Fonction d'une variable réelle : dérivabilité

Introduction
Définition
- Rétrogradation de Mars
- Ex : rétrogradation de Mars
- Orbites perturbées du problème à 2 corps
- Ex: Orbites perturbées du problème à 2 corps
- Loi de Planck en fréquence
- Ex: loi de Planck en fréquence
Théorème des accroissements finis
- Les racines du polynôme de la méthode de Laplace
- Ex: Les racines du polynôme de la méthode de Laplace
- Les racines des polynômes de Legendre
- Ex: Les racines des polynômes de Legendre
- Projection de Mollweide
- Ex : projection de Mollweide
Extrema
- Loi de Wien
- Ex : loi de Wien
- Etoile à neutron
- Ex: Etoile à neutron
- Sphère photonique
- Ex: Sphère photonique

Introduction

On trouvera dans cette partie les exercices suivants :

étude de la rétrogradation de la planète Mars
perturbation d'une orbite elliptique
loi de Planck en fréquence
étude des racines réelles du polynôme de degré 8 issu de la méthode de Laplace (détermination d'orbite)
le théorème de Rolle appliquée dans une récurrence pour les racines des polynômes de Legendre
étude de la projection cartographique de Mollweide
démonstration de la loi du déplacement de Wien pour le corps noir (application de la détermination d'un extrema pour une fonction continue sur un intervalle fermé)
rayon d'équilibre d'une étoile à Neutron (application de la détermination d'un extrema pour une fonction continue sur un intervalle fermé)
calcul de la sphère de photons d'un trou noir

Définition

Auteurs: Marc Fouchard, S. Renner, Stéphane Erard

Rétrogradation de Mars

Auteur : Marc Fouchard

Le mouvement de Mars vu depuis la Terre montre des périodes pendant lesquelles Mars se déplace dans le sens inverse au Soleil par rapport au fond d'étoiles fixes. L'exercice présenté ici consiste à étudier cette phase de rétrogradation de Mars.

L'animation ci-dessous montre à gauche le mouvement de la Terre et de Mars autour du Soleil et à droite les mêmes mouvements vus depuis la Terre.

Retrogradation de Mars

Mouvement de la Terre et de Mars autour du Soleil.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou Fouchard

On remarque que vu de la Terre le mouvement de Mars se fait dans le sens inverse (sens retrograde) à celui du Soleil (sens prograde). Le but de cet exercice est d'étudier cette phase de rétrogradation.

Ex : rétrogradation de Mars

Auteur: Marc Fouchard

Rétrogradation de Mars

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

On suppose que la Terre et Mars se déplacent uniformément sur des cercles centrés sur le Soleil . Soit $r_{\rm T}$ et $r_{\rm M}$ les rayons respectives des orbites de la Terre et de Mars, et $\omega_{\rm T}$ , $\omega_M$ leur vitesses angulaires respectives. On suppose que les plans de l'orbite de la Terre et de Mars sont confondus. Ainsi, dans un repère fixe centré sur le Soleil on note $(x_{\rm T},y_{\rm T})$ et $(x_{\rm M}, y_{\rm M})$ les coordonnées respectives de la Terre et de Mars. On suppose qu'initialement le Soleil, la Terre et Mars sont alignés dans cet ordre sur l'axe des abscisses du côté des abscisses positives.

Question 1)

Exprimer les coordonnées de la Terre et de Mars en fonction du rayon de leur orbite, de leur vitesse angulaire et du temps . Soit $(D\cos \lambda , D\sin \lambda)$ les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{TM}$ . En déduire une expression de et de $\lambda$ en fonction de $r_{\rm T}$ , $r_{\rm M}$ , $\omega_{\rm M}$ , $\omega_{\rm T}$ et .

Question 2)

Calculer la dérivée de $\lambda$ par rapport au temps, puis déterminer son signe pour $\omega_{\rm M}t-\omega_{\rm T}t=0^\circ$ et $180^\circ$ . On utilisera la propriété $\omega_T^2 r_T^3=\omega_M^2 r_M^3$ qui dérive de la troisième loi de Kepler. Conclure.

Question 3)

Cacluler la valeur de $\omega_{\rm M}t-\omega_{\rm T}t$ lorsque $\frac{{\rm d} \lambda}{{\rm d} t}$ s'annule. Ces positions correspondent aux stations de Mars. On notera dans la suite t_s un instant conrrespondant à une station.

Question 4)

Calculer les deux instants correspondant aux stations en fonction de $\alpha=\sqrt{\frac{r_M}{r_T}}$ . En déduire la durée de la rétrogradation.

Orbites perturbées du problème à 2 corps

Auteur: S. Renner

Date de création: 04 avril 2011

L'objectif de cet exercice est de déterminer quels types de forces perturbatrices peuvent modifier le demi grand-axe ou l'excentricité d'une orbite.

Il est nécessaire de s'intéresser au préalable à la résolution du problème à 2 corps.

Ex: Orbites perturbées du problème à 2 corps

Auteur: S. Renner

Orbites perturbées du problème à 2 corps

Difficulté : ☆ Temps : 1h

Un corps en orbite elliptique autour du Soleil (de rayon vecteur ) est soumis à une force perturbatrice de la forme $d {\bf F} = F_r {\bf u_r} + F_\theta {\bf u_\theta} + F_z {\bf u_z}$ , où F_r , $F_\theta$ , F_z sont respectivement les composantes (constantes) radiale, tangentielle et normale de la force, et ${\bf u_r} = {\bf r}/r$ , ${\bf u_\theta}$ , ${\bf u_z}$ des vecteurs orthonormés unitaires. Cette force est suffisamment faible pour que la trajectoire de l'objet reste keplerienne.

Question 1)

On peut écrire la variation d'énergie ${\dot E}={\dot \bf r}.d{\bf F}$ due à la force $d {\bf F}$ . Sachant de plus que ${\dot E}= \frac{\mu}{2a^2} {\dot a}$ avec $\mu = G (M+m)$ , montrer quels types de forces vont modifier le demi-grand axe en calculant da/dt .

Question 2)

En écrivant la variation du moment cinétique ${\dot h}$ due à $d {\bf F}$ , montrer quels types de forces modifient l'excentricité en calculant de/dt .

Loi de Planck en fréquence

Auteur: Stéphane Erard

Date de création: 07 mars 2013

La loi de Planck donnant le spectre du corps noir est souvent donnée en fonction de la longueur d'onde. L'objectif de cet exercice est de dériver cette loi en fonction de la fréquence du rayonnement. Cette expression est plus naturellement utilisée dans certains domaines, en particulier aux basses énergies (domaine radio) et aux basses températures (dans le milieu interstellaire par exemple).

Ex: loi de Planck en fréquence

Auteur: Stéphane Erard

Loi de Planck en fréquence

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

On connaît la luminance du corps noir en fonction de la longueur d'onde, donnée par la loi de Planck (voir par exemple l'exercice sur la loi de Wien) : $B_{\lambda} = \frac{2hc^2}{\lambda^5 (e^{hc/kT\lambda} -1) }$

où est la vitesse de la lumière dans le vide, la constante de Planck, la constante de Boltzmann, $\lambda$ la longueur d'onde et la température du corps noir.

Cette expression est une luminance directionnelle, donnée habituellement en $W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,\mu m^{-1}$ .

Question 1)

Donner l'expression de cette luminance en fonction de la fréquence du rayonnement.

Question 2)

Comparer les graphiques de ces deux expressions en échelle linéaire.

Théorème des accroissements finis

Auteurs: Alain Vienne, Marc Fouchard

Les racines du polynôme de la méthode de Laplace

Auteur: Alain Vienne

Lors de la découverte d'un nouvel objet dans le système solaire, on souhaite rapidement connaitre sa trajectoire. Celle-ci est généralement héliocentrique et, dans un premier temps, on la suppose képlérienne. Or les observations terrestres donnent uniquement la direction de l'astre mais pas sa distance. La méthode de Laplace propose un moyen qui, à partir de 3 observations de direction faites à des dates assez rapprochées, donne les vecteurs position et la vitesse de l'astre. Le détail de la méthode peut être trouvé dans le cours suivant: Dynamique du système solaire. On peut y voir notamment que la méthode conduit à chercher les racines d'un polynôme de degré 8. Il y est affirmé qu'il y a 4 racines réelles (1 négative, 3 positives) et 4 complexes non réelles. C'est cette affirmation qui est étudiée dans l'exercice qui suit.

Le polynôme est de la forme:

f(r)=r^8 + a_6 r^6 + a_3 r^3 + a_0

On sait que a_0 < 0 et qu'il existe au moins 2 solutions distinctes strictement positives. L'une des deux est r=S où est la distance Terre-Soleil. On peut aller voir l'exercice qui vérifie cette racine ici. La deuxième solution distincte de et strictement positive suppose que les 3 observations ont été bien faites et correspondent physiquement à un même objet du système solaire. Elle n'est pas garantie mathématiquement mais s'appuie sur l'argument que cette solution "doit exister".

Voici à titre d'exemple le graphe du polynôme dans le cas de 3 observations de Jupiter à son opposition (courbe "complète" et un agrandissement):

Le polynome de la méthode de Laplace dans le cas de 3 observations de Jupiter (courbe "complète" et un agrandissement). L'axe horizontal est gradué en ua. On note que ce polynôme n'est pas très bien conditionné car la vue d'ensemble ne donne pas une idée des racines ni même du nombre de ces racines. La deuxième figure est agrandissement sur la partie utile. On voit la racine r=1

ua (

) et les 2 autres racines dont celle qui nous intéresse à 5 ua.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Ex: Les racines du polynôme de la méthode de Laplace

Auteur: Alain Vienne

Les racines du polynôme de la méthode de Laplace

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Soit un polynôme à coefficients réels de la forme:

f(r)=r^8 + a_6 r^6 + a_3 r^3 + a_0

On sait que a_0 < 0 et qu'il existe au moins 2 solutions distinctes strictement positives.

Question 1)

Calculer f'(r) et étudier le polynôme $g(r)=\frac{f'(r)}{r^2}$ dans le cas où $a_6 \ge 0$

Question 2)

En déduire que a_6 est strictement négatif

Question 3)

Montrer que s'annule en un point $\beta$ positif

Question 4)

g'(r) peut donc s'écrire $g'(r)=40 r^2 (r-\gamma ) (r+\gamma )$ (avec $\gamma$ positif). Monter que $g(\gamma ) \le 0$ .

Question 5)

Monter que $g(- \gamma ) > 0$ .

Question 6)

Montrer que s'annule en $\beta_1$ , $\beta_2$ et $\beta_3$ tels que $\beta_1<-\gamma < \beta_2 < + \gamma < \beta_3$

Question 7)

Etudier les 2 cas $\beta_1 < \beta_2 < 0 < \beta_3$ et $\beta_1 < 0 < \beta_2 < \beta_3$ . Monter que le premier cas est impossible et que le deuxième cas conduit à une ou trois racines positives

Question 8)

Conclure.

Les racines des polynômes de Legendre

Auteur: Alain Vienne

En Mécanique Céleste, on est souvent conduit à utiliser les polynômes de Legendre que l'on note ici P_n .

C'est le cas, par exemple, dans le développement du potentiel terrestre. Si on suppose que la Terre est un sphéroïde, le potentiel peut s'écrire:

$U(r,\varphi)=\frac{KM_T}{r} \ [1 - \sum_{m=1}^{\infty} J_{2m} (\frac{a_e}{r})^{2m} P_{2m}(\sin\varphi) \ ]$

est la constante de gravitation de la Terre, M_T la masse totale de la Terre, a_e son rayon équatorial et $J_{2m}$ des coefficients numériques. et $\varphi$ sont le rayon et la latitude du point pour lequel on évalue le potentiel .

Un autre exemple d'utilisation est de considérer 2 corps et décrivant autour d'un centre des orbites proches d'un mouvement elliptique. Pour décrire les perturbations (gravitationnelles) entre et , on doit écrire l'inverse de la dsitance entre et , $1/\Delta$ , en fonction de leurs éléments d'orbite. On montre facilement que:

$\frac{1}{\Delta} = \frac{1}{r'} (1-2\rho \cos S + \rho^2)^{-1/2}$

Avec r=PM , r'=PM' , $\rho = r/r'$ et l'angle entre et vu de .

Cette dernière expression est développée en puissance de $\rho$ grâce aux polynômes de Legendre:

$(1-2\rho \cos S + \rho^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^n P_n(\cos S)$

Ce développement est rapidement convergent si $\rho$ est petit. C'est le cas si, par exemple, est la Terre, le Soleil et un satellite artificiel.

Plus de détails de ces développement peuvent être vus dans le cours de Mécanique Céleste de Luc Duriez.

Les polynômes de Legendre ont de nombreuses propriétés. Celle que nous allons utiliser dans l'exercice qui suit est la formule de Rodrigues:

$P_m(x)=\frac{1}{2^m \ m!} \ \frac{d^m}{dx^m} (x^2-1)^m$

Cette formule va nous permettre de montrer que l'équation P_m(x)=0 a toutes ses racines dans [-1,+1] et en a distinctes.

Ex: Les racines des polynômes de Legendre

Auteur: Alain Vienne

Les racines des polynômes de Legendre

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h (pour une rédaction correcte)

Les polynômes de Legendre, bien connus en Mécanique Céleste, peuvent se déterminer par la formule de Rodrigues:

$P_m(x)=\frac{1}{2^m \ m!} \ \frac{d^m}{dx^m} (x^2-1)^m$

Question 1)

Montrer que l'équation P_m(x)=0 a toutes ses racines dans [-1,+1] et en a distinctes.

Projection de Mollweide

Auteur: Marc Fouchard

La projection de Mollweide est la projection d'une sphère sur un plan qui conserve les aires au sacrifice de la conservation des distances et des formes. La projection d'une sphère rempli une ellipse dont le petit axe est le double du grand axe.

L'avantage d'une telle projection en astronomie est qu'elle permet d'avoir une idée globale de la répartition d'une certaine quantité sur la sphère céleste par unité de surface (ou stéradian). Par exemple, l'image suivante montre la répartition du rayonnement du fond cosmologique sur une projection de Mollweide de la sphère céleste. Comme ce rayonnement est mesuré par unité de surface (ou par stéradian), la conservation des aires est ici fondamentale pour bien visualiser les données.

Le rayonnement du fond cosmologique par WMAP

Répartition du rayonnement du fond cosmologique observé par le satellite WMAP (l'échelle de couleur est entre +/- 200 micro Kelvin par rapport à une valeur moyenne) sur une projection de Mollweide de la sphère céleste. Le plan de référence est celui de la Voie Lactée dont le rayonnement a été soustrait.

Crédit : NASA/WMAP

Sur une sphère, on défini un système de coordonnées en choisissant un plan de référence (par exemple l'équateur), à partir duquel seront mesurées les latitudes, notées $\phi$ , un méridien de référence (par exemple le méridien de Greenwich) à partir duquel sont mesurées les longitudes, notées $\lambda$ . Pour chaque angle un sens positif est défini (par exemple vers le nord pour les latitudes et vers l'ouest pour les longitudes).

Les coordonnées (x,y) par la projection de Mollweide d'un point de coordonnées $(\lambda,\phi)$ de la sphère céleste sont définies par:

$\begin{array}{lcr} x&=&\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\lambda \cos \theta, \\ y&=&\sqrt{2}\sin \theta, \end{array}$

où la longitude $\lambda$ est mesurée entre $-\pi$ et $\pi$ et $\theta$ est un angle auxiliaire défini par :

$2\theta + \sin (2\theta) = \pi \sin \phi.$ (*)

L'équation (*) ne peut être résolue analytiquement. Le but de cet exercice est de trouver une méthode permettant de déterminer $\theta$ afin de pouvoir calculer et .

Ex : projection de Mollweide

Auteur: Marc Fouchard

projection de Mollweide

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h30

Question 1)

Nous allons commencer par étudier la fonction:

$f (\theta)=\arcsin \left( \frac{2\theta+\sin(2\theta)}{\pi}\right)$ ,

sur l'intervalle $I=[-\pi/2,\pi/2]$ .

Montrer que est définie et continue sur et qu'elle est impaire.

Question 2)

Montrer que est dérivable sur $]-\pi/2, \pi/2[$ , puis en prolongeant par continuité sur .

Question 3)

En déduire que est strictement croissante de dans lui-même et donc qu'il existe une fonction réciproque, notée . Déterminer les propriétés principales de et en particulier que $g([0,\pi/2])=[0,\pi/2]$

Question 4)

On remarque que pour $\phi$ donné, $g(\phi)$ est la solution de l'équation (*).

En déduire l'image des points, ou des ensembles de points suivants, par la projection de Mollweide :

points de latitude nulle.
pôles.
deux méridiens de longitude $\lambda = \pm \pi/2$ .
deux méridiens de longitude $\lambda = \pm \pi$ .
parallèle de latitude $\phi$ .

Question 5)

La fonction n'est pas définie analytiquement. On va montrer ici qu'on peut estimer $g(\phi)$ par la méthode de Newton-Raphson. Soit $h_\phi$ la fonction définie sur $[-\pi/2,\pi/2]$ par :

$h_\phi(\theta)=2\theta+\sin(2\theta)-\pi\sin \phi$ .

Résoudre l'équation (*) revient donc à résoudre $h_\phi(\theta)=0.$

Montrer que si $h_\phi(\theta)=0$ alors $h_{-\phi}(-\theta)=0$ et que si $\phi\in[0,\pi/2]$ alors la solution de $h_\phi(\theta)=0$ est dans $[0,\pi/2]$ . De même montrer que h_0(0)=0 et $h_{\pi/2}(\pi/2)=0$ .

Question 6)

Ainsi on peut se limiter à résoudre $h_\phi(\theta)=0$ pour $\phi\in]0,\pi/2[$ . On sait déjà que la solution se trouve dans $]0,\pi/2[$ d'après la question 3. Montrer que, pour $\phi\in]0,\pi/2[$ , est définie continue dérivable et strictement croissante sur $[0,\pi/2[$ et que sa dérivée est définie continue, strictement positive et strictement décroissante sur $[0,\pi/2[$ .

Question 7)

Soit $\theta_S$ la solution de $h_\phi(\theta)=0$ . Soit $\theta_0 \in [0,\theta_S[$ . On note $S(\theta_S,0)$ et $A_0(\theta_0,h(\theta_0))$ les points de la courbe représentative $\mathcal{H}$ de dans un repère orthonormé. On note $B_1(\theta_1,0)$ , le point d'intersection de la tangente en A_0 à $\mathcal{H}$ avec l'axe des abscisses. Montrer que $\theta_1=\theta_0-\frac{h_\phi(\theta_0)}{h_\phi'(\theta_0)}$ et que $\theta_0 < \theta_1 < \theta_S$ .

Question 8)

Montrer que la suite définie par $\theta_0=0$ et $\theta_{n+1}=\theta_n-\frac{h_\phi(\theta_n)}{h_\phi'(\theta_n)}$ converge vers $\theta_S$ .

Convergence de la méthode de Newton-Raphson

La convergence de cette suite dépend fortement du choix de $\theta_0$ . La figure ci-dessous montre le nombre d'itérations nécessaires pour attendre un précision relative de l'ordre de $10^{-12}$ sur $\theta_S$ en fonction de $\theta_0$ et $\phi$ . On voit que pour certains choix la convergence est très mauvaise voire impossible. Par contre avec $\theta_0=0$ , la méthode converge pour toute valeur de $\phi$ même si ce n'est pas le choix optimal.

Convergence de la méthode de Newton-Raphson pour la projection de Mollweide

Nombre d'itérations nécessaires pour attendre un précision relative de l'ordre de $10^{-12}$ sur $\theta_S$ en fonction de $\theta_0$ et $\phi$ .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard.

Extrema

Auteurs: Marc Fouchard, Jérôme Thiébaut

Loi de Wien

Auteur : Marc Fouchard

La loi de Planck indique que pour un corps noir, l'énergie émise par rayonnement à une longueur d'onde donnée, ne dépend que de la température de surface du corps noir. Cette loi est donnée par la relation suivante :

$E(\lambda)=\frac{2 h c^2}{\lambda ^5}\cdot \frac{1}{\exp \left( \frac{h c}{k \lambda T} \right) -1}$

où correspond à la vitesse de la lumière dans le vide, est la constante de Planck, la constante de Boltzmann, $\lambda$ la longueur d'onde à laquelle le rayonnement est émis et la température de surface du corps noir.

La figure ci dessous montre le comportement de $E(\lambda)$ pour différentes températures de surface du corps noir. On peut remarquer que le maximum de la courbe se déplace sur la gauche lorsque la température augmente. Autrement dit, la longueur d'onde pour laquelle le rayonnement émis est maximal diminue lorsque la température de surface augmente.

Le but de cet exercice est de trouver la relation exacte entre $\lambda_{\rm max}$ et .

Remarque

Cette exercice repose sur la détermation du maximum d'une fonction sur un intervalle donné. Il utilise aussi le théorème du point fixe dans $\mathbf R$ , mais ce théorème peut être admis ici.

Ex : loi de Wien

Auteur: Marc Fouchard

Loi de Wien

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h

Question 1)

Sachant que , et sont des constantes strictement positives et que la température étant mesurée en Kelvin est aussi strictement positive, montrer que $E(\lambda)$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$ et est toujours strictement positive sur cet intervalle.

Question 2)

Montrer que les limites de $E(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers 0 et vers $+ \infty$ sont toutes les deux égales à zéro. Ce résultat peut être admis ici.

Question 3)

En déduire qu'il doit exister un maximum pour $E(\lambda)$ sur $\left\rbrack 0 ; +\infty \right \lbrack$ .

Question 4)

En effectuant le changement de variable $u=\frac{hc}{k T \lambda }$ , montrer qu'étudier le signe de $\frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}$ $\frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}$ revient à étudier celui de $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}$ .

Question 5)

En déduire une condition sur , de la forme f(u)=u , pour que $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}$ s'annule. On note u_S la solution de cette équation lorsqu'elle existe.

Question 6)

On peut monter par le théorème du point fixe dans ${\mathbf R}$ que admet un point fixe et que la suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers ce point fixe (voir Loi de Wien et théorème du point fixe). En prenant u_0=5 trouver une valeur $\tilde{u}_S$ qui soit une valeur approchée de u_S à $10^{-7}$ prêt.

Question 7)

En déduire la relation $\lambda_{\rm max}\cdot T =A$ où $c=299\,792\,458~ {\rm m}\cdot{\rm s}^{-1}$ , $h = 6,626\,17\times 10^{-34}~{\rm J}\cdot{\rm s}$ et $k = 1,380\,66 \times 10^{-23}~{\rm J}\cdot{\rm K}^{-1}$ . Cette relation correspond à la loi du déplacement de Wien pour les corps noirs. Justifier l'utilisation de $\tilde{u}_S$ dans le calcul de la constante .

Etoile à neutron

Auteur : Jérôme Thiébaut

Une étoile à neutron constitue l'étape ultime d'évolution des étoiles de masses inférieures à trois masses solaires. Ayant brulé tout son carburant, l'étoile devient une supernova, elle éjecte ses couches extérieures et son coeur s'éffondre sur lui même. Les électrons et les protons fusionnent ensemble et se transforment en neutrons. La densité devient alors comparable à celle de la matière nucléaire et la température est de l'ordre de 10^8 K. Le but de cet exercice est de déterminer grâce à un modèle simple le rayon d'équilibre de ces étoiles.

Ex: Etoile à neutron

Auteur: Jérôme Thiébaut

Etoile à neutron

Difficulté : ☆ Temps : 45 min

On assimile l'étoile à neutron à un gaz parfait de neutrons contenu dans une sphère. La densité d'états (ou fonction de distribution) de l'impulsion rho(p) est la suivante: $rho*(p) dp = frac(V;pi^2*planck^3)*p^2*dp$ , où V est le volume et planck la constante de Planck réduite.

Question 1)

On définit la densité de particule n: $n=frac(1;V)*intégrale(rho(p);p;0;p_f)$ où p_f est l'impulsion de Fermi, c'est à dire l'impulsion maximale. Exprimer n en fonction de p_f .

Question 2)

Exprimer l'impulsion de Fermi en fonction de la masse du neutron, m, celle de l'étoile, M, et du rayon de l'étoile, R.

Question 3)

On définit la densité d'énergie, epsilon : $epsilon=frac(1;V)*intégrale(frac(p^2;2*m)*rho(p);p;0;p_f)$ . calculer epsilon en fonction de p_f .

Question 4)

L'énergie du gaz E vallant $frac(4;3)*pi*R^3*epsilon$ , l'exprimer en fonction de l'impulsion de Fermi puis en fonction des caractéristiques de l'étoile et de la masse du neutron.

Question 5)

L'énergie gravitationnelle de l'étoile est $E_g=-frac(3*G*M^2;5*R)$ , où G est la constante de gravitation. L'équilibre est atteint lorsque l'énergie totale (celle du gaz plus celle gravitationnelle) de l'étoile est minimum. Calculer le rayon R_étoile qui minimise l'énergie en fonction de la masse de l'étoile et des constantes m, G et planck . Calculer ce rayon pour le soleil.

Sphère photonique

Auteur: Jérôme Thiébaut

En relativité générale la gravitation n'est pas une force mais une déformation de l'espace temps due aux corps qu'il contient. Par conséquent, la métrique, c'est à dire la manière de mesurer les distances, s'en trouve transformée par rapport aux distances euclidiennes usuelles. La métrique de Schwarzschild est une métrique applicable à un corps massif central statique ou en rotation lente. Cette métrique s'applique à l'extérieur du corps en question et n'est plus valable en son sein. Elle permet de plus, à grande distance ou dans le cas de potentiel faible, de retrouver la gravitation newtonnienne. Le but de cet exercice est de montrer que pour des trous noirs, il existe une orbite circulaire en deça de laquelle il est impossible d'orbiter, et que cette orbite correspond à la trajectoire de photons.

Ex: Sphère photonique

Auteur: Jérôme Thiébaut

Sphère photonique

Difficulté : ☆ Temps : 20mn

La métrique de Schwarzschild est une métrique applicable à un corps massif central statique ou en rotation lente. Elle s'écrit: ds^2=-psi*c^2*dt^2+dr^2/psi+r^2*d*theta^2+r^2*sin(theta)^2*d*phi^2 , où est le temps,c la vitesse de la lumière, theta phi sont les coordonnées sphériques et psi est défini comme psi=1-r_s/r . Le rayon de Schwarzschild r_s est directement relié à la masse du corps central par r_s=2GM/c^2 , où G est la constante de gravitation.

Question 1)

On se place dans le plan theta=pi/2 . Que vaut ds^2 dans le cas d'une orbite circulaire ?

Question 2)

On pose d*phi=omega*dt , où omega est la fréquence angulaire du mouvement vu par un observateur lointain. Sachant que pour qu'un mouvement soit physiquement réalisable il faut que ds^2<0 (ceci vient uniquement d'un choix spécifique de métrique); déterminer la condition sur omega .

Question 3)

Montrer que l'orbite finale (correspondant à la fréquence limite calculée précédemment) correspond à la trajectoire de photons pour lesquels ds^2=0 . Que vaut son rayon ?

Réponses aux exercices

pages_def/exo-retrogradation-mars.html

Exercice 'Rétrogradation de Mars'

Question 1
Solution :
Pour la Terre on a : $x_{\rm T}=r_{\rm T} \cos \left(\omega_{\rm T} t \right)$ $y_{\rm T}=r_{\rm T} \sin \left(\omega_{\rm T} t\right)$ .

Et pour Mars on a : $x_{\rm M}=r_{\rm M} \cos \left(\omega_{\rm M} t\right)$ $y_{\rm M}=r_{\rm M} \sin \left( \omega_{\rm M} t\right)$ .

On en déduit : $\overrightarrow{TM}=\left(x_{\rm M}-x_{\rm T}, y_{\rm M}-y_{\rm T}\right)=\left(r_{\rm M}\cos (\omega_{\rm M}t)-r_{\rm T}\cos ( \omega_{\rm T}t),r_{\rm M}\sin (\omega_{\rm M}t)-r_{\rm T}\sin (\omega_{\rm T}t)\right)$ .

On en déduit: $D^2=r_{\rm M}^2+r_{\rm T}^2-2r_{\rm M}r_{\rm T}\left(\cos(\omega_{\rm M}t)\cos (\omega_{\rm M}t)+\sin(\omega_{\rm M}t)\sin (\omega_{\rm M}t)\right)$ $=r_{\rm M}^2+r_{\rm T}^2-r_{\rm M}r_{\rm T}\cos\left((\omega_{\rm M}-\omega_{\rm T})t\right)$ ,

et $\tan \lambda = \frac{y_{\rm M}-y_{\rm T}}{x_{\rm M}-x_{\rm T}}=\frac{r_{\rm M}\sin (\omega_{\rm M}t)-r_{\rm T}\sin ( \omega_{\rm T}t)}{r_{\rm M}\cos (\omega_{\rm M}t)-r_{\rm T}\cos (\omega_{\rm T}t)}$ . Cette fonction n'est pas définie lorsque
Question 2
Solution :
On a: $\frac{{\rm d} \tan \lambda}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d} \tan \lambda}{{\rm d}\lambda}\cdot \frac{{\rm d} \lambda}{{\rm d}t}=\frac{1}{\cos^2 \lambda} \frac{{\rm d} \lambda}{{\rm d}t}$ .

Or $\frac{{\rm d} \tan \lambda}{{\rm d}t}=\frac{\left(r_M \omega_M \cos (\omega_Mt)-r_T\omega_T\cos (\omega_Tt)\right)\left(r_M\cos (\omega_M t)-r_T\cos (\omega_T t)\right) + \left(r_M\sin (\omega_M t)-r_T\sin (\omega_T t)\right)\left(r_M \omega_M \sin (\omega_Mt)-r_T\omega_T\sin (\omega_Tt)\right)}{\left((r_M\cos (\omega_M t)-r_T\cos (\omega_T t)\right)^2}$ $=\frac{r_M^2\omega_M+r_T^2\omega_T-r_Tr_M(\omega_T+\omega_M)\cos(\omega_T-\omega_M)t)}{\left(r_M\cos(\omegat)-r_T\cos(\omega_Tt)\right)^2}$ .

Le signe de $\frac{{\rm d} \lambda}{{\rm d} t}$ est celui du numérateur de l'expression ci-dessus. Ainsi, quand $\omega_{\rm M}t-\omega_{\rm T}t=0^\circ$ , le signe de la dérivée est celui de $r_M^2\omega_M+r_T^2\omega_T-r_Tr_M(\omega_M+\omega_T)=(r_M-r_T)(r_M\omega_M-r_T\omega_T)=(r_M-r_T)(v_M-v_T)$ , oùt $v_M=r_M\omega_M$ et $v_T=r_T\omega_T$ .

Or d'après la propriété dérivant de la troisième loi de Kepler, on a $\left(\frac{v_M}{v_T}\right)^2=\frac{r_T}{r_M}$ . Ainsi, pour Mars on a et , donc la dérivée est négative. De même on montre que pour $\omega_{\rm M}t-\omega_{\rm T}t=180^\circ$ , la dérivée est positive.

On en conclue qu'effectivement lors de l'opposition ( $\omega_{\rm M}t-\omega_{\rm T}t=0^\circ$ ), le mouvement de Mars est rétrograde, alors qu'à la conjonction $\omega_{\rm M}t-\omega_{\rm T}t=180^\circ$ , le mouvement est prograde.
Question 3
Solution :
$\frac{{\rm d} \lambda}{{\rm d} t}$ s'annulle lorsque $\cos (\omega_Mt-\omega_Tt)=\frac{r_M^2\oemga_M+r_T^2\omega_T}{r_Mr_T(\omega_M+\omega_T)}$ , soit $(\omega_Mt-\omega_Tt)=\cos^{-1}\left(\frac{r_M^2\oemga_M+r_T^2\omega_T}{r_Mr_T(\omega_M+\omega_T)}\right)$ .

Ce qui nous donne, à $2\pi$ près, deux solutions opposées l'une de l'autre.
Question 4
Solution :
On a $t_s=\frac{\pm 1}{|\omega_M-\omega_T|}\cos^{-1}\left(\frac{\alpha}{\alpha^2-\alpha+1}\right)$ , d'où la durée de la rétrogradation $T_s=\frac{2}{|\omega_M-\omega_T|}\cos^{-1}\left(\frac{\alpha}{\alpha^2-\alpha+1}\right)$ .

Pour Mars, cette durée est égale à 72,8 jours.

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Exercice 'Orbites perturbées du problème à 2 corps'

Question 1
Solution :
${\dot E}={\dot \bf r}.d{\bf F} = {\dot r}. F_r + r{\dot \theta}. F_\theta$ et ${\dot E}= \frac{\mu}{2a^2} {\dot a}$ , où $\mu = G (M+m)$ .

Or $r=a(1-e^2)/(1+e \cos (\theta - \varpi) )$ , $a^3 n^2 = \mu$ donc ${\dot r}=(nae\sin(\theta - \varpi) ) / \sqrt{1 - e^2}$ et $r {\dot \theta} = (na [1 + e \cos(\theta - \varpi) ]) / \sqrt{1 - e^2}$ .

Finalement ${\dot a} = 2 a^{\displaystyle 3/2} [F_r e \sin (\theta - \varpi) + F_\theta (1 + e \cos (\theta - \varpi)) ]/\sqrt{\mu(1-e^2)}$

Les forces dans le plan orbital peuvent modifier le demi-grand axe
Question 2
Solution :
$h^2 = \mu a (1- e^2)$ , $E= -\mu/2a$ , donc $e=\sqrt{1 + 2 h^2 E \mu^{-2}}$ et ${\dot e} = \frac{e^2-1}{2e} (2 {\dot h}/h + {\dot E}/E )$ .

$d {\bf h}/dt = {\bf r} \Lambda d {\bf F} = r F_\theta {\bf u_z} - r F_z {\bf u_\theta}$ donc $dh/dt = {\dot h} = r F_\theta$

Sachant que de plus $r=a(1 - e \cos AE)$ où est l'anomalie excentrique, on obtient alors ${\dot e} = \sqrt{a(1-e^2)/\mu}[F_r \sin(\theta - \varpi) + F_\theta (\cos (\theta-\varpi) + \cos AE]$ .

Les forces dans le plan orbital peuvent modifier l'excentricité.

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Exercice 'Loi de Planck en fréquence'

Question 1
Aide :
Longueur d'onde et fréquence d'un rayonnement sont reliés par $\lambda = c / \nu$

où c est la vitesse de la lumière dans le vide.

Solution :
Les intégrales en $\lambda$ et $\nu$ sont égales, elles donnent toutes deux la luminance intégrale du corps noir (loi de Stefan) :

$\int{B_{\lambda} d_{\lambda}} =\int{B_{\nu} d_{\nu}} = \frac{\sigma}{\pi} T^4$

En dérivant, on obtient :

$|B_{\lambda} d_{\lambda}| =|B_{\nu} d_{\nu}|$ où $\frac{d_{\lambda} } {d_{\nu}} = \frac{\lambda^2}{c}$

Le changement de variable donne directement :

$B_{\nu} = \frac{2h\nu^3}{c^2 (e^{h\nu/kT} -1) }$ (donné couramment en $W\,m^{-2}\,sr^{-1}Hz^{-1}$ )
Question 2
Solution :

Corps noir en longueur d'onde

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Corps noir en fréquence

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Outre la forme différente, on voit que le maximum se déplace en direction inverse quand la température augmente.

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Exercice 'Les racines du polynôme de la méthode de Laplace'

Question 1
Question 2
Aide :
Voir que, dans ce cas, est strictement croissant puis utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Solution :
Le théorème des valeurs intermédiaires donne qu'il y a une racine pour . Cette racine est unique car est croissant. On dresse alors le tableau de variation de et comme est négatif, de la même manière, il n'y a qu'une seule racine positive. Ce qui n'est pas notre cas.
Question 3
Aide :
Utiliser le théorème de Rolle pour sur l'intervalle définie par ses 2 racines positives

Solution :
Le théorème de Rolle pour sur l'intervalle définie par ses 2 racines positives indique que s'annule en un point $\beta$ distint des 2 racines de . $\beta$ est donc positif non nul. Or $g(\beta ) = f(\beta)/\beta^2 = 0$
Question 4
Aide :
Dresser le tableau de variation de et voir qu'on ne pourrait alors avoir l'existence de $\beta$ .
Question 5
Aide :
Supposer que $g(- \gamma ) \le 0$ et dresser le tableau de variation de . On n'oublie pas que est négatif.
Question 6
Solution :
Cette affirmation est directement issue du tableau de variation de qui normalement a déjà été fait.
Question 7
Aide :
Dresser le tableau de variation de dans ces 2 cas.
Question 8
Solution :
Comme on a supposé qu'il y avait au moins 2 racines positives, il y en a exactement 3. La question précédente avait montré une racine négative. Il y a donc exactement 4 racines réelles.

Or si on considère le polynôme dans $\mathbb{C} [X]$ , le polynôme a 8 racines complexes. On en déduit que admet aussi 4 racines complexes non réelles.

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Exercice 'Les racines des polynômes de Legendre'

Question 1
Aide :
Notez que a racines. Elles sont non disctinctes car il s'agit de et chacune d'elles étant d'ordre .

Aide :
Les racines étant d'ordre m, on a $P^{(i)}(+1)=0$ et $P^{(i)}(-1)=0$ pour tout $i \in \{0, \dots , m-1 \}$ , où

Aide :
Appliquer le théorême de Roll au polynôme sur l'intervalle

Aide :
On a donc $P^{(1)}$ qui s'annulle en , $x_{1,1}$ et (ces trois racines sont distinctes)

Aide :
Appliquer le théorême de Roll au polynôme $P^{(1)}$ sur l'intervalle $[-1,x_{1,1}]$ , puis sur $[x_{1,1},+1]$ . On a donc les racines , $x_{2,1}$ , $x_{2,2}$ et (ces quatres racines sont distinctes). Rédigez ensuite la récurrence. Une rédaction propre n'est pas si aisée. Faites la avec soin et choissisez bien vos notations (par exemple, bien différencier l'indice du polynôme et l'indice de la récurrence).

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Exercice 'projection de Mollweide'

Question 1
Solution :
La fonction $\theta \mapsto \left(\frac{2\theta+\sin(2\theta)}{\pi}\right)$ est continue dérivable et strictement croissante. Ainsi l'image de est l'ensemble . Donc la fonction est bien définie sur . est symétrique par rapport à zéro, $f(-\theta)=-f(\theta)$ . Donc est une fonction impaire sur .
Question 2
Aide :
Pour le prolongement par continuité en $\pi/2$ de la dérivée de , on pourra faire le changement de variable $\theta=\pi/2-\epsilon$ et faire le développement limité en zéro.

Solution :
est dérivable sur $]-\pi/2, \pi/2[$ par composition de fonction continues et dérivables. On a:

$f'(\theta)=\frac{4\cos^2\theta}{\sqrt{\pi^2-\left(2\theta+\sin 2\theta \right)^2}}$ .

Cette fonction n'est pas définie pour $\theta=\pm\pi/2$ . On pose alors $\theta=\pi/2-\epsilon$ . Ainsi:

$f'(\pi/2-\epsilon)=\frac{4\sin^2 \epsilon}{\sqrt{2\pi(2\epsilon-\sin 2\epsilon)-(2\epsilon-\sin 2\epsilon)^2}}$ .

Les développements limités en zéro nous indiquent que le dénominateur est de l'ordre de $\epsilon^{3/2}$ alors que le numérateur est de l'ordre de $\epsilon^2$ . Ainsi on a: $f'(\pi/2)=\lim_{\theta \to \pi/2} f'(\theta)=\lim_{\epsilon \to 0}f'(\pi/2-\epsilon)=0$ . Comme est impaire on a de même en prolongeant par continuité $f'(-\pi/2)=0$ .
Question 3
Solution :
D'après la question précédente, on voit que est strictement supérieur à zéro sur $]-\pi/2, \pi/2[$ , et ne s'annule qu'en $\pm \pi/2$ . Ainsi est strictement croissante sur . Comme $f(\pi/2)=\pi/2$ , par parité on en déduit que . Donc est une fonction bijective de dans lui-même. Il existe donc une fonction réciproque . D'après les propriétés de , on en déduit que est une fonction impaire définie et continue sur et dérivable sur ouvert. De plus comme on a $f([0,\pi/2])=[0,\pi/2]$ , on a aussi $g([0,\pi/2])=[0,\pi/2]$ .
Question 4
Solution :
1. Si $\phi=0$ , alors l'équation (*) admet $\theta=0$ comme solution (en effet , c'est-à-dire . Ainsi et varie de $-2\sqrt{2}$ à $2\sqrt{2}$ lorsque $\lambda$ varie de $-\pi$ à $\pi$ .
2. Pour le pôle nord, on a $\phi=\pi/2$ . Or $f(\pi/2)=\pi/2$ , soit $g(\pi/2)=\pi/2$ , ainsi $\theta = \pi/2$ . L'image du pôle nord est $(0,\sqrt{2})$ . Par symétrie, le pôle Sud a pour image $(0,-\sqrt{2})$ .
3. Dans ce cas on a $x=\pm \sqrt{2}\cos \theta$ et $y=\sqrt{2}\sin \theta$ (le signe "+" correspond à la longitude positive). Les points se trouvent donc sur un demi-cercle centré à l'origine et de rayon $\sqrt{2}$ se trouvant à droite de l'axe des ordonnées pour la longitude positive et à gauche pour la longitude négative. Comme un méridien correspond à l'ensemble des latitudes $\phi \in [-\pi/2,\pi/2]$ , chaque demi-cercle est décrit complètement d'après la propriété de la fonction : $g([-\pi/2,\pi/2])=[-\pi/2,\pi/2]$ .
4. Dans ce cas on a $x=\pm 2\sqrt{2}\cos \theta$ et $y=\sqrt{2}\sin \theta$ . Comme à la question précédente sauf que les points se trouvent sur deux demi-ellipses d'une ellipse centrée à l'origine et de demi-petit axe $\sqrt{2}$ parallèle à l'axe des ordonnées et de demi-grand axe $2\sqrt{2}$ . Toute l'ellipse est décrite, pour la même raison que précédemment.
5. Si on note $\theta_0$ la solution de l'équation (*) pour la latitude $\phi$ , i.e. $g(\phi)=\theta_0$ , alors $y=\sqrt{2}\sin \theta_0$ et varie de $-2\sqrt{2}\cos \theta_0$ à $2\sqrt{2}\cos \theta_0$ lorsque $\lambda$ varie de $-\pi$ à $\pi$ . C'est une corde de l'ellipse parallèle à l'axe des abcisses.
Question 5
Solution :
On a $h_\phi(g(\phi))=0$ , or est impaire, donc $g(-\phi)=-g(\phi)$ , ce qui répond au premier point. Ensuite, comme $g([0,\pi/2])=[0,\pi/2]$ on en déduit que si $\phi\in[0,\pi/2]$ alors la solution de $h_\phi(\theta)=0$ est dans $[0,\pi/2]$ . Les deux dernières égalités viennent directement du fait que et $g(\pi/2)=\pi/2$ .
Question 6
Solution :
est définie continue dérivable sur $[0,\pi/2[$ comme composée de fonctions définies continues et dérivables. On a $h_\phi'(\theta)=2+2\cos 2\theta$ qui est continue et strictement positive sur $[0,\pi/2[$ . Elle est aussi dérivable, avec $h_\phi'' (\theta)=-4\sin 2\theta$ . $h_\phi''$ est strictement négative sur $]0,\pi/2[$ et nulle en 0. Ainsi $h_\phi'$ est strictement décroissante sur $[0,\pi/2[$ .
Question 7
Aide :
On utilisera le théorème des accroissements finis.

Solution :
L'équation de la tangente est $y=h_\phi(\theta_0)+h_\phi'(\theta_0)(\theta-\theta_0)$ . Pour on obtient $\theta_1=\theta_0-\frac{h_\phi(\theta_0)}{h_\phi'(\theta_0)}$ . Comme $\theta_0 \in [0,\theta_S[$ , que $h_\phi(\theta_S)=0$ et que $h_\phi$ est croissante, on en déduit que $h_\phi(\theta_0) < 0.$ De plus $h_\phi'(\theta_0)>0$ ainsi on a bien $\theta_1>\theta_0.$ D'après le théorème des accroissements finis, il existe $\theta\in]\theta_0,\theta_S[$ tel que $h_\phi'(\theta)=\frac{h_\phi(\theta_S)-h_\phi(\theta_0)}{\theta_S-\theta_0}$ . Ainsi, en considérant comme le point d'intersection entre l'axe des abscisses et la droite passant par et de coefficient directeur $h_\phi'(\theta)$ , on a $\theta_S=\theta_0-\frac{h_\phi(\theta_0)}{h_\phi'(\theta)}$ . Comme $h_\phi'$ est une fonction strictement décroissante sur $]\theta_0, \theta_S[$ , on en déduit que $0<h_\phi'(\theta) < h_\phi'(\theta_0)$ , soit $-\frac{h_\phi(\theta_0)}{h_\phi'(\theta_0)} < -\frac{h_\phi(\theta_0)}{h_\phi'(\theta)}$ . Ainsi on a bien $\theta_1 < \theta_S$ .
Question 8
Solution :
On sait que si $\phi\in]0,\pi/2[$ alors $\theta_S\in]0,\pi/2[$ . Autrement dit $\theta_S>0$ , donc $\theta_0\in[0,\theta_S[$ . Ainsi d'après la question précédente on sait que $\theta_0<\theta_1<\theta_S$ . Donc $\theta_1\in[0,\theta_S[$ . Si on suppose maintenant $\theta_n\in[0,\theta_S [$ alors, toujours d'après la question précédente on a $\theta_n<\theta_{n+1}< \theta_S$ , en outre $\theta_{n+1}\in[0,\theta_S[$ . Ainsi, $\forall n \in \mathbb{N}$ on a $\theta_n<\theta_{n+1}<\theta_S$ . Donc la suite $(\theta_n)$ est croissante et majorée, donc elle converge vers une limite $l\le\theta_S$ . Par continuité de $h_\phi$ et $h_\phi'$ , on a $l=l-\frac{h_\phi(l)}{h_\phi'(l)}$ , et comme $h_\phi'(l)\ne 0$ , on en déduit que $h_\phi(l)=0$ , donc $l=\theta_S$ .

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Exercice 'Loi de Wien'

Question 1
Solution :
$E(\lambda)$ s'écrit comme un produit et composition de fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur leur ensemble de définition. Ainsi $E(\lambda)$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur son intervalle de définition, c'est à dire sur $]0,+\infty[$ .

Elle est toujours strictement positive puisqu'elle s'écrit comme produit de fonctions strictement positives sur cet intervalle.
Question 2
Aide :
On pourra effectuer le changement de variable $u=\frac{hc}{k T \lambda }$ . Pour la limite en $+\infty$ on pourra faire un dévelopement limité en 0 à l'ordre 1 de la fonction exponentielle.

Solution :
$\lim_{\lambda \to 0^{+}} E(\lambda)= \lim_{u \to +\infty} \frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot\frac{u^5}{{\rm e}^{u} - 1}=0$ car l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme en $+ \infty$ .

$\lim_{\lambda \to + \infty} E(\lambda)= \lim_{u \to 0^{+}} \frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot\frac{u^5}{{\rm e}^{u} - 1}=\lim_{u \to 0^{+}} \frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot u^4 = 0$ où on a utilisé le dévelopement limité en 0 à l'ordre 1 de la fonction exponentielle : ${\rm e}^u = 1 + u + O(u^2)$ .
Question 3
Solution :
Les limites trouvées à la question précedente nous permettent de dire que $\forall \epsilon > 0$ , $\exists M > 0$ et $\exists \delta >0$ tels que $\forall x > M$ on a $0 < E(x)<\epsilon$ et $\forall x < \delta$ et on a $0 < E(x) < \epsilon$ .

est une fonction continue sur l'intervalle $[\delta,M]$ . Or l'image d'un segment fermé par une fonction continue est un segment fermé. Ce dernier possède donc une borne supérieure qui est atteinte par la fonction sur $[\delta,M]$ .

Soit $E_{\rm max}$ ce maximum. On peut alors choisir $\epsilon$ pour que $\epsilon < E_{\rm max}$ , ainsi $E_{\rm max}$ sera aussi le maximum de sur $]0,+\infty[$ .
Question 4
Solution :
$\frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}=\frac{{\rm d} u}{{\rm d} \lambda} \frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}=-\frac{hc}{kT\lambda^2}\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d}u}=-\left(\frac{kTu}{hc}\right)^2\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}$ ,

ainsi les deux dérivées sont de signe opposé. Il suffit bien d'étudier le signe de l'une pour en déduire le signe de l'autre.
Question 5
Solution :
$E(u)=\frac{2 k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot \frac{u^5}{{\rm e}^u -1}$ donc $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u} = \frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot \frac{5u^4({\rm e}^u -1) - u^5 {\rm e}^u}{({\rm e}^u -1)^2}$ .

Comme $u\in\left\rbrack 0 ; +\infty \right \lbrack$ , et que $\frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3} > 0$ on a $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u} = 0 \quad {\rm ssi}\quad 5u^4({\rm e}^u-1)-u^5{\rm e}^u =0$ .

Ainsi la condition sur peut se mettre sous la forme $5-5\, {\rm e}^{-u}=u$ .
Question 6
Solution :
On trouve:

La convergence est assez rapide pour pouvoir dire que est une approximation qui répond à la question.
Question 7
Solution :
On doit trouver la relation:

$\lambda_{\rm max}\cdot T = 2,89789 \times 10^{-3}\,{\rm m}\cdot {\rm K}$ .

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Exercice 'Etoile à neutron'

Question 1
Solution :
$n=frac(1;3*pi^2*planck^3)*p_f^3$
Question 2
Aide :
Calculer d'abord la densité de particules en fonction des caractéristiques de l'étoile.

Solution :
$n=frac(frac(M;m);frac(4;3)*pi*R^3)$

$p_f=(3*pi^2)^(1/3)*planck*frac(3*M;4*pi*m*R^3)^(1/3)$
Question 3
Solution :
$epsilon=frac(p_f^5;10*m*pi^2*planck^3)$
Question 4
Solution :
$E=frac(3;10)*(frac(9*pi;4))^(2/3)*frac(planck^2*M^(5/3);R^2*m^(8/3))$
Question 5
Aide :
Trouver le rayon qui minimise l'énergie revient à résoudre $frac(d(E+E_G);d*R)=0$ .

Solution :
$R_étoile=(frac(9*pi;4))^(2/3)*frac(planck^2;G*M^(1/3)*m^(8/3))$ L'application numérique donne pour une étoile d'une masse solaire un rayon de 12km !

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Exercice 'Sphère photonique'

Question 1
Solution :
Question 2
Aide :
analiser la fonction

Solution :
La dérivée seconde est toujours positive, la fonction est donc convexe. Son minimum est atteint en lorsque la dérivé s'annule. Lorsque , il n'y a plus de solution possible donc soit
Question 3
Solution :
Ce rayon correspond à la dernière orbite possible pour des photons c'est la sphère photonique.