Exponentielles et logarithmes : Page pour l'impression

Auteur: Alain Vienne

Les anciens classaient les étoiles suivant leur "grandeur". Cette grandeur correspond à l'éclat tel que le percevaient les anciens: ils observaient des étoiles de "première grandeur", de "deuxième grandeur", etc ... On appelle aussi ces grandeurs magnitudes et on la note : m=0 pour l'étoile la plus brillante du ciel (Véga de la constellation de la Lyre) et m=5 est souvent considéré comme la limite des étoiles visibles à l'oeil nu. Avec les plus grands télescopes actuels, on peut voir jusqu'à la magnitude 30. A l'inverse, le Soleil qui est très "éclatant" a une magnitude -27.

Voir aussi le cours AMC

En fait, la perception visuelle suit une échelle logarithmique par rapport au phénomène physique correspondant. Pour conserver la classification des anciens, la magnitude ou magnitude apparente (puisque que c'est la magnitude qui nous "apparaît" de l'endroit où on observe) est définie par: $m=-2,5 \log \frac{e}{e_0}$ où est l'éclat de l'astre que l'on observe. e_0 est l'éclat de l'étoile Véga qui est ainsi prise en référence (pour assurer que sa magnitude apparente est 0). On rappelle que la notation $\log$ désigne le logarithme en base 10.

Il est clair que l'éclat est d'autant plus important que l'observateur est proche de la source lumineuse. Plus précisément, on a $e=\frac{P}{4\pi d^2}$ où est la puissance totale émise par l'astre et est sa distance.

Pour caractériser la brillance intrinsèque d'un astre, on utilise la magnitude absolue, notée . C'est la magnitude qu'aurait cet astre si il était observé à la distance de 10 parsecs. On a donc pour un même astre : $m=-2,5 \log \frac{P}{d^2} + C$ et $M=-2,5 \log \frac{P}{d_0^2} + C$ avec d_0=10pc

On rappelle que le parsec est la distance pour laquelle on voit le rayon de l'orbite de la Terre (1 UA) sous l'angle de 1" de degré. Ainsi 1pc=206265UA (de la même manière qu'il y a 206265 " dans un radian).

Ex: la magnitude des étoiles

Auteur: Alain Vienne

Magnitude du Soleil vu de alpha du Centaure

Difficulté : ☆ Temps : 30mn

Question 1)

Vu de la Terre, le Soleil a une magnitude apparente égale à -27. Calculer la magnitude apparente qu'aurait le Soleil s'il était observé depuis l'étoile alpha du Centaure. La parallaxe de cette étoile est $\varpi = 0'',76$ .

Auteur: Alain Vienne

Magnitudes absolues du Soleil et de Véga

Difficulté : ☆ Temps : 20mn

Question 1)

Calculer la magnitude absolue du Soleil et celle de Véga (dont la parallaxe est $\varpi = 0,''125$ )

Auteur: Alain Vienne

Magnitude de l'amas des pleïades

Difficulté : ☆ Temps : 30mn

Question 1)

L'amas des pléiades contient 7 étoiles visibles à l'oeil nu:

Etoile	magnitude
Alcyone	3,00
Atlas	3,80
Electra	3,80
Maia	4,00
Merope	4,30
Taggeta	4,40
Pleione	5,00

Calculer la magnitude globale de l'amas.

Auteur: Alain Vienne

Visibilités des satellites de mars

Difficulté : ☆ Temps : 20mn

Question 1)

A partir de quelle distance à la planète Mars, un voyageur vers cette planète pourra-t-il voir à l'oeil nu les satellites de Mars? On donne les magnitudes de Phobos et Deimos vus de la Terre à l'opposition de Mars: m_P = 11,3 et m_D = 12,4 . On supposera que l'orbite de Mars est un cercle de rayon 1,524 UA.

Auteur: Alain Vienne

Magnitude apparente d'une planète

Difficulté : ☆☆ Temps : 50mn

Question 1)

Lors de l'opposition, une planète extérieure est vue depuis la Terre avec la magnitude m_0 . Exprimez la magnitude de cette planète lorsqu'elle est à la distance $\Delta$ de la Terre et à la distance du Soleil. On donnera cette expression en fonction de m_0 , et $\Delta$ (on négligera l'effet de phase).

Question 2)

Application à Jupiter pour lequel m_0 = -2,5 et d=5,2UA , puis à Mars pour lequel m_0 = -2,0 et d=1,52UA : Calculer la magnitude de ces planètes lorsqu'elles sont en quadrature.

Auteur: Alain Vienne

Magnitude instrumentale

Difficulté : ☆☆ Temps : 60mn

Question 1)

On observe à l'oeil nu une étoile de magnitude apparente . On l'observe ensuite au travers d'un instrument dont le diamètre d'ouverture est avec une pupille de sortie dont le diamètre $\delta$ est égal à celle de l'oeil.

Quelle est la magnitude instrumentale $m_{inst}$ de cette étoile au travers de cet instrument.

Question 2)

Quelle est la magnitude limite observable avec cet instrument?

Question 3)

Faire l'application numérique avec les télescopes d'ouverture suivante: 5cm, 20cm, 1m, 8 m. On prendra $\delta= 6mm$

Désintégration radioactive

Auteur: Stéphane Erard

Les éléments chimiques les plus légers sont formés au début de l'univers, les plus lourds sont formés essentiellement dans les étoiles.

Tous ne sont pas stables. Un radionucléide est un noyau atomique instable qui se désintègre en une autre espèce. La probabilité de désintégration de chaque atome est constante au cours du temps, et les événements sont indépendants.

Ex: désintégration radioactive

Auteur: Stéphane Erard

Désintégration radioactive

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Question 1)

On considère une seule espèce radioactive. Soit N(t) le nombre d'atomes à l'instant t, quel est le nombre de désintégrations dN pendant l'intervalle de temps dt ?

Question 2)

En déduire le nombre d'atomes présents à l'instant t.

Question 3)

Au bout de quel intervalle de temps $t_{1/2}$ le nombre d'atomes radioactifs est-il réduit de moitié ?

Tracer la courbe d'évolution et sa tangente à l'instant initial. Reporter $\lambda$ et $t_{1/2}$ .

Question 4)

On définit l'activité A comme le nombre de désintégrations par seconde d'une espèce. C'est une grandeur observable, qui se mesure en Becquerels (Bq) dans le Système International. Exprimer celle-ci en fonction du temps.

Auteur: Stéphane Erard

Datation de météorites

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

On utilise la loi de décroissance radioactive pour dater un échantillon de météorite. Les âges étant élevés (de l'ordre de l'âge du Système solaire, ~5 milliards d'années) on utilise des isotopes à longue période.

Le rubidium 87 décroît par radioactivité $\beta$ en strontium 87 avec une demi-vie de 49 milliards d'années, selon la réaction suivante :

$^{87} Rb \Rightarrow ^{87} Sr + e^- + \overline{\nu}$

Un des neutrons se transforme en proton (radioactivité $\beta$ ). Le nombre de masse (87) est inchangé, le nombre de charges varie (de 37 à 38). La charge totale est conservée par l'émission d'un électron. La quatrième particule est un anti-neutrino symétrique de l'électron, dont la présence est requise par la conservation du moment cinétique.

Question 1)

Ecrire la quantité de $^{87} Sr$ à l'instant de la mesure t en fonction des quantités de $^{87} Sr$ initiale et de $^{87}Rb$ actuelle et initiale.

Question 2)

Récrire cette équation pour éliminer une des quantités inconnues.

En pratique, on mesure des rapports d'abondance ; en l'occurrence on rapporte toutes les abondances à celle du $^{86} Sr$ , isotope stable du strontium qui n'est pas un produit de désintégration (son abondance n'est donc pas fonction du temps). Faire apparaître ces rapports. Commentaires ?

Question 3)

On lève l'indétermination précédente en effectuant cette mesure sur différents minéraux présents dans la même météorite, et formés au même moment. Reporter les points de mesures attendus sur un graphique dérivé de la fonction précédente.

Question 4)

Les mesures des rapports isotopiques dans l'exemple sont les suivantes :