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Fonctions de plusieurs variables
Ex: Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps |
Formulation hamiltonienne du problème de 2 corpsDifficulté : ☆ Temps : 30 mn
On se place dans un repère polaire, centré sur 
. On précise que la force universelle de la gravitation
s'appliquant au point 
est:
,
où 
désigne la constante universelle de la gravitation et 
(les notations en gras dénotent des vecteurs).
Déterminer le potentiel dont dérive la force. En déduire l'énérgie potentielle 
.
Calculer l'énergie cinétique. En déduire le lagrangien et le hamiltonien du système.
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est tel que 
. Dans le repère polaire on a:
,
, en considérant que le potentiel est nul à l'infini.
L'énergie potentielle est donc: 
(on rappelle que la masse de 
est égale à 1).
. Donc l'énergie cinétique est 
.
,
.
et 
associées aux coordonnées 
et 
.
associée à la coordonnée 
est définie par : 
.
et 
on a les équations:
.
loi des aires
correspond à la loi des aires et découle du fait que 
n'est pas présent explicitement dans le hamiltonien.