SOLUTION

D'après la question précédente, on a donc : $V=M + e ( 2 \sin V - \frac{3}{4}e \sin 2V + ...)$ .

Le théorème d'inversion de Lagrange permet d'écrire : $V = M + \Sigma_{j=1}^\infty \frac{e^j}{j!} \frac{d^{j-1}}{dM^{j-1}} \Big{[} 2 \sin M - \frac{3}{4} e \sin 2M + ... \Big{]}^j$ .

On obtient ainsi $V=M+2e \sin M + \frac{5}{4}e^2 \sin 2M +O (e^3)$ en développant la formule ci-dessus au second ordre.