Ex : Séries du problème des 2-corps (Lagrange)

Auteurs: Alain Vienne, S. Renner

Auteur: S. Renner

Séries du problème des 2-corps (Lagrange)

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Quand on intègre le problème des 2-corps, la loi des aires permet d'écrire:

$M=(1-e^2)^{3/2} \int_0^V \frac{dv}{(1+e \cos v)^2}$

Question 1)

On utilisant cette relation et en négligeant les termes d'ordre supérieur ou égal à 3 en excentricité, montrer que l'on a:

$M=V-2e \sin V +\frac{3}{4}e^2 \sin 2V + O(e^3)$

Question 2)

Utiliser le théorème d'inversion de Lagrange pour montrer que $V=M+2e \sin M + \frac{5}{4}e^2 \sin 2M +O (e^3)$ .