure ( a=0.387 UA $\simeq 58 \times 10^{6}$ km, $T \simeq 88$ jours) autour du Soleil ( R=696000 km, $\alpha = 10^{-5}$ ). La précession observée du périhélie de Mercure s'élève en fait à 43''/ siècle. Commenter.