Dérivations partielles

Auteurs: Jérôme Thiébaut, Marc Fouchard, S. Renner

Entropie
Ex: Entropie
Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps
Ex: Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps
Les variables de Delaunay
Ex: les variables de Delaunay
Théorème d'inversion de Lagrange
Ex: Théorème d'inversion de Lagrange
Paramètre de Tisserand
Ex: paramètre de Tisserand

Entropie

Auteur : Jérôme Thiébaut

La connaissance du contenu de l'univers en terme de particules et d'énergie est indispensable à la compréhension de son évolution. Juste après le Big Bang, l'univers était très chaud et les premières particules présentes n'étaient ni des électrons ni des protons, mais plutôt des quarks, neutrinos... En se diluant, l'univers refroidit et les particules qui le constituent changent et évoluent ensemble puis séparément. La température de l'univers est donc une quantité extrêmement importante. La thermodynamique est la branche de la physique qui permet de traiter ce problème. Elle permet, grâce à ses lois, de relier entre elles diverses quantités fondamentales telles que la température, la pression, l'énergie, la densité de particules, de photons... L'entropie est une de ces quantités. Elle mesure en quelque sorte le degré de désordre d'un système microscopique, où autrement dit, la capacité d'un système de particules à produire ou non des phénomènes collectifs. Le but de cet exercice est d'exprimer l'entropie en fonction de la température de l'univers.

Ex: Entropie

Auteur: Jérôme Thiébaut

Entropie

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

On peut relier la variation d'énergie, epsilon , aux variations d'entropie, S, et de volume, V, par la relation suivante: d*epsilon=T*d*S-P*d*V , où T est la température et P la pression.

Question 1)

Exprimer la variation d'entropie en fonction des variations de volume et de densité volumique d'énergie, rho .

Question 2)

Exprimer la variation d'entropie en fonction des variations de volume et de température.

Question 3)

Montrer que (1/T)*(drond*rho/drond*T)=d((rho+P)/T)/dT .

Question 4)

Exprimer la variation d'entropie comme la variaton d'une seule quantité dépendant de V, P, T et rho puis relier l'entropie à ces variables thermodynamiques.

Question 5)

D'autres calculs thermodynamiques montrent que la densité d'entropie $s=frac(2*pi^2;45)*q_(star)*((T))*T^3$ , où q_star*((T)) est un facteur dépendant de la température et des particules présentes. L'unité de volume est V=a^3 , où est le facteur d'échelle mesurant l'expansion de l'univers. Exprimer S comme une fonction de la température T et du facteur d'échelle a.

Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps

Auteur : Marc Fouchard

On a vu dans cet exercice comment résoudre le problème de deux corps. Nous allons voir ici, comment obtenir les équations hamiltoniennes de ce problème.

On considère donc un corps ponctuel de masse unité mobile dans un plan et soumis à l'attraction gravitationnelle d'un corps fixe de masse se trouvant en . On suppose que $m \gg 1$ .

Ex: Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps

Auteur: Marc Fouchard

Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps

Difficulté : ☆ Temps : 30 mn

Question 1)

On se place dans un repère polaire, centré sur . On précise que la force universelle de la gravitation s'appliquant au point est:

$\mathbf{F}=-\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{OP}$ ,

où $\mu$ désigne la constante universelle de la gravitation et $r=||\mathbf{OP}||$ (les notations en gras dénotent des vecteurs).

Déterminer le potentiel dont dérive la force. En déduire l'énérgie potentielle E_p .

Question 2)

Calculer l'énergie cinétique. En déduire le lagrangien et le hamiltonien du système.

Question 3)

Définir les variables conjuguées p_r et $p_\theta$ associées aux coordonnées et $\theta$ .

Question 4)

En déduire les équations hamiltoniennes du problème.

Les variables de Delaunay

Auteur: Marc Fouchard

On a vu dans l'exercice sur la formulation hamiltonienne du problème de 2 corps, comment écrire les équations de hamilton de ce problème. Cependant, on n'intégrait pas les équations. On va voir ici, qu'en utilisant des variables hamiltoniennes appropriées on peut intégrer le problème très facilement. Ces variables sont les variables de Delaunay.

Ex: les variables de Delaunay

Auteur: Marc Fouchard

Les variables de Delaunay

Difficulté : ☆ Temps : 10 mn

Question 1)

Les variables de Delaunay sont les coordonnées (l,g,h) associées aux moments conjuguées (L,G,H) (voir ce cours de mécanique céleste ainsi que l' exercice précédent) avec:

$\begin{array}{ccc} l=M, & g=\omega, & h=\Omega \\ L=\sqrt{\mu a}, & G=\sqrt{\mu a (1-e^2)}, & H=\sqrt{\mu a (1-e^2)}\cos i \end{array}$ .

où est l'anomalie moyenne, $\omega$ est l'argument du péricentre, $\Omega$ est la longitude du noeud ascendant, est le demi-grand axe, est l'excentricité et est l'inclinaison.

Sachant que le hamiltonien du problème de deux corps (où on a supposé ici que le corps massif était de masse unité) est: $\mathcal H=-\frac{\mu}{2a}$ , (voir cet exercice sur l'équation de Kepler) en déduire les équations de Hamilton et résoudre le système.

Théorème d'inversion de Lagrange

Auteur: S. Renner

Le théorème d'inversion de Lagrange donne le développement en série d'une fonction définie implicitement. L'application de ce théorème permet entre autres d'obtenir une solution numérique de l'équation de Kepler $E = M + e \sin E$ , ou d'écrire des développements utiles du problème des deux corps.

Voici un énoncé de ce théorème :

Soit fonction de 2 variables et $\alpha$ et d'une fonction infiniment dérivable de la forme : $y = x + \alpha f(y)$ avec $\alpha$ petit.

Alors $\displyastyle y = x + \Sigma_{k=1}^\infty \frac{\alpha^k}{k!} \frac{\partial^{k-1}}{\partial x^{k-1}} f^k(x)$ .

On propose ici de le démontrer par une méthode reposant sur les dérivées partielles, révélée par Pierre-Simon Laplace.

Ex: Théorème d'inversion de Lagrange

Auteur: S. Renner

Théorème d'inversion de Lagrange

Difficulté : ☆☆ Temps : 1H

On va donc démontrer que si $y = x + \alpha f(y)$ , alors $\displyastyle y = x + \Sigma_{k=1}^\infty \frac{\alpha^k}{k!} \frac{\partial^{k-1}}{\partial x^{k-1}} f^k(x)$ avec $\alpha$ petit.

Question 1)

Développer $y(x,\alpha)$ au voisinage de $\alpha = 0$ .

Question 2)

Montrer que $\frac{\partial y}{\partial \alpha} = f(y) \frac{\partial y}{\partial x}$ .

Question 3)

Montrer que pour tout entier strictement positif, $\displaystyle \frac{\partial^n y}{\partial \alpha^n} = \frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}} \Big{(} f^n(y). \frac{\partial y}{\partial x}\Big{)}$ . On utilisera le résultat de la question précédente.

Question 4)

En déduire $\displyastyle y = x + \Sigma_{k=1}^\infty \frac{\alpha^k}{k!} \frac{\partial^{k-1}}{\partial x^{k-1}} f^k(x)$ .

Paramètre de Tisserand

Auteur: Marc Fouchard

Date de création: 9 Mai 2013

L'objectif de cet exercice est de déterminer le paramètre de Tisserand qui est une quasi-constante du mouvement pour les comètes observées. Ainsi ce paramètre permet de montrer que l'observation de deux comètes à des époques différentes correspondent en fait au même objet.

Ex: paramètre de Tisserand

Auteur: Marc Fouchard

Paramètre de Tisserand

Difficulté : ☆ Temps : 1h30

On considère un problème de trois corps où les deux premiers P_1 et P_2 , appelés primaires et de masse respective m_1 et m_2 , sont sur des orbites circulaires et uniforme ; et le troisième , de masse négligeable voit sa trajectoire affectée par les primaires alors que celui-ci n'affecte pas le mouvement des deux primaires. Ce problème est appelé le problème de trois corps restreint et circulaire.

On considère un repère tournant orthonormé, centré sur le centre de gravité des deux primaires et dont les axes sont tels que l'axe des abscisses est dirigé vers le deuxième primaire, l'axe des ordonnées fait un angle de $\pi/2$ avec celui des abscisse dans le même sens que le mouvement de rotation des primaires, et l'axe des complète un trièdre direct.

On considère aussi un repère fixe orthonormé qui coïncide avec le repère tournant à t=0 .

Dans le repère tournant, les coordonnées des deux primaires sont (-d_1,0,0)^T et (d_2,0,0)^T , où d_1/d_2=m_2/m_1 et d_1+d_2=d qui est la distance (fixe) qui sépare les deux primaires. On note $\omega$ la vitesse de rotation angulaire des deux primaires par rapport au repère fixe.

De manière générale on notera (x,y,z)^T les coordonnées dans le repère fixe et (u,v,w)^T les coordonnées dans le repère tournant. Le point au dessus d'une quantité indique la dérivée par rapport au temps de cette quantité.

Question 1)

Exprimer d_1 et d_2 en fonction de m_1 , m_2 et .

Question 2)

Déterminer les formules de passage entre (x,y,z)^T et (u,v,w)^T pour un même objet.

Question 3)

Les deux forces qui s'appliquent au troisième corps sont $\overrightarrow{F}_1=\frac{G m_1}{P P_1^3} \overrightarrow{PP_1}$ et $\overrightarrow{F}_2=\frac{G m_2}{P P_2^3} \overrightarrow{PP_2}$ . En appliquant le principe fondamental de la dynamique, c'est-à-dire que l'accélération est égale à la somme des forces dans le repère fixe, écire les équations différentielles vérifiées par les coordonnées (x,y,z)^T de .

Question 4)

En différenciant les expressions de (x,y,z)^T en fonction de (u,v,w)^T , en déduire les équations du mouvement dans le repère tournant.

Question 5)

Montrer qu'il existe une fonction U(u,v,w) tel que le système d'équations précédent s'écrit :

$\begin{array}{rcl}\ddot{u} -2\dot{v} \,\omega &=& \frac{\partial U}{\partial u} \\ \ddot{v}+2\,\dot{u}\,\omega &=& \frac{\partial U}{\partial v} \\ \ddot{w} &=& \frac{\partial U}{\partial w} \end{array}$ ,

Question 6)

En multipliant chaque ligne du système précédent par $\dot{u}$ , $\dot{v}$ et $\dot{w}$ respectivement, puis en additionnant, montrer que le système admet une intégrale du mouvement (c'est -à-dire une quantité qui est constante au cours du temps).

Question 7)

En déduire en fonction de (x,y,z)^T et de leur dérivées par rapport au temps.

Question 8)

On considère maintenant que les deux primaires P_1 et P_2 correspondent au Soleil et à Jupiter respectivement. On pose $m_1=M_\odot, \quad m_2=m_J,\quad d=a_J, \quad \omega=\sqrt{\frac{G(M_\odot+m_J)}{a_J^3}}, \quad OP=r$ . Comme $m_J \ll M_\odot$ , on en déduit que $d_1\approx 0, \quad r_1\approx r, \quad M_\odot+m_J\approx M_\odot$ .

On peut alors considérer la trajectoire du troisième comme une orbite keplerienne autour du Soleil se trouvant à l'origine. Soit , , et le demi-grand axe, l'excentricité et l'inclinaison de cette trajectoire. On a alors les relations suivantes:

Sachant que $\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2=2\frac{GM_\odot}{r}-\frac{GM_\odot}{a}$ , $\dot{y}x-\dot{x}y=\sqrt{ GM_\odot a (1-e^2)}\cos i$ , réécrire l'équation précédente pour en fonction de a, e, i . L'expression obtenue correspond au paramètre de Tisserand qui est une quasi constante du mouvement pour les comètes de la famille de Jupiter qui sont essentiellement soumisent à l'influence de Jupiter et du Soleil. On remarquera que les approximations faites fonctionnent pourvu que l'on ne soit pas trop proche de Jupiter.

Réponses aux exercices

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Exercice 'Entropie'

Question 1
Aide :

Solution :
Question 2
Aide :

Solution :
Question 3
Aide :
Utiliser la propriété suivante: .

Solution :

donc et .

Comme ,
Question 4
Solution :
Avec l'égalité de l'équation précédente, il vient: . Donc, et , où C est une constante d'intégration.
Question 5
Solution :
$S=frac(2*pi^2;45)*q_(star)*((T))*T^3*a^3$

L'entropie étant constante, .

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Exercice 'Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps'

Question 1
Solution :
Le potentiel est tel que $\mathbf{F}=-\mathbf{grad}\, U$ . Dans le repère polaire on a:

$\mathbf{F}=-\mathbf{grad} U = -{ \frac{\partial U }{\partial r} \choose r\frac{\partial U}{\partial \theta} }$ ,

On voit alors facilement que $U=-\frac{m\mu}{r}$ , en considérant que le potentiel est nul à l'infini. L'énergie potentielle est donc: $E_p=U=-\frac{m\mu}{r}$ (on rappelle que la masse de est égale à 1).
Question 2
Solution :
En coordonnées polaires on a: $\frac{\mathrm{d} \mathbf{OP}}{\mathrm{d}t}={ \dot{r} \choose r\dot{\theta}}$ . Donc l'énergie cinétique est $E_c=\frac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)$ .

On en déduit le lagrangien $L=E_c-E_p=\frac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)+\frac{m\mu}{r}$ ,

et le hamiltonien $H=E_c+E_p=\frac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-\frac{m\mu}{r}$ .
Question 3
Aide :
La variable conjuguée associée à la coordonnée est définie par : $p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ .

Solution :
On a $p_r=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=\dot{r}$ et $p_\theta=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=r^2\dot{\theta}$
Question 4
Aide :
Pour chaque couple on a les équations:

$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$ .

Solution :
$\large \begin{array}{cc} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_r}=\frac{p_r}{m}, & \frac{\mathrm{d}p_r}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_\theta^2}{m r^3}-\frac{m\mu}{r^2}, \\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_\theta}=\frac{p_\theta}{m r^2}, & \frac{\mathrm{d}p_\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial \theta}=0.\end{array}$

loi des aires

$\dot{p_\theta}=0$ correspond à la loi des aires et découle du fait que $\theta$ n'est pas présent explicitement dans le hamiltonien.

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Exercice 'Les variables de Delaunay'

Question 1
Solution :
On a $\mathcal H=-\frac{\mu^2}{2L^2}$ , ainsi les équations de hamilton nous donnent:

$\large \begin{array}{cc}\frac{\mathrm d l}{\mathrm d t}=\frac{\partial \mathcal H}{\mathrm d L}=\frac{\mu^2}{L^3}, & \frac{\mathrm d L}{\mathrm d t}=-\frac{\partial \mathcal H}{\mathrm d l}=0,\\ \frac{\mathrm d g}{\mathrm d t}=\frac{\partial \mathcal H}{\mathrm d G}=0, & \frac{\mathrm d G}{\mathrm d t}=-\frac{\partial \mathcal H}{\mathrm d g}=0, \\ \frac{\mathrm d h}{\mathrm d t}=\frac{\partial \mathcal H}{\mathrm d H}=0, & \frac{\mathrm d H}{\mathrm d t}=-\frac{\partial \mathcal H}{\mathrm d h}=0 \end{array}$ .

Ainsi, $\omega, \Omega, a, i$ et sont constants. Seule l'anomalie moyenne varie, et est donnée par $M=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}(t-t_0)$ , où correspond au passage au péricentre, c'est à dire lorsque . Avec $\mu=n^2a^3$ on retrouve bien la définition de l'anomalie moyenne donnée dans l'exercice sur l'équation de Kepler.

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Exercice 'Théorème d'inversion de Lagrange'

Question 1
Solution :
Pour fixé et au voisinage de $\alpha = 0$ , $\displaystyle y(x,\alpha)=\Sigma_{k \geq 0} \frac{x^k}{k!} \frac{\partial^k}{\partial x^k} y(x,0) = x + \Sigma_{k \geq 1} \frac{x^k}{k!} \frac{\partial^k}{\partial x^k} y(x,0)$
Question 2
Solution :
$y(x,\alpha) - x - \alpha f (y(x,\alpha))=0$ .

$\frac{\partial y}{\partial x} - 1 - \alpha \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x} = 0 \Longleftrightarrow \frac{\partial y}{\partial x} \Big{[} 1 - \alpha f'(y) \Big{]} = 1$ .

$\frac{\partial y}{\partial \alpha} - f(y(x,\alpha)) - \alpha \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \alpha} = 0 \Longleftrightarrow \frac{\partial y}{\partial \alpha} \Big{[} 1 - \alpha f'(y) \Big{]} = f(y)$ .

$\Longrightarrow \frac{\partial y}{\partial \alpha} = f(y) \frac{\partial y}{\partal x}$ .
Question 3
Solution :
$\frac{\partial^2 y}{\partial \alpha^2} = \frac{\partial}{\partial \alpha} \Big{(} \frac{\partial y}{\partial \alpha} \Big{)} = \frac{\partial}{\partial \alpha} \Big{(} f(y) \frac{\partial y}{\partial x} \Big{)} = f(y) \frac{\partial}{\partial x} \Big{(} f(y) \frac{\partial y}{\partial x}\Big{)} = \frac{\partial}{\partial x} \Big{(} f^2(y) \frac{\partial y}{\partial x}\Big{)}$ .

Par récurrence on a bien $\displaystyle \frac{\partial^n y}{\partial \alpha^n} = \frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}} \Big{(} f^n(y). \frac{\partial y}{\partial x}\Big{)}$ .
Question 4
Solution :
Donc en , , $\frac{\partial y}{\partial x}= 1$ et $\displaystyle \frac{\partial^n }{\partial \alpha^n} y(x,0) = \frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}} \Big{(} f^n(x) \Big{)}$ .

Donc d'après 1) on en déduit $\displyastyle y = x + \Sigma_{k=1}^\infty \frac{\alpha^k}{k!} \frac{\partial^{k-1}}{\partial x^{k-1}} f^k(x)$ .

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Exercice 'Paramètre de Tisserand'

Question 1
Solution :
on a le système d'équation suivant :

$\begin{array}{rcl} d_1+d_2&=&d \\ m_1 d_1 - m_2 d_2 &=& 0 \end{array}$ .

Ce qui nous donne :

$\begin{array}{rcl} d_1&=&\frac{m_2}{m_1+m_2}d \\ d_2 &=& \frac{m_1}{m_1+m_2}d \end{array}$ .
Question 2
Solution :
$\begin{array}{rcl}x&=&u\, \cos (\omega t) - v \, \sin (\omega t) \\ y &=& u\, \sin (\omega t) + v \, \cos (\omega t) \\ z&=&w \end{array}$ ,

et

$\begin{array}{rcl}u&=&x\, \cos (\omega t) + y \, \sin (\omega t) \\ v &=& x\, \sin (\omega t) -y \, \cos (\omega t) \\ w&=&z \end{array}$ ,
Question 3
Solution :
Sous forme vectorielle on a $\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2} \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F_2}$ , soit : $\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2} \overrightarrow{OP} =\frac{Gm_1}{r_1^3} \overrightarrow{PP_1}+\frac{Gm_2}{r_2^3}\overrightarrow{PP_2}$ , où et .

Sachant que les coordonnées de et dans le repère fixe sont $(-d_1 \cos (\omega t), -d_1 \sin (\omega t), 0)^T$ et $(d_2 \cos (\omega t), d_2 \sin (\omega t), 0)^T$ respectivement, on en déduit les équations du mouvement :

$\begin{array}{rcl}\ddot{x}&=&\frac{Gm_1}{r_1^3}\left(-d_1\cos (\omega t) -x\right)+\frac{Gm_2}{r_2^3}\left( d_2 \cos (\omega t) - x) \\ \ddot{y}&=&\frac{Gm_1}{r_1^3}\left(-d_1 \sin (\omega t) -y \right) + \frac{Gm_2}{r_2^3}\left(d_2\sin(\omega t) - y\right) \\ \ddot{z}&=& -\left(\frac{Gm_1}{r_1^3}+\frac{Gm_2}{r_2^3}\right) z. \end{array}$
Question 4
Solution :
On a :

$\begin{array}{rcl}\ddot{x}&=&\ddot{u}\, \cos (\omega t)- 2 \dot{u} \,\omega \sin (\omega t) -u \,\omega^2 \cos (\omega t) - \ddot{v} \, \sin (\omega t) -2\dot{v} \,\omega \cos(\omega t) +v\,\omega^2\sin(\omega t)\\ \ddot{y} &=& \ddot{u}\, \sin (\omega t) +2\,\dot{u}\,\omega \cos(\omega t)-u\,\omega^2 \sin (\omega t) + \ddot{v} \, \cos (\omega t) -2\,\dot{v}\, \omega \sin (\omega t) -v\,\omega^2 \cos(\omega t) \\ \ddot{z}&=&\ddot{w} \end{array}$ ,

En multipliant la première par $\cos (\omega t)$ et la deuxième par $\sin (\omega t)$ et en ajoutant d'une part, et en multipliant la première par $\sin (\omega t)$ et la deuxième par $\cos (\omega t)$ et en retranchant d'autre part, on obtient le système suivant :

$\begin{array}{rcl}\ddot{x}\cos (\omega t) + \ddot{y} \sin (\omega t)&=&\ddot{u} -u \,\omega^2 -2\dot{v} \,\omega \\ -\ddot{x}\sin (\omega t) + \ddot{y} \cos (\omega t) &=& \ddot{v}-v\,\omega^2+2\,\dot{u}\,\omega \\ \ddot{z}&=&\ddot{w} \end{array}$ ,

Ainsi :

$\begin{array}{rcl}\ddot{u} -u \,\omega^2 -2\dot{v} \,\omega &=& \frac{Gm_1}{r_1^3}(-d_1-u)+\frac{Gm_2}{r_2^3}(d_2-u) \\ \ddot{v}-v\,\omega^2+2\,\dot{u}\,\omega &=& -\left(\frac{Gm_1}{r_1^3}+\frac{Gm_2}{r_2^3}\right)v \\ \ddot{w} &=& -\left(\frac{Gm_1}{r_1^3}+\frac{Gm_2}{r_2^3}\right) w \end{array}$ ,
Question 5
Solution :
On doit avoir :

$\frac{\partial U}{\partial u}=\omega ^2 \, u +\frac{Gm_1}{r_1^3}(-d_1-u)+\frac{Gm_2}{r_2^3}(d_2-u)$ .

Or $r_1=\sqrt{(-d_1-u)^2+v^2+w^2}$ , ainsi $\frac{\partial}{\partial u} \frac{1}{r_1} = \frac{-d_1-u}{r_1^3}$ . De même $r_2=\sqrt{(d_2-u)^2+v^2+w^2}$ , ainsi $\frac{\partial}{\partial u} \frac{1}{r_2} = \frac{d_2-u}{r_2^3}$ .

On en déduit que $U=\frac{\omega^2}{2}u^2+\frac{Gm_1}{r_1}+\frac{Gm_2}{r_2}+ f(v,w)$ .

Finalement on a $U=\frac{\omega^2}{2}(u^2+v^2)+\frac{Gm_1}{r_1}+\frac{Gm_2}{r_2}$ .
Question 6
Solution :
En effectuant l'opération demandée on obtient : $\dot{u}\ddot{u}+\dot{v}\ddot{v}+\dot{w}\ddot{w}=\frac{\partial U}{\partial u} \dot{u}+\frac{\partial U}{\partial v}\dot{v}+\frac{\partial U}{\partial w}\dot{w}$ .

Ce qui est facilement intégrable et donne : $\dot{u}^2+\dot{v}^2+\dot{w}^2 = 2 U + C$ , où est une constante d'intégration.

Ainsi est une constante du mouvement.
Question 7
Solution :
On a :

$\begin{array}{rcl}\dot{u}&=&\dot{x}\cos (\omega t)+\dot{y} \sin (\omega t) - x \, \omega\,\sin(\omega t) + y\,\omega\,\cos(\omega t) \\ \dot{v}&=& \dot{x}\sin(\omega t)-\dot{y}\sin(\omega t) + x\,\omega\,\cos(\omega t)+y\,\omega\sin(\omega t) \\ \dot{w}&=&\dot{z} \end{array}$

Ainsi $\dot{u}^2+\dot{v}^2+\dot{w}^2=\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2+2\omega(\dot{x}y - \dot{y}x)+\omega^2(x^2+y^2)$ .

On en déduit $\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2+2\omega(\dot{x}y-\dot{y}x)=2\left(\frac{Gm_1}{r_1}+\frac{Gm_2}{r_2}\right)+C$
Question 8
Solution :
$2\frac{GM_\odot}{r}-\frac{GM_\odot}{a}-2\frac{GM_\odot}{a_J}\sqrt{\frac{a}{a_J} (1-e^2)}\cos i = 2\left(\frac{GM_\odot}{r}+\frac{Gm_J}{r_2}\right)+C$ .

En négligeant $\frac{Gm_J}{r_2}$ et avec $\mu=GM_\odot$ on obtient : $\frac{a_J}{a}+2\sqrt{\frac{a}{a_J} (1-e^2)}\cos i = -\frac{Ca_J}{\mu}=T$ .