Fonction d'une variable réelle : généralité et continuité


Introduction

On trouvera dans ce chapitre les exercices suivants :


Continuité

Auteur: Marc Fouchard

Loi de Wien

Auteur : Marc Fouchard

La loi de Planck montre que pour un corps noir, l'énergie émise par rayonnement suivant un longueur d'onde, ne dépend que de la température de surface du corps noir. Cette loi est donnée par la relation suivante :

E(\lambda)=\frac{2 h c^2}{\lambda ^5}\cdot \frac{1}{\exp \left( \frac{h c}{k \lambda T} \right) -1}c correspond à la vitesse de la lumière dans le vide, hest la constante de Planck, kla constante de Boltzmann, \lambdala longueur d'onde à laquelle le rayonnement est émis et Tla température de surface du corps noir.

La figure ci dessous montre le comportement de E(\lambda) pour différentes températures de surface du corps noir. On peut remarquer que le maximum de la courbe se déplace sur la gauche lorsque la température augmente. Autrement dit, la longueur d'onde \lambda_{\rm max} pour laquelle le rayonnement émis est maximal diminue lorsque la température de surface augmente.

Loi de Planck application.png

Le but de cet exercice est de trouver la relation exacte entre \lambda_{\rm max} et T.

remarqueRemarque

Cette exercice repose sur la détermation du maximum d'une fonction sur un intervalle donné. L'exercice utilise aussi le théorème du point fixe dans \mathbf R, mais ce théorème peut être admis ici.


Ex : loi de Wien

Auteur: Marc Fouchard

exerciceLoi de Wien

Difficulté : ☆☆   Temps : 1h

Question 1)

Sachant que h, c et ksont des constantes strictement positives et que la température Tétant mesurée en degré Kelvin est aussi strictement positive, montrer que E(\lambda) est de classe {\mathcal C}^{\infty} et est toujours strictement positive lorsque \lambda \in \left\rbrack 0 , + \infty \right \lbrack.

Question 2)

Montrer que les limites de E(\lambda) quand \lambdatend vers 0 et vers + \inftysont toutes les deux égales à zéro.

Question 3)

En déduire qu'il doit exister un maximum pour E(\lambda) sur \left\rbrack 0 ; +\infty \right\lbrack.

Question 4)

En effectuant le changement de variable u=\frac{h c}{k \lambda T}, montrer qu'étudier le signe de \frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}revient à étudier celui de \frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}.

Question 5)

En déduire une condition sur u, de la forme f(u)=u, pour que \frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u} s'annule. On note u_S la solution de cette équation lorsqu'elle existe.

Question 6)

On peut monter par le théorème du point fixe dans {\mathbf R} que fadmet un point fixe et que la suite définie par u_{n+1} = f(u_n)converge vers ce point fixe (voir Loi de Wien et théorème du point fixe). En prenant u_0=5 trouver une valeur \tilde{u}_S qui soit une valeur approchée de u_S à 10^{-7} prêt.

Question 7)

En déduire la relation \lambda_{\rm max}\cdot T =Ac=299\,792\,458~ {\rm m}\cdot{\rm s}^{-1}, h = 6,626\,17\times 10^{-34}~{\rm J}\cdot{\rm s} etk = 1,380\,66 \times 10^{-23}~{\rm J}\cdot{\rm K}^{-1}. Cette relation correspond à la loi de Wien pour les corps noirs. Justifier l'utilisation de \tilde{u}_S dans le calcul de la constante A.


Réponses aux exercices

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Exercice 'Loi de Wien'