Géométrie

Introduction
Théorème de Thalès
- Distance Terre Lune
- Ex: Distance Terre Lune
Théorème de Pythagore
- Visibilité d'un satellite
- Ex: Visibilité d'un satellite
- Extinction atmosphérique
- Ex: Extinction atmosphérique
- Mesure de la vitesse de la lumière
- ex: Mesure de la vitesse de la lumière
Applications
- La loi des aires
- Ex: La loi des aires
- Vitesse orbitale de la Terre
- Ex: Vitesse orbitale de la Terre
- Equation de Kepler
- Ex: Equation de Kepler
Produits scalaire, vectoriel et mixte
- Dans le problème des 2-corps
- Ex : Dans le problème des 2-corps
Les coniques
- Trajectoires balistiques dans le système solaire
- Ex: Trajectoire balistique dans le système solaire
- Les solutions du problème de deux corps
- Ex : les solutions du problème de deux corps
- Masse du trou noir central de la galaxie
- Ex: Masse du trou noir central de la galaxie
Géométrie dans l'espace
- Angles solides
- Ex: angles solides
- Croissant de Lune
- Ex: Croissant de Lune
- En savoir plus: Croissant de Lune

Introduction

On trouvera dans cette partie les exercices suivants :

Calcul de la distance Terre-Lune (application du théorème de Thalès)
Visibilité d'un satellite artificiel (application du théorème de Pythagore)
Extinction atmosphérique et observation du Soleil couchant (application des théorèmes de Pythagore et Al Kashi)
Détermination historique de la vitesse de la lumière (application du théorème d'Al Kashi)
Démonstration géométrique de la loi des aires
Détermination de la vitesse orbitale de la Terre autour du Soleil (et de la distance Terre-Soleil) par l'effet Doppler-Fizeau
Etablissement géométrique de l'équation de Képler
Démonstration de la loi des aires et de l'intégrale de Laplace (application du produit vectoriel)
Trajectoire balistiques dans le système solaire (application des coniques)
Description des solutions du problème à deux corps (application des coniques)
Estimation de la masse du trou noir central à partir de la trajectoire d'une étoile sur la sphère céleste (application des coniques)
Angles solides et photométrie (géométrie dans l'espace)
Croissant de Lune vu à l'horizontal (par la géométrie sphérique)

Théorème de Thalès

Auteur: Arnaud Beck

Distance Terre Lune

Auteur: Arnaud Beck

La première estimation de la distance Terre-Lune date de la Grèce antique. Pourtant elle est d'une précision remarquable. Elle a été effectuée par Aristarque de Samos vers 250 avant JC. Celui-ci a eu l'idée d'observer une éclipse de Lune pour comparer le rayon de la Lune avec l'ombre de la Terre projetée sur la Lune. Cette méthode est facile à mettre en oeuvre et d'une grande précision mais a l'inconvénient de donner uniquement le rapport des rayons lunaire et terrestre. Pour connaître la valeur du rayon de la Lune il faut donc connaître celui de la Terre.

Dans cet exercice, on se propose de refaire les calculs d'Aristarque de Samos en se basant sur les observations qu'il avait lui-même effectuées en son temps et de retrouver le rapport entre les rayons lunaire et terrestre.

Ex: Distance Terre Lune

Auteur: Arnaud Beck

Calcul de la distance Terre-Lune

Difficulté : ☆

Introduction

Eclipse de soleil

Il est connu que pendant une éclipse de Soleil, la Lune vient se placer entre la Terre et le Soleil et cache presque exactement le Soleil aux observateurs terrestres. Cela est possible car depuis la Terre, la Lune et le Soleil ont le même rayon apparent. Soit $\beta$ le demi-angle sous lequel ces deux astres sont vus depuis la Terre (voir partie droite de la figure ci-dessous). Cet angle est connu directement par l'observation et vaut à peu près 0,25°.

Eclipse de Lune

Une éclipse de Lune se produit lorsque la Lune passe dans le cône d'ombre de la Terre éclairée par le Soleil (voir partie gauche de la figure ci-dessous). Soit $\alpha$ l'angle d'ouverture de ce cône. Sa valeur est a priori inconnue. Aristarque de Samos avait observé que la largeur de ce cône au niveau de la Lune était de 3 diamètres lunaires.

Pour une question de lisibilité de la figure, la Lune n'a pas la même échelle sur la partie droite que sur la partie gauche. Les deux phénomène étant indépendants, cela n'a pas d'incidence sur le raisonnement.

Eclipses de soleil et de lune

La partie droite de la figure représente la configuration d'une éclipse de soleil et la partie gauche la configuration d'une éclipse de Lune.

sont respectivement les positions de la Terre, de la Lune pendant une éclipse de soleil, de la Lune pendant une éclipse de Lune, et du Soleil. R_t

sont les rayons terrestre, solaire et lunaire.

Crédit : Arnaud Beck

Question 1)

Exprimer $\tan \beta$ et $\tan \alpha$ en fonction de R_t R_s et .

Question 2)

Que dire de $\alpha$ et $\beta$ si on suppose le Soleil très grand devant la Terre ?

Question 3)

Avec l'hypothèse précédente, calculer la valeur de (défini sur la figure).

Question 4)

En déduire R_l et en fonction de R_t .

Théorème de Pythagore

Auteur: Arnaud Beck, Stéphane Erard, Alain Vienne

Visibilité d'un satellite

Auteur: Alain Vienne

On propose ici une application simple et directe du thèorème de Pythagore. Il faut le considérer ici comme une révision des "années collège et lycée" de l'étudiant. Notre expérience d'enseignement montre que cela n'est pas inutile.

On considère un satellite à une certaine altitude. Il s'agit de savoir sur quelle partie de la Terre il sera visible. Cet excercice peut s'appliquer directement pour savoir d'où est visible une montagne.

L'exercice proposé dans la partie "intégrale de Rieman" est plus complet et calcule notamment la surface correspondante.

Ex: Visibilité d'un satellite

Auteur: Alain Vienne

Zone visible d'une montagne ou d'un satellite

Difficulté : ☆ Temps : 20 mn

Question 1)

Soit un satellite artificiel de hauteur , sur quelle partie de la Terre (supposée sphérique) est visible le satellite?

Question 2)

Le rayon de la Terre étant de R = 6380 km, à quelle distance maximale du point de la Terre survolé par le satellite peut-on voir le satellite d'altitude h=400 km?

Extinction atmosphérique

Auteurs: Arnaud Beck, Stéphane Erard

Quand le Soleil est au zénith, impossible de le regarder à l'oeil nu sans être ébloui voire même se brûler la rétine. Pourtant, le soir tombé, on peut admirer le Soleil couchant sans la moindre gêne.

Cela s'explique simplement par la diffusion des rayons solaires par les molécules de l'atmosphère. En effet, quand les rayons du Soleil rencontrent une molécule, une partie d'entre eux est déviée ou absorbée. Et plus le nombre de particules qu'ils rencontrent est grand, plus la proportion de rayons déviés est grande et l'énergie lumineuse reçue par l'observateur sera réduite d'autant.

Dans cet exercice, on propose de quantifier le nombre de particules rencontrées par un rayon de Soleil en fonction de sa position dans le ciel par rapport à un observateur potentiel. Le parcours atmosphérique est également calculé dans le cas général.

Ex: Extinction atmosphérique

Auteur: Arnaud Beck, Stéphane Erard

Pourquoi peut-on regarder le Soleil couchant ?

Difficulté : ☆ Temps : 1h

Le nombre de particules atmosphériques rencontrées par un rayon de Soleil le long de son parcours est appelé densité de colonne, et est égal à :

$N= \int_s n(s)ds$

où est la coordonnée le long du trajet du rayon et n(s) est la densité atmosphérique au point de coordonnée .

On peut approximer la densité atmosphérique à faible altitude (là où elle est la plus dense) par:

$n(z)=n_0\exp{\left(-\frac{z}{z_0}\right)}$

où est l'altitude (mesurée verticalement), n_0 est la densité au niveau du sol, et z_0 est l'échelle de hauteur caractéristique de l'atmosphère. Cette expression est une forme de la loi barométrique.

La figure ci-dessous représente la situation. Le centre de la Terre est au point C, l'observateur en O. Le point S représente le point de coordonnée sur le trajet du rayon de Soleil, et d'altitude . $\theta$ est la hauteur du Soleil sur l'horizon (vu par l'observateur) et R est le rayon de la Terre.

Arrivée d'un rayon de Soleil sur Terre

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Beck

Question 1)

Dans le cas du Soleil couchant ( $\theta=0$ ), donner l'expression de l'altitude en fonction de la coordonnée .

Question 2)

Donner l'expression de N_0 , la densité de colonne au Soleil couchant ( $\theta=0$ ). On remarque que la densité de particules décroît rapidement avec l'altitude et devient petite pour z > z_0 ; on peut donc tronquer l'intégrale à une altitude maximum telle que $s \ll R$ (l'atmosphère est fine par rapport à la taille de la planète).

Question 3)

Reprendre les questions 1) et 2) pour donner l'expression de $N_{\theta}$ , la densité de colonne pour une position $\theta$ quelconque du Soleil dans le ciel. En plus de l'hypothèse précédente, on évite cette fois les situations proches de l'horizon ; on a donc $\frac{s}{R}\ll \sin \theta$ .

Question 4)

Le Soleil est au zénith quand $\theta=\pi/2$ . Calculer le rapport $\frac{N_{Zenith}}{N_0}$ . Pour l'application numérique on prendra R=6400 km, z_0=8 km (échelle de hauteur de l'atmosphère terrestre).

Auteur: Stéphane Erard

Calcul de la masse d'air

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Le rapport $\frac{s}{z}$ de l'exercice précédent est appelé masse d'air en Astronomie. C'est le chemin optique parcouru dans l'atmosphère par rapport à la position zénitale. Suffisamment loin de l'horizon, on a en bonne approximation $\frac{s}{z} = 1/\sin\theta = 1/\cos\; i$ , où i est l'angle zénital (compté à partir de la verticale). Cette valeur correspond à l'approximation plan-paralléle. On cherche toujours à observer les astres sous faible masse d'air (< 2) pour limiter l'extinction atmosphérique.

On veut maintenant calculer exactement la longueur du chemin optique parcouru par les rayons lumineux dans l'atmosphère pour étudier la validité de l'approximation précédente.

Question 1)

Reprendre la question 3 de l'exercice précédent : dériver une relation entre l'altitude et la coordonnée pour une hauteur $\theta$ quelconque.

On exprimera cette relation en fonction de l'angle zénital (compté à partir de la verticale locale).

Question 2)

Résoudre en .

Question 3)

Tracer en fonction de l'angle zénital et comparer avec l'approximation usuelle en sécante ( $1/\cos i$ ).

Question 4)

Quel est le domaine de validité de l'approximation en sécante ? Quels autres phénomènes affectent la diffusion dans ces conditions ? Conclusion ?

Mesure de la vitesse de la lumière

Auteur: Stéphane Erard

Depuis l'antiquité jusqu'au XVIIe siècle, plusieurs conceptions de la lumière se sont succédées. Il était notamment impossible de dire si la lumière se propage instantanément ou à vitesse finie. En 1676, Ole Römer met en évidence une vitesse de propagation finie, dont il estime un ordre de grandeur correct à partir de l'observation des satellites de Jupiter. Cette méthode est reproduite ici.

ex: Mesure de la vitesse de la lumière

Auteur: Stéphane Erard

Mouvement des satellites de Jupiter

Difficulté : ☆ Temps : 60 min

En 1668, Gian Domenico Cassini a publié les premières éphémérides des satellites galiléens. L'intérêt de ces phénomènes était de fournir une horloge visible et consultable partout sur Terre : les débuts d'éclipse des satellites. Ceux-ci permettent de déterminer la longitude du lieu d'observation par comparaison avec une horloge locale.

Dans les années suivantes, Römer mit néanmoins en évidence des écarts importants avec ses propres observations de Io, le plus proche satellite de Jupiter, et le plus rapide. Ces écarts augmentaient (jusqu'à 11 minutes) puis diminuaient avec une périodicité d'un an.

Question 1)

On considère la situation de la Figure 1, lorsque Io est en émersion au point D (il sort de l'ombre de Jupiter). Durant un premier événement la Terre est au point L de son orbite, lors du suivant elle est en K.

Si la lumière se propage instantanément, quel intervalle sépare les deux événements ?

Crédit : Astrophysique sur Mesure

Question 2)

Même question en supposant que la lumière se déplace à la vitesse c. Remarques sur la Figure 1 ? Préciser les approximations implicites qu'on a fait.

Question 3)

Calculer en unités astronomiques la distance Terre-Jupiter à l'opposition (lorsque les deux planètes sont au plus près).

Question 4)

On effectue une première observation d'éclipse à l'opposition. A quel moment peut-on effectuer une seconde observation pour laquelle le décalage sera maximum ?

Question 5)

On observe 261 jours après l'opposition. De quels angles se sont déplacés Jupiter et la Terre sur leurs orbites depuis l'opposition ? Quel est l'angle Jupiter-Soleil-Terre à ce moment ?

Question 6)

Calculer la distance Terre-Jupiter $\Delta$ en unités astronomiques au moment de la deuxième observation.

Question 7)

Le second événement est observé avec 13,5 min de retard par rapport à un phénomène régulier. En déduire une estimation de la vitesse de la lumière.

Applications

Auteurs: Alain Vienne, S. Renner

La loi des aires

Auteur: Alain Vienne

La loi des aires dit que, dans le problème de l'interaction gravitationnelle de deux corps, l'aire balayée par le rayon vecteur est proportionnel au temps. Cette loi est aussi appelée "deuxième loi de Kepler" (voir aussi dans ce même chapitre, le lien suivant).

La loi des aires : les aires décrites par le mobile dans des temps égaux sont égales. Ainsi, lorsque l'astre s'éloigne du Soleil, sa vitesse diminue.

Crédit : Astrophysique sur Mesure

En fait, la loi des aires est plus générale que la deuxième loi de Kepler puisque qu'elle s'applique pour toute force centrale. Pour la démontrer, il faut bien-sur utiliser la loi fondamentale de la dynamique:

Principe fondamental de la dynamique

L'accélération d'un mobile est proportionnelle à la force à laquelle il est soumis.

La preuve qui est proposée en exercice utilise un modèle discret. Elle est directement inspirée d'une application isssue du livre de Daniel Perrin "Nombre, mesures et géométrie" (Ed. CASSINI). Ainsi le temps est une juxtaposition d'instants t_n de durée très courte de telle sorte que $t_{n+1}-t_n=h$ . La discrétisation revient à supposer qu'entre les instants $t_{n-1}$ et t_n , le mobile se déplace de $M_{n-1}$ à M_n avec la vistesse constante v_n . En vecteur la vistesse est donc $\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{M_{n-1}M_n}/h$ . Sur l'intervalle suivant $[t_n,t_{n+1}]$ , la vitesse est différente mais constante aussi pour cette durée: $\overrightarrow{v_{n+1}}=\overrightarrow{M_nM_{n+1}}/h$ . Ainsi à l'instant t_n l'accélération est $\overrightarrow{\gamma_n}=\frac{\overrightarrow{v_{n+1}}-\overrightarrow{v_n}}{h}$ .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Le modèle continu s'obtient facilement par passage à la limite.

La loi fondamentale de la dynamique s'écrit alors: $\overrightarrow{\gamma_n} \propto \overrightarrow{F_n}$

Les outils mathématiques nécéssaires à cette preuve se limitent alors à deux petits lemmes que Daniel Perrin nomment lemmes de découpage et que nous admettrons:

Lemme du demi-parallélogramme :

Soit (ABCD) un parallélogramme. La diagonale [AC] partage le parallélogramme en deux triangles de même aire: $\mathcal A (ABC) = \mathcal A (ACD) = \frac{1}{2} \mathcal A (ABCD)$ . Plus généralement, pout tout point de [CD] , on a : $\mathcal A (ARB) = \frac{1}{2} \mathcal A (ABCD)$ .

Lemme de la médiane :

Soit (ABC) un triangle et le milieu de [BC] . La médiane [AA'] partage le triangle en deux triangles de même aire: $\mathcal A (ABA') = \mathcal A (AA'C)$ .

Ex: La loi des aires

Auteur: Alain Vienne

La loi des aires

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Introduction

Le mobile M_n est soumis à une force centrale, c'est-à-dire dirigée vers un point fixe (le Soleil par exemple si la masse de M_n est négligeable par rapport à celle du Soleil): la force est $\overrightarrow{F_n}=k_n \overrightarrow{OM_n}$ .

Remarque

Il n'y a aucune hypothèse nécessaire sur le réel k_n même si on sait que pour la loi de Newton ce scalaire est négatif et inversement proportionnel au carré de la distance OM_n

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Question 1)

Montrer qu'à tout instant (c'est-à-dire pour tout entier ), on a: $\mathcal A (0M_{n-1}M_n) = \mathcal A (OM_nM_{n+1})$

Cela signifie bien que l'aire balayé par le rayon vecteur $\overrightarrow{OM_n}$ est proportionnel au temps parcouru.

Vitesse orbitale de la Terre

Auteur: S. Renner

Date de création: 2 mars 2009

Introduction

L'effet Doppler-Fizeau représente le décalage en fréquence d'une onde lumineuse entre les mesures à l'émission et à la réception, lorsque la distance entre un émetteur et un récepteur varie au cours du temps.

Par exemple, lors du passage d'un camion de pompier muni d'une sirène, c'est l'effet Doppler qui se manifeste dans la perception de la hauteur du son (plus aigu lorsque le véhicule se rapproche, plus grave lorsqu'il s'éloigne).

Ce phénomène est particulièrement important en astronomie car il permet de mesurer les vitesses (d'approche ou d'éloignement) des objets célestes.

On observe Arcturus, troisième étoile la plus brillante du ciel (dans la constellation du Bouvier), à deux dates t_1 et t_2 espacées de 6 mois.

La latitude par rapport au plan de l'orbite de la Terre est $b_a=30.75^_\circ$ , et la longitude par rapport à une direction fixe $\gamma$ est $l_a=204.25^\circ$ . A l'instant t_1 la longitude de la Terre est $l_1=114.25^\circ$ , et $l_2=294.25^\circ$ à l'instant t_2 . Voir la figure ci-dessous pour les conditions d'observation.

Situation de l'observation d'Arcturus. Voir texte pour la valeur des angles.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

On effectue aux dates t_1 et t_2 un spectre de la lumière de l'étoile. L'étude des raies d'absorption permet de remarquer qu'une raie d'absorption du fer, qui normalement se situe à $\lambda_0=446.165$ nm, est mesurée $\lambda_1=446.123$ nm sur le spectre obtenu à la date t_1 , et $\lambda_2=446.199$ nm sur celui obtenu à la date t_2 .

L'objectif est d'en déduire la vitesse orbitale de la Terre autour du Soleil, ainsi que la distance moyenne Terre-Soleil.

Ex: Vitesse orbitale de la Terre

Auteur: S. Renner

Vitesse orbitale de la Terre

Difficulté : ☆ Temps : 1h30

On fait l'hypothèse que l'orbite de la Terre est circulaire est que celle-ci est décrite avec une vitesse uniforme .

Question 1)

On note V_A la vitesse radiale d'Arcturus par rapport au Soleil (supposée identique aux instants t_1 et t_2 ). Ecrire en fonction de , V_A et b_a la vitesse radiale d'Arcturus par rapport à l'observateur à l'instant t_1 (on notera cette vitesse $v_{r_1}$ ), ainsi qu'à l'instant t_2 (notée $v_{r_2}$ ).

Question 2)

En appliquant la formule de l'effet Doppler-Fizeau aux instants t_1 et t_2 pour la longueur d'onde de référence $\lambda_0$ , écrire les expressions de $v_{r_1}$ et $v_{r_2}$ .

Question 3)

En déduire l'expression de et V_A en fonction des longueurs d'onde $\lambda_0$ , $\lambda_1$ et $\lambda_2$ . Calculer leur valeur numériquement en km.s $^{-1}$ .

Question 4)

Calculer la distance Terre-Soleil en km sachant que la période de révolution est P=365.2563 jours.

Equation de Kepler

Auteur: S. Renner

Date de création: 16 mai 2013

On reprend les résultats obtenus dans l'exercice sur la résolution du problème des 2 corps. Le but ici est d'établir l'équation de Kepler à l'aide de la géométrie essentiellement, plutôt que par le calcul. L'équation de Kepler ( $M=E-e \sin E$ ) est importante car elle fait le lien entre la position de l'objet sur son orbite (voir la figure ci-dessous) et le temps, ou plus précisément l'anomalie moyenne $M= \frac{2 \pi}{T} (t - \tau)$ , avec la période orbitale, le temps et $\tau$ l'instant de passage au péricentre.

Les trois anomalies

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou Fouchard

Ex: Equation de Kepler

Auteur: S. Renner

Equation de Kepler

Difficulté : ☆ Temps : 1h

Trajectoire elliptique d'un corps

(de foyer

, péricentre

, demi-grand axe

, excentricité

), cercle principal, anomalie excentrique

et vraie

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

Question 1)

Exprimer l'aire délimitée par les points , , en fonction de , , .

Question 2)

Calculer l'aire délimitée par les points , , .

Question 3)

En déduire l'équation de Kepler $M=E-e \sin E$ .

Produits scalaire, vectoriel et mixte

Auteur: Alain Vienne

Dans le problème des 2-corps

Auteur: Alain Vienne

Quand on formule le problème des 2-corps, on arrive au problème de Képler, c'est-à-dire à l'équation différentielle vectorielle suivante:

$\frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} = - \mu \frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$

$\mu$ est une constante réelle positive et $\ovserrightarrow{r} = \overrightarrow{OM} \in \mathbb{R}^3$ . est un point fixe et on étudie le mouvement de .

Les deux exercices proposés donnent la loi des aires et l'intégrale de Laplace.

En fait, le premier exercice aura 2 conséquences: la première est que le mouvement est plan et la deuxième que la loi du mouvement est la loi des aires proprement dite:

La loi des aires : les aires décrites par le mobile dans des temps égaux sont égales. Ainsi, lorsque l'astre s'éloigne du Soleil, sa vitesse diminue.

Crédit : Astrophysique sur Mesure

Ex : Dans le problème des 2-corps

Auteur: Alain Vienne

La loi des aires

Difficulté : ☆ Temps : 20mn

Introduction

La loi des aires est très facile à obtenir avec le produit vectoriel. Sans le produit vectoriel, on peut aller voir cet exercice.

Question 1)

Montrer que dans le problème képlérien, le moment cinétique:

$\overrightarrow{G} = \overrightarrow{r} \wedge \frac{\overrightarrow{r}}{dt}$

est invariant.

Question 2)

Montrer que le mouvement de se fait dans un plan passant par le point et orthogonal à $\overrightarrow{G}$ .

Question 3)

En utilisant un élément d'aire parcouru par $\overrightarrow{r}$ pendant l'élément de temps , montrer la loi des aires proprement dite: L'aire balayée par unité de temps est constante.

Auteur: Alain Vienne

Intégrale de Laplace

Difficulté : ☆ Temps : 20mn

Question 1)

Montrer l'expression suivante:

$\frac{d}{dt} (\frac{\overrightarrow{r}}{dt}\wedge \overrightarrow{G}) = \mu \frac{d}{dt} ( \frac{\overrightarrow{r}}{r})$

Question 2)

Déduire de l'égalité précédente une expression qui est constante pendant le mouvement (intégrale de Laplace).

Les coniques

Auteurs: Marc Fouchard, Alain Vienne

Trajectoires balistiques dans le système solaire

Auteur : Alain Vienne

On considère une sonde spatiale qui se déplace dans le système solaire. On suppose qu'elle ne subit que l'attraction gravitationnelle du Soleil . Sous cette hypothèse, le mouvement de cette sonde autour du Soleil est un mouvement képlérien c'est-à-dire que la trajectoire est une conique dont le Soleil occupe l'un des foyers.

Les coniques sont des ellipses (comme le dit la première loi de Képler) ou des hyperboles ou des paraboles.

Définition

Une conique est l'ensemble des points dont la somme ou la différence, des distances à 2 points fixes est constante. Ces 2 points sont appelés foyers et la distance constante est appelée grand axe

On ne considère pas ici le cas des paraboles qui est le cas limite entre les ellipses et les hyperboles. Une parabole peut être vue comme une ellipse dont l'un des foyer est rejeté à l'infini, ou symétriquement, comme une hyperbole dont l'un des foyers est rejeté à l'infini.

L'exercice proposé considère 2 points et du système solaire avec plus près de que . On peut considérer que est la Terre et que est Jupiter. Cela permet de fixer les idées mais il n'y a aucune obligation formelle à cela. On fait partir la sonde du point pour qu'elle arrive au point . étant l'un des foyers, on note le second foyer de la conique $(\mathcal{C})$ qui définit la trajectoire.

Ex: Trajectoire balistique dans le système solaire

Auteur: Alain Vienne

Trajectoire balistique dans le système solaire

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h30

Question 1)

Une conique est défine par $\mathcal{C}_{F,F',a}=\{ M \textrm{ tel que } |MF \pm MF'|=2a \}$ . Préciser le cas d'une ellipse et le cas d'une hyperbole. Pour ce dernier cas, préciser aussi comment sont distinguées les deux branches de l'hyperbole.

Question 2)

Montrer que le second foyer se trouve sur une hyperbole $(\mathcal{H})$ de foyers et passant par

L'hyperbole des deuxièmes foyers

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Question 3)

Donner la nature de la conique $(\mathcal{C})$ suivant la branche de $(\mathcal{H})$ sur laquelle se trouve .

On pose S_1 le point de $(\mathcal{H})$ symétrique de par rapport à l'axe focal.

Question 4)

Montrer qu'aucune trajectoire physique n'est possible quand se trouve entre et S_1 .

Question 5)

On fixe sur $(\mathcal{H})$ , exprimer le demi-grand axe et l'excentricité de la conique $(\mathcal{C})$ en fonction des distances entre les points , et

Question 6)

Indiquer ce que devient la conique $(\mathcal{C})$ quand

tend vers
tend vers
tend vers l'infini sur la même branche

Les solutions du problème de deux corps

Auteur: Marc Fouchard

L'exercice de ce lien montre que la solution générale du problème de deux corps est de la forme:

$r=\frac{p}{1+e\cos(\theta-\omega)}$

où est la distance entre un corps C_1 se trouvant à l'origine et le second corps C_2 , et $\theta$ l'angle entre une direction de référence et le vecteur $\overrightarrow{C_1C_2}$ et un nombre réel supérieur ou égale à zéro et un nombre réel strictement supérieur à zéro.

Solutions du problème de 2 corps

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Benoît Mosser

Le but de cet exercice et d'étudier les diférentes familles de solution de cette équation.

Ex : les solutions du problème de deux corps

Auteur: Marc Fouchard

Les solutions du problème de deux corps

Difficulté : ☆ Temps : 1 h

Question 1)

Montrer que si e=0 la solution est un cercle dont on déterminera le rayon.

Question 2)

Montrer que dans tous les autres cas, il existe un minimum pour que l'on déterminera et que l'on notera . La position pour laquelle cette distance est atteinte s'appelle le péricentre. A quoi correspond $\omega$ ? Quand est-il pour le maximum de ? La position pour laquelle cette distance, notée , est atteinte s'appelle apocentre lorsqu'elle existe.

Question 3)

On se place maintenant dans un repère orthonormé direct $(C_1,\hat{\mathbf x},\hat{\mathbf y})$ où l'axe des abscisses $\hat{\mathbf x}$ est dirigé vers le pericentre. Pour un point du plan on note la distance C_1M et $\alpha$ l'angle entre l'axe des abscisses et le vecteur $\overrightarrow{C_1M}$ . Ecrire l'équation de la solution générale du problème de 2 corps en utilisant les coordonnées (x,y) de dans le repère $(C_1,\hat{\mathbf x},\hat{\mathbf y})$ .On remarquera que l'équation obtenue est léquation générale d'une conique.

Question 4)

Montrer que si e=1 on obtient l'équation d'une parabole dont on déterminera les coordonnées du péricentre.

Question 5)

Montrer que si 0<e<1 on obtient l'équation d'une ellipse dont on déterminera le centre, le demi-grand axe et le demi-petit axe.

Question 6)

Montrer que si e>1 on obtient l'équation d'une hyperbole dont on déterminera le péricentre et les asymptotes.

Masse du trou noir central de la galaxie

Auteur : Alain Vienne

On dispose d'un tracé de l'orbite apparente d'une étoile (appelée S2) autour d'un point (SgrA) localisé par diverses méthodes comme étant au centre de notre Galaxie. Cette orbite est une ellipse qui diffère de l'orbite réelle car elle est vue en projection sur la sphère céleste. Le plan de la figure ci-dessous est le plan perpendiculaire à la ligne de visée: le plan de projection On se propose de trouver les caractéristiques géométriques de l'ellipse réelle, qui permettent finalement de calculer la masse centrale: sa valeur n'est compatible qu'avec celle d'un trou noir. On utilise la troisième loi de képler qui relie cette masse, la période et le demi-grand axe.

Orbite apparente d'une étoile autour de SgrA

Crédit : European Southern Observatory / ESO

Ex: Masse du trou noir central de la galaxie

Auteur: Alain Vienne

Masse du trou noir central de la galaxie

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h30

Question 1)

Localiser le centre de l'ellipse projetée

Question 2)

Tracer le grand axe projeté A_1 A_2

Question 3)

Calculer l'excentricité e=CF/CA_1 , puis $\sqrt{1-e^2}$ .

Question 4)

Tracer le diamètre conjugué B_1 B_2 de A_1 A_2 (donc le projeté du petit axe).

Question 5)

Tracer point par point le projeté du cercle principal, par l'homothétie de l'ellipse projetée à B_1 B_2 et de rapport $1 / \sqrt{1-e^2}$ .

La définition du cercle principal est donc:

Cercle principal d'une ellipse: Cercle de rayon a (demi grand axe de l'ellipse) de centre C

Question 6)

Le projeté du cercle principal est une ellipse dont le grand axe est la ligne des noeuds (intersection du plan de l'orbite et du plan de projection).
La longueur de ce grand axe donne la valeur du grand axe de l'orbite réelle.
Le petit axe a pour valeur $2 a \cos i$ où est l'inclinaison du plan de l'orbite avec le plan de projection.

Mesurer sur ce grand axe, puis convertir cette valeur en UA (unité astronomique) connaissant l'échelle de la figure (longueur de la "flèche" correspond à 0,05 seconde de degré) et la distance du Soleil au centre de la Galaxie (26 000 année-lumière)

Question 7)

Estimer la période du mouvement en utilisant les dates d'observations indiquées sur le tracé.

Question 8)

En déduire la masse présente au foyer SgrA.

Géométrie dans l'espace

Auteurs: Stéphane Erard, Alain Vienne

Angles solides

On cherche à caractériser la partie de l'espace délimitée par un cône de sommet O et de demi-ouverture $\Theta$ . On considère la calotte sphérique de rayon R et d'aire S(R) délimitée par ce cône. La quantité

$\Omega = \frac{S}{R^2}$

est indépendante de R. Elle mesure l'angle solide défini par le cône.

Cette quantité sans dimension est mesurée en stéradians (sr) - voir la définition des unités physiques.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Ex: angles solides

Angles solides

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Question 1)

Quel est l'angle solide sous-tendu par un demi-espace ? Par l'espace complet ?

Question 2)

Quel est l'angle solide sous-tendu par une surface quelconque, de quoi dépend-il ? Ecrire l'application à une surface plane élémentaire dS inclinée sur la ligne de visée.

Question 3)

Donner l'expression différentielle de l'angle solide élémentaire en coordonnées sphériques.

Crédit : Sharayanan/GNU Free Documentation License

Question 4)

On considère maintenant une couronne circulaire élémentaire de demi-ouverture $\alpha$ . Donner l'expression de l'angle solide en fonction de cet angle. En déduire l'angle solide sous-tendu par une calotte de demi-ouverture $\Theta$ .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Question 5)

Que devient cette valeur si l'angle $\Theta$ est petit ? Estimer l'angle solide sous lequel on voit le Soleil et la Lune depuis la Terre.

Photométrie

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Question 1)

On observe une surface plane à l'aide d'une caméra, dans la configuration de la figure ci-dessous : le détecteur de la caméra a une surface $\sigma$ , on observe la source de surface S sous un angle e à la distance $\Delta$ . Les dimensions sont telles que les angles solides considérés sont petits ( $S \ll \Delta^2$ ).

Ecrire l'angle solide sous lequel le détecteur voit la source. Ecrire l'angle solide sous lequel la source voit la surface collectrice. Dériver une relation entre les deux angles solides.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Question 2)

On note W' la puissance lumineuse diffusée par la source par unité d'angle solide. L'éclairement (ou irradiance) est la puissance recueillie par unité de surface de détecteur en provenance de la source.

Ecrire l'éclairement E en fonction de la puissance totale reçue par le détecteur (dW). Quelle est l'unité de mesure de cette quantité dans le Système International ? De quoi dépend-elle en général ?

Question 3)

La luminance (ou intensité spécifique) d'une source est la puissance lumineuse émise ou diffusée dans un angle solide élémentaire par unité de surface apparente.

Ecrire la luminance en fonction de dW. Dans quelle unité SI se mesure cette quantité ? De quoi dépend-elle en général ?

Question 4)

Ecrire l'éclairement reçu par le détecteur en fonction de la luminance de la source et de la distance. Que signifie cette expression si la source est ponctuelle (c'est-à-dire si elle ne remplit pas le champ de l'instrument) et dans le cas contraire ?

Intégrales angulaires

On trouvera ici des exercices d'intégration angulaire sur les quantités photométriques.

Croissant de Lune

Auteur: Alain Vienne (et le groupe IREM de Lille1)

On se propose d'établir les conditions pour que le croissant de Lune soit vu d'un lieu de la Terre comme une gondole:

Croissant de Lune vu horizontalement (comme une "gondole").

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Nous allons étudier ce problème par la trigonométrie sphérique qui permet de voir facilement les choses. La notion de sphère céleste est issue du fait que, à un lieu donné et à une date donnée, l'observateur n'a pas accès à la distance entre lui et l'objet céleste. Cet observateur peut alors considérer que tous ces objets sont à une même distance (arbitraire). Cela revient à dire que l'observateur n'appréhende que les directions issues de sa position. Or l'ensemble de ces directions s'identifie à une sphère centrée sur ce point.

Aucune formule n'est nécessaire pour résoudre l'exercice suivant. Il suffit de connaitre les bases. Soit:

On considère une sphère de rayon 1.
L'intersection de tout plan passant son centre avec la sphère est un grand cercle. Les grands cercles sont les géodésiques de la sphère.
On s'oriente sur la sphère par la donnée un grand cercle orienté (ou de manière équivalente par un point appelé pôle qui est situé à 90° du grand cercle origine) et par une origine sur ce grand cercle.

Ex: Croissant de Lune

Auteur: Alain Vienne

Exercice

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h

Question 1)

Montrer que la condition d'horizontalité du croissant de Lune nécessite que la Lune et le Soleil aient le même azimut.

Question 2)

La condition de même azimut est donc une condition nécessaire. Réciproquement, si cette condition est réalisée, préciser les conditions sur les hauteurs du Soleil et de la Lune pour que le croissant soit vu comme une "gondole" et non à l'envers (un "D" renversé).

La hauteur est l'angle sur le vertical (cercle de même azimut). Il est compté de -90° à 90° par rapport à l'horizon.

Question 3)

Cette figure donne, pour chaque position de la Lune sur le même vertical que le Soleil (quand la condition est réalisée), l'aspect de celle-ci.

Phases de la Lune sous la condition de même azimut. Figure dans le vertical de la Lune (et du Soleil).

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

La position du zénith sur le cercle est indicatif. Elle correspond au cas de la figure donnée en solution de la question précédente. Bien-sur, si le zénith est ailleurs sur le cercle, cela change les conditions de lever/coucher du Soleil et de la Lune. Faites d'autres figures en changeant le zénith de place (cela déplace aussi l'horizon).

Question 4)

En supposant que la Lune est toujours sur l'écliptique, donner les seuls endroits de la Terre où il est possible de voir le croissant de Lune horizontal.

En savoir plus: Croissant de Lune

Auteur: Alain Vienne (et le groupe IREM de Lille1)

Il est peut-être plus facile de voir les 2 cas (coplanaire et non-coplanaire) en raisonnant sur la sphère des fixes. Précédemment, on regardait le mouvement diurne d'un point de la sphère des fixes (le pôle de l'écliptique) sur la sphère locale (de pôle ). Ici, nous allons faire la démarche réciproque: on regarde le mouvement diurne de sur la sphère des fixes. On utilise la condition suivante:

$L\in\textrm{\,\, grand cercle\,\, }(ZS)\,\,\,\,\textrm{(vertical du Soleil)}$

En effet, nous avons vu que c'est la condition pour voir la Lune comme une gondole (ou tout au moins, la Lune à l'horizontal).

figures_croissantlune/croissant_zenith_sphere_fixes.png

Petit cercle des zéniths sur la sphère des fixes durant le mouvement diurne. Cas d'une zone tempérée (à gauche) et d'une zone intertropicale (à droite). Cas de la Lune sur l'écliptique (en haut) et cas de la Lune de part et d'autre de l'écliptique à $5^{\circ}$ au plus (en bas).

Crédit : Alain Vienne / IREM de Lille

Sur une sphère des fixes où on a placé l'équateur, l'écliptique et leur pôle, et pour une latitude $\phi$ donnée, on trace le petit cercle correspondant aux positions prises par le zénith au cours du mouvement diurne (petit cercle des ). A chacune de ces positions de , il correspond un seul grand cercle passant par le Soleil: c'est le vertical du Soleil. On obtient ainsi un "faisceau" de grands cercles dont les sommets sont le Soleil et le point diamétralement opposé. Sur la figure, pour ne pas encombrer celle-ci, nous en avons tracé qu'une partie puisque qu'on les a arrétés au niveau du petit cercle des. En réalité, ces grands cercles sont bien complets de sorte que toute la calotte sphérique se situant au dessus du petit cercle des est parcouru par ces grands cercles. Ainsi la sphère est divisée en deux parties: celle contenant chaque vertical du Soleil et l'autre.

La Lune doit se trouver dans la première partie (les "faisceaux" de la figure). La frontière entre ces deux parties correspond au vertical du Soleil qui est tangent au petit cercle des .

Cas de la Lune sur l'écliptique: Ce cas correspond aux 2 dessins du haut de la figure. En dehors de la zone intertropicale (à gauche), l'écliptique coupe les "faisceaux" qu'en ses sommets: au Soleil et au point diamétralement opposé. Si on impose à la Lune d'être sur l'écliptique, il n'y a qu'en ces points que la condition est réalisée (éclipses). Par contre, dans la zone intertropicale, tout l'écliptique est contenu dans les "faisceaux". Ainsi la condition est réalisée deux fois par jour comme on l'a vu dans précédemment.

Cas où la Lune est de part et d'autre de l'écliptique:

L'orbite de la Lune est inclinée d'environ $5^{\circ}$ sur l'écliptique. Son noeud qui permettrait de positionner le grand cercle correspondant à son orbite, a un mouvement de rétrograde de $-19^{\circ},34/$ an (période: 18,6 ans). Pour ne pas rentrer dans trop de détails superflus à la compréhension, nous allons simplement considérer que la Lune est de part et d'autre de l'écliptique sur une bande large de $10^{\circ}$ . Bien-sur, il ne faut pas oublier que la Lune parcourt en fait un grand cercle contenu dans cette bande: la position en longitude dans cette bande dépend de la date dans la lunaison et la position "verticale" dans cette bande dépend de la position du noeud de l'orbite lunaire.

On remarque ainsi qu'au voisinage de la pleine Lune ou au voisinage de la nouvelle Lune, la condition de "Lune horizontale" est possible partout sur la Terre. Mais on se rend bien compte que, loin des tropiques, la zone est étroite. Elle s'agrandit au fur et à mesure que le lieu considéré s'approche du tropique.

Dans le cas d'un lieu dans la zone intertropicale, la possibilité d'une telle condition est grande. La probabilité de réalisation l'est donc aussi. Cependant cette probabilité n'est pas 1, car on voit apparaitre une petite zone de la bande lunaire qui croise la partie où il n'y a pas de vertical du Soleil (en dehors des "faisceaux"). Cette zone est petite et proche du Soleil. Ainsi même dans la zone intertropicale, il peut y avoir des jours où la Lune n'est pas vue à l'horizontal. Cela se produit pour des positions particulières de l'orbite lunaire et pour des dates proches de la pleine Lune ou de la nouvelle Lune.

Réponses aux exercices

pages_thales/exo-terre-lune.html

Exercice 'Calcul de la distance Terre-Lune'

Question 1
Aide :
Pour répondre à cette question, il faut penser à se placer dans les triangles rectangles appropriés et utiliser le théorème de Thalès pour exprimer en fonction de , et .

Solution :
Les relations de trigonométrie classique donnent:

$\tan \alpha = \frac{R_s}{OS}$

$\tan \beta = \frac{R_s}{TS}$

Le théorème de Thalès donne $\frac{OT}{OS}=\frac{R_t}{R_s}$ or . On a donc $OS=\frac{TS\times R_s}{R_s-R_t}$ et $\tan \alpha=\frac{R_s-R_t}{TS}$
Question 2
Aide :
Il s'agit de trouver un équivalent de $\tan \alpha$ quand $R_s \gg R_t$

Solution :
$\tan \alpha=\frac{R_s-R_t}{TS} \sim \frac{R_s}{TS}=\tan \beta$
Question 3
Aide :
Penser à exprimer $\tan \beta$ en fonction de et .

Solution :
$\gamma$ et $\alpha$ sont alternes-internes et donc égaux.

Une simple relation de trigonométrie dans le bon triangle rectangle nous donne ensuite la relation $\tan \gamma =\frac{h}{TL}$ . Par ailleurs, $\tan \beta=\frac{R_l}{TL}$ et $\tan \beta = \tan \alpha$ d'après la question précédente.

On a donc au final

$\tan \gamma = \tan \alpha=\tan \beta =\frac{h}{TL}=\frac{Rl}{TL}$

Et donc
Question 4
Aide :
Le quadrilatère de longueur et de hauteur est un rectangle.

Solution :
On se place dans le rectangle de longueur et de hauteur . Le côté opposé à est de longueur d'après les observations d'Aristarque de Samos. Et d'après nos calculs précédents . En égalisant les deux hauteurs du rectangle on obtient donc $R_l=\frac{R_t}{4}$ .

Par ailleurs, connaissant la dimension angulaire du Soleil on trouve : $TL=\frac{R_l}{\tan \beta}\simeq229R_l\simeq 57 R_t$

Les mesures modernes donnent $\frac{R_t}{R_l} = 3,67$ et $TL \simeq 59,6 R_t$

pages_pythagore/exo-visibilite-satellite.html

Exercice 'Zone visible d'une montagne ou d'un satellite'

Question 1
Aide :
Faites un dessin en y plaçant les points (centre de la Terre), (satellite) et (un lieu de la Terre où est tangent à la Terre. On note le rayon de la Terre.

Solution :
Ce sont tous les points de la Terre dont la séparation angulaire (dans la direction Nord-Sud, cela correpond à la différence en latitude) est plus petite que $\theta = \arctan (\sqrt {2\frac{h}{R}+(\frac{h}{R})^2})$ . On peut écrire aussi $\tan \theta = \frac{\sqrt{2 R h + h^2}}{R}$
Question 2
Solution :
$\theta = 0,3452$ radians. La distance maximale est $\theta R$ , soit km.

pages_pythagore/exo-pythagore.html

Exercice 'Pourquoi peut-on regarder le Soleil couchant ?'

Question 1
Solution :
Dans le triangle rectangle COS, le théorème de Pythagore donne:

soit

$z=\sqrt{R^2+s^2}-R$
Question 2
Aide :
Aide au calcul :

$\int_0^\infty \exp{(-x^2)dx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Cette intégrale est une des intégrales gaussiennes calculées ailleurs.

Solution :
On peut développer l'expression précédente de au premier ordre :

$z=\frac{s^2}{2R}$

La densité de colonne vaut alors :

$N_0=\int_0^\infty\exp{\left(-\frac{s^2}{2Rz_0}\right)ds}=n_0\sqrt{\frac{\pi z_0R}{2}}$
Question 3
Aide :
Dans ce cas, on utilise le théorème de Pythagore généralisé (ou loi des cosinus)

Solution :
La loi des cosinus donne :

$(z+R)^2= R^2+s^2-2sR\cos(\theta+\pi/2)$

$z=R\left( 1+\frac{2s\sin{\theta}}{R}+\frac{s^2}{R^2}\right)^{1/2}-R \simeq s\sin{\theta}$

$N_{\theta}=\int_0^{\infty}n_0\exp{\left(-\frac{s\sin{\theta}}{z_0}}\right)ds}=\frac{z_0n_0}{\sin{\theta}}$
Question 4
Solution :
$\frac{N_{Zenith}}{N_0}=\sqrt{\frac{\pi R}{2z_0}} \simeq 0.03$

Quand le Soleil est au zénith, les rayons ne rencontrent que 3% des molécules qu'ils rencontrent lorsque le Soleil est sur le point de se coucher, et la différence de diffusion est en proportion. Cela explique l'énorme différence d'énergie lumineuse perçue, et qu'on puisse regarder le Soleil couchant à l'œil nu.

pages_pythagore/exo-pythagore.html

Exercice 'Calcul de la masse d'air'

Question 1
Solution :
On a comme précédemment :

$(z+R)^2=R^2 + s^2 - 2sR\cos\; (\pi/2 +\theta)$

Soit

$(z+R)^2=R^2 + s^2 + 2sR\cos i$
Question 2
Solution :
On a une équation de second degré :

$s^2 + 2sR\cos i - (z+R)^2 + R^2 = 0$

dont le discriminant est :

$\Delta = 4R^2 cos^2 i + 4(2zR +z^2)$

et les solutions :

$s_\pm = \frac{-2R\cos i \pm \sqrt\Delta}{2}$

Seule la solution positive représente une distance :

$s_+ = \sqrt{R^2 cos^2 i + 2zR + z^2}-R\cos i$
Question 3
Solution :

Masse d'air

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

L'approximation en sécante diverge près de l'horizon, où elle ne représente plus une solution physique.

Pour convertir les masses d'air en densité de colonne, il faut fixer une valeur pour la masse d'air 1. On prend naturellement l'échelle de hauteur fournie par la loi barométrique, ou dérivée d'une mesure de pression locale.
Question 4
Solution :
On voit que l'approximation par la sécante est très bonne jusqu'à des distances zénitales au-delà de 80° — les télescopes professionnels refusent de pointer si bas sur l'horizon.

Avec l'augmentation de la masse d'air, les rayons lumineux sont non seulement atténués, mais également déviés - on peut voir dans certaines conditions des objets situés sous l'horizon géométrique. L'intérêt de l'expression dérivée ci-dessus est donc limité, la correction optique de réfraction étant en pratique plus importante.

pages_pythagore/exo-vitesse-lumiere.html

Exercice 'Mouvement des satellites de Jupiter'

Question 1
Solution :
Si la lumière se propage instantanément les événements sont observés à intervalles réguliers, qui ne dépendent que du mouvement de Io. Cet intervalle est simplement la période de révolution de Io autour de Jupiter (T ~ 42h 28 min).
Question 2
Solution :
Si la lumière se propage à vitesse finie, le premier événement est observé avec un décalage $t_0 = \bar{DL} / c$ , le second avec $t_1 = \bar{DK} / c$ . L'intervalle entre les observations est donc $T^\prime = T + (t_1-t_0)$ . Attention, en général les points D, L et K ne sont pas alignés comme sur la figure, et $c(t_1 - t_0) \neq \bar{LK}$ .

On a considéré implicitement que tous les mouvements de révolution s'effectuent dans le même plan, ce qui n'est pas tout à fait vrai. Cette hypothèse conditionnera la précision du résultat sur l'estimation de c.
Question 3
Solution :
On appelle la distance Soleil-Jupiter mesurée en unités astronomiques, supposée constante. La distance Terre-Jupiter à l'opposition est alors $\Delta_0 = D_J-1$ ua.
Question 4
Solution :
Lors de la conjonction (lorsque les deux planètes sont éloignées au maximum) l'observation est impossible : le Soleil s'interpose devant Jupiter. La seconde observation s'effectue donc soit avant soit après la conjonction, lorsque l'écart angulaire entre Jupiter et le Soleil est suffisamment grand pour observer de nouveau les satellites (typiquement ~ 20°).
Question 5
Aide :
On donne la période sidérale de Jupiter, 4335,35 jours, bien connue à l'époque.

Solution :
En 261 jours, la Terre s'est déplacée d'un angle $\alpha_T = 261/365,26 *360 = 257,24^\circ$

Jupiter s'est déplacée de $\alpha_J = 261/4335,35 *360 = 21,67 ^\circ$

L'angle Jupiter-Soleil-Terre est donc à ce moment $\alpha= 235,57 ^\circ$
Question 6
Aide :
La distance Soleil-Jupiter est de 5,2 unités astronomiques.

Solution :
On considère le triangle JST. La loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi) donne :

$\Delta^2 = D_J^2 + D_T^2 - 2D_J\times D_T\times cos(2\pi-\alpha)$

Soit $\Delta = 5,82\; ua$
Question 7
Solution :
La différence de trajet est $\Delta - \Delta_0 = 1,62\; ua$

On a donc $c = \frac{1,62 \times 149,6\;10^6}{13,5 \times 60} \sim 300000\ km\;s^{-1}$

L'unité astronomique (distance Terre-Soleil) et la distance Jupiter-Soleil étaient les plus gros facteurs d'incertitude à l'époque. Römer semble avoir trouvé une valeur de $213 000\ km\;s^{-1}$ (soit une erreur de 30%, mais un ordre de grandeur correct), et pensait surtout avoir démontré que la lumière se propage à vitesse finie.

Cette étude peut être considérée comme le premier exemple historique d'effet Doppler-Fizeau, c'est-à-dire la variation de période apparente d'un phénomène régulier avec le déplacement de l'observateur.

pages_applications/exo-loi-aires-geo.html

Exercice 'La loi des aires'

Question 1
Aide :
Expliciter les vitesses $\overrightarrow{v_n}$ et $\overrightarrow{v_{n+1}}$ (vitesses du mobile aux temps et $t_{n+1}$ ) et considérer le point $M'_{n+1}$ qu'occuperait le mobile au temps $t_{n+1}$ si le mouvement était uniforme.

Aide :
Lemme de la médiane dans le triangle $(0M_{n-1}M'_{n+1})$ pour avoir $\mathcal A (OM_{n-1}M_n) = \mathcal A (OM_nM'_{n+1})$

Aide :
Prouver d'abord que $(M'_{n+1}M_{n+1})//(0M_n)$ , puis prendre de telle manière que $(OM_nO'M_{n+1})$ soit un parallélogramme et enfin lui appliquer le lemme correspondant avec $R=M_{n+1}$ puis avec $R=M'_{n+1}$ .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

pages_applications/exo-vit-orb-terre.html

Exercice 'Vitesse orbitale de la Terre'

Question 1
Solution :
La direction de l'étoile n'est pas contenue dans le plan de l'orbite de la Terre, il faut donc tenir compte de sa latitude écliptique (angle entre la direction de l'étoile et le plan de l'écliptique).

Remarque

Par rapport à la distance Terre-Soleil, l'étoile E est située à l'infini, donc la direction Terre-étoile TE est parallèle à la direction Soleil-étoile SE. Même chose pour les projections sur l'écliptique: Te est parallèle à Se.

Direction de l'étoile et vitesse de la Terre à l'instant . Ainsi la vitesse radiale mesurée, due au seul mouvement de la Terre, a pour module $V \cos b_a$ .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

D'après la loi de composition des vitesses, on a:
- à la date , $v_{r_1}= V_A - V \cos b_a$
- à la date , $v_{r_2}= V_A +V \cos b_a$
Le choix des signes résulte de la constatation suivante:
- $V \cos b_a > 0$
- $\lambda_1 - \lambda_0 < 0$ , donc l'étoile et l'observateur se rapprochent (bleuissement des raies) à l'instant et $v_{r_1}<0$
- $\lambda_2 - \lambda_0 > 0$ , donc l'étoile et l'observateur s'éloignent (rougissement des raies) à l'instant et $v_{r_2}>0$
Question 2
Solution :
$\frac{\lambda_1 - \lambda_0}{\lambda_0}= \frac{v_{r_1}}{c}$

$\frac{\lambda_2 - \lambda_0}{\lambda_0}= \frac{v_{r_2}}{c}$
Question 3
Solution :
$\frac{\lambda_1 - \lambda_0}{\lambda_0}= \frac{V_A-V \cos b_a}{c}$ (1)

$\frac{\lambda_2 - \lambda_0}{\lambda_0}= \frac{V_A+V \cos b_a}{c}$ (2)

(1)+(2) $\Longrightarrow V_A=\frac{c}{2 \lambda_0} [ (\lambda_1 - \lambda_0) + (\lambda_2 - \lambda_0) ]$

(2)-(1) $\Longrightarrow V=\frac{c}{2 \lambda_0 \cos b_a} [ (\lambda_2 - \lambda_0) - (\lambda_1 - \lambda_0) ]$

km.s $^{-1}$

km.s $^{-1}$
Question 4
Solution :
$V=\frac{2 \pi a}{P}$

$a=1.493 \times 10^8$ km.
Remarque
- Au cours d'une année, la vitesse radiale due au mouvement de la Terre varie comme $V \cos b_a \sin \theta$ , où $\theta$ croît uniformément avec le temps. L'amplitude maximale de l'oscillation d'une raie autour de la valeur de référence $\lambda_0$ sera $(\Delta \lambda)_{max}= \lambda_0 V \cos b_a /c$ . Dans l'exercice, les conditions d'observation correspondent à cette amplitude maximale (obtenue lorsque les directions Soleil-Terre et Soleil-étoile sont perpendiculaires). Ainsi la mesure du décalage maximum permet, pour une étoile de direction connue, de déterminer .
- La méthode utilisée ici n'est applicable que pour des étoiles dont la direction n'est pas perpendiculaire à l'écliptique ( $b_a \neq 90^\circ$ ). L'effet de décalage est d'autant plus important que est petit, et il est maximal pour une étoile dont la direction se trouve dans le plan de l'écliptique.

pages_applications/exo-equ-kepler-geo.html

Exercice 'Equation de Kepler'

Question 1
Solution :
aire = aire - aire

aire = $\displaystyle \pi a^2 \frac{E}{2\pi} -\frac{1}{2} || \vect{OF} \wedge \vect{OM'} ||$

aire = $\displaystyle \pi a^2 \frac{E}{2\pi} -\frac{1}{2} a^2 e \sin E$

aire = $\displaystyle \frac{1}{2} a^2 (E - e \sin E)$
Question 2
Aide :
On utilisera la loi des aires, voir par exemple les exercices sur le problème des 2 corps et sur l'équation de Kepler.

Solution :
aire $(FPM) = \int_{\tau}^t dS = \int_{\tau}^t \frac{1}{2} h dt = \frac{h}{2} (t-\tau)$

Or $h = n a^2 \sqrt{1 - e ^2}$ , où $n = \frac{2 \pi}{T}$ est le moyen mouvement.

aire $(FPM) = \frac{1}{2} n a^2 \sqrt{1 - e^2} (t-\tau) = \frac{1}{2} M a^2 \sqrt{1 - e^2}$ .
Question 3
Solution :
aire = $\frac{b}{a}$ aire = $\sqrt{1-e^2}$ aire , où est le demi-petit axe de l'ellipse.

Or d'après les deux questions précédentes, aire = $\displaystyle \frac{1}{2} a^2 (E - e \sin E)$ et aire $(FPM) = \frac{1}{2} M a^2 \sqrt{1 - e^2}$ . On obtient donc $M=E-e \sin E$ .

pages_produits/exo-prod-2corps.html

Exercice 'La loi des aires'

Question 1
Aide :
Dériver $\overrightarrow{G}$ et utiliser que $\overrightarrow{r}$ et sa dérivée seconde sont colinéaires (ce qui indique que la loi des aires est vrai pour toute force centrale).
Question 2
Aide :
$\overrightarrow{r}$ et $\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$ sont toujours (quelque soit le temps) orthogonaux à $\overrightarrow{G}$ , avec l'hypothèse toutefois que $G \ne 0$ .
Question 3
Aide :
L'aire est la moitié du parallélogramme suivant:

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

pages_produits/exo-prod-2corps.html

Exercice 'Intégrale de Laplace'

Question 1
Aide :
Partir du premier membre de l'expression et utiliser le problème de képler et l'invariance du moment cinétique.

Aide :
Remarquer que $\frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(r\frac{\overrightarrow{r}}{r}) = \frac{dr}{dt}\frac{\overrightarrow{r}}{r} + r \frac{d}{dt} (\frac{\overrightarrow{r}}{r})$

Aide :
Utiliser que $(\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b})\wedge \overrightarrow{c} = (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} )\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} ) \overrightarrow{a}$

Aide :
La norme de $\frac{\overrightarrow{r}}{r}$ est constante donc $\frac{\overrightarrow{r}}{r}\cdot \frac{d}{dt}(\frac{\overrightarrow{r}}{r})=0$
Question 2
Solution :
$\frac{\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\wedge \overrightarrow{G}}{\mu} - \frac{\overrightarrow{r}}{r} = \overrightarrow{e}$

pages_coniques/exo-balistique.html

Exercice 'Trajectoire balistique dans le système solaire'

Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Question 6
Aide :

L'hyperbole des second foyers et une hyperbole-trajectoire (avant S)

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Aide :

L'hyperbole des second foyers et une hyperbole-trajectoire (avant S_1)

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

pages_coniques/exo-conique-pb-22-corps.html

Exercice 'Les solutions du problème de deux corps'

Question 1
Solution :
L'équation se réduit à ce qui est bien l'équation d'un cercle de centre et de rayon .
Question 2
Solution :
sera minimal quand $1+e\cos (\theta-\omega)$ sera maximal, c'est à dire lorsque $\theta=\omega \,\,\,{\rm mod}\,[2\pi]$ . Dans ce cas on a $q=\frac{p}{1+e}$ . sera maximal quand $1+e\cos(\theta-\omega)$ sera minimal, c'est-à-dire lorsque $\theta=\omega+\pi \,\,\,{\rm mod}\,[2\pi]$ . Or si on s'aperçoit que dans ce cas n'est pas défini, et si alors est négatif ce qui n'a pas de sens. Lorsqu'il est défini (), on a $Q=\frac{p}{1-e}$ . On remarque que l'apocentre se trouve à l'opposé du péricentre.
Question 3
Solution :
En fonction de et $\alpha$ l'équation devient : $r=\frac{p}{1+e\cos \alpha}$ . Avec $\cos \alpha = x/r$ on a: $r=\frac{p}{1+e\frac{x}{r}}$ qui se transforme facilement en . On obtient finalement qui est l'équation d'une conique.
Question 4
Solution :
Dans ce cas, l'équation devient:

,

qui est bien l'équation d'une parabole.

Cette équation peut se mettre sous la forme :

$\left(x-\frac{p}{2}\right)+\frac{y^2}{2p}=0$ .

d'où on déduit les coordonnées du péricentre : $\left(\frac{p}{2},0\right)$ .
Question 5
Solution :
L'équation de la conique peut s'écrire : $(1-e^2)\left(x+\frac{ep}{1-e^2}\right)^2+y^2=\frac{p^2}{1-e^2}$ qui devient :

$\left\lbrack\frac{x+\frac{ep}{1-e^2}}{\frac{p}{1-e^2}}\right\rbrack^2+\frac{y^2}{\frac{p^2}{1-e^2}}=1$

En posant $a=\frac{p}{1-e^2}$ et $b=a\sqrt{1-e^2}$ (qui est défini puisque ), l'équation devient:

$\left(\frac{x-ae}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1$

qui est l'équation d'une ellipse dont le centre a pour coordonnées , de demi-grand axe et de demi-petit axe .
Question 6
Solution :
Cette fois on montre que l'équation de la conique peut s'écrire:

$\left\lbrack\frac{x+\frac{ep}{1-e^2}}{\frac{p}{1-e^2}}\right\rbrack^2-\frac{y^2}{\frac{p^2}{e^2-1}}=1$

On note $a=\frac{p}{1-e^2}$ et $b=a\sqrt{e^2-1}$ (qui est défini puisque cette fois ). Ainsi l'équation devient:

$\left(\frac{x-ae}{a}\right)^2-\left(\frac{y}{b}\right)^2=1$

qui est bien l'équation d'une hyperbole de centre , et d'asymptotes :

$y=\pm \frac{b}{a}(x-a\,e)$ .

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Exercice 'Masse du trou noir central de la galaxie'

Question 1
Solution :
Imprimer la figure de la page précédente afin de faire les mesures sur celle-ci.

On trace deux cordes parallèles et la droite qui joint les milieux des segments obtenus est un diamètre qui coupe l'ellipse en deux points. Le milieu de ces points est le centre de l'ellipse
Question 2
Solution :
Ce grand axe passe par et par l'image du foyer (c'est à dire la position indiquée de SgrA).
Question 3
Solution :
Attention: les mesures en millimètres sont données simplement pour comprendre la démarche. Il est bien évident que les valeurs (en mm) dépendent du support physique de la figure.

mm et mm

donc $e=\frac{CF}{CA_1}=0,864$

et $\sqrt{1-e^2} = 0,503$ .

Remarque: le dernier chiffre donné n'est vraiment pas significatif vu la précision de la figure. Il ne sert que de valeur de controle dans les calculs internes.
Question 4
Solution :
Joindre au milieu d'une corde parallèle à .
Question 5
Solution :
Question 6
Solution :
Notre mesure donne mm ce qui correspond à $\frac{140}{30} \times 0'',05 = 0'',233$

Dans un radian il y a $206265 '' = \frac{180 \times 60 \times 60}{\pi}$ . Ce qui donne al ua.
Question 7
Solution :
$\frac{T}{2} \approx 2002,33 - \frac{1994,32+1995,53}{2} = 7,4$ ans. Donc est estimée à ans.
Question 8
Aide :
Utiliser la troisième loi de Képler: où est la vitesse angulaire ( $\frac{2\pi}{T}$ ), a le demi grand axe, M la masse et G une constante universelle (la constante de Gravitation).

Aide :
Pour utiliser les unités ua et l'année, utiliser 2 fois la troisième de Kepler: une fois pour le système Soleil-Terre et une fois pour le système S2-SgrA.

Solution :
L'indice correspond au Soleil.

et d'où $\frac{M}{M_S} = (\frac{T_S}{T})^2 (\frac{a}{a_S})^3$

Or an et ua, donc $\frac{M}{M_S}=\frac{929^3}{15^2}$ . Et donc $M = 3,6 \, 10^6$ masses solaires.

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Exercice 'Angles solides'

Question 1
Solution :
Il ressort de la définition de la page précédente que $\Omega$ est aussi égal à l'aire de la calotte découpée par le cône sur la sphère de centre O et de rayon unité.

On en déduit immédiatement qu'un demi-espace sous-tend un angle solide de $2 \pi$ sr, et que l'espace complet sous-tend un angle solide de $4 \pi$ sr.
Question 2
Solution :
L'angle solide ne dépend que du contour sur lequel s'appuie la surface considérée, c'est-à-dire de la surface apparente. Dans la figure ci-dessous, les surfaces S et $\Sigma$ sont vues sous le même angle solide.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Une surface élémentaire dS se confond avec la calotte sphérique correspondante. L'angle solide élémentaire est défini comme $d\Omega = \frac{\overrightarrow{u_r}.\overrightarrow{dS}}{R^2}$ où $\overrightarrow{u_r}$ est le vecteur unitaire sur la ligne de visée, et $\overrightarrow{dS}} = dS \overrightarrow{n_s}$ où $\overrightarrow{n_s}$ est le vecteur normal à la surface.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Si la surface dS est inclinée d'un angle $\Theta$ sur la ligne de visée, on a $d\Omega = \frac{dS cos(\Theta)}{R^2}$

On notera que cette quantité est algébrique, ce qui permet de généraliser la première remarque à toutes les surfaces s'appuyant sur le même contour : les éléments qui "dépassent" du contour sont comptés positivement puis négativement.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard
Question 3
Solution :
A partir de l'expression de l'élément de surface, on trouve immédiatement :

$d\Omega= \frac{dS}{R^2} = sin \Theta\; d\Theta\; d\varphi$
Question 4
Solution :
Puisqu'il y a symétrie de révolution, on intègre l'expression précédente le long de la couronne : $d\Omega=\int_{2\pi}{sin \alpha \; d\alpha\; d\phi} = 2\pi sin \alpha\; d\alpha$

En intégrant ensuite l'angle $\alpha$ entre 0 et $\Theta$ , on trouve l'angle solide défini par une calotte de demi-ouverture $\Theta$ : $\Omega= \int_{0}^{\Theta} 2\pi sin \alpha\; d\alpha= 2\pi(1 - cos\Theta)$
Question 5
Solution :
Pour les petites ouvertures, on a $\Omega \sim \pi\Theta^2$ (où $\Theta$ est donné en radians). Pour les très petits angles, on donne couramment les valeurs en (secondes d'arc carrées) ou en (milliarcsecondes carrées).

La taille apparente du Soleil et de la Lune vus depuis la Terre est d'environ 30' = 0,5°. L'angle solide correspondant est $d\omega = \Bigg( \frac{0.5 \, \pi}{180}\Bigg) ^2 \; \pi/4 \sim 6.10^{-5} sr$

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Exercice 'Photométrie'

Question 1
Solution :
La surface apparente de la source vue depuis le détecteur est $S\; cos\; e$ .

L'angle solide sous lequel le détecteur voit la source est donc $d\omega = S\,cos\;e / \Delta^2$

L'angle solide sous lequel la source voit le détecteur est $d\Omega = \sigma / \Delta^2$

On a donc $\sigma \, d\omega = S\;cos\;e\, d\Omega$

Cette quantité est appelée étendue de faisceau et joue un rôle important en optique instrumentale.
Question 2
Solution :
La puissance totale reçue par le détecteur est $dW = \int_{\sigma} W'd\Omega$

Soit par unité de surface $E = dW/\sigma$

L'unité de mesure SI de l'éclairement est le . Elle suppose une géométrie d'observation donnée (angle d'incidence sur le détecteur et distance à la source).
Question 3
Solution :
Avec les notations ci-dessus on a $L = \frac{dW}{S\,cos\,e\,d\Omega}$

Dans le Système International, la luminance se mesure en $W\,m^{-2}\,sr^{-1}$ . Il s’agit d'une caractéristique intrinsèque à la source lumineuse, qui dépend a priori de la direction d'observation e.
Question 4
Solution :
On a $E = \frac{dW}{\sigma} = L d\omega= L\, \frac{S\,cos\,e}{\Delta^2}$

Si la source apparaît ponctuelle, la surface reste constante alors que la distance augmente. Le signal mesuré décroît en $1/ \Delta^2$ . C'est le cas des objets lointains non résolus, par exemple les étoiles observées au télescope.

Si la source remplit le champ de l'instrument, l'angle solide sous lequel le détecteur voit la source ne dépend pas de la distance (plus on s'éloigne, plus la surface incluse dans le champ augmente) ; la relation entre E et L ne dépend donc que de l'incidence e et des propriétés angulaires de la luminance. C'est le cas des images satellitaires et de celles des sondes spatiales dans le Système solaire.

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Exercice

Question 1
Solution :
Par la figure, on se rend compte que pour voir le croissant de Lune horizontal il est nécessaire et suffisant que le Soleil éclaire la Lune par au-dessous c'est à dire qu'ils aient le même azimut.
Question 2
Solution :
Tout d'abord, il est préférable que le Soleil soit couché et donc sa hauteur doit être négative. La Lune, quant à elle, doit être levée: sa hauteur est donc positive.

Soit $h_{L}$ la hauteur de la Lune et $h_{\odot}$ la hauteur du Soleil.

Si $h_{\odot}=h_{L}-90^{\circ}(<0)$ l'observateur voit exactement une demi-lune.

Ainsi pour avoir l'aspect indiqué sur la figure (un croissant comme une gondole), il est nécessaire d'avoir $h_{\odot}>h_{L}-90^{\circ}$ .
Question 3
Question 4
Aide :
Aucun calcul n'est nécessaire pour répondre à cette question. Une discussion avec les proprietés élémentaires de la géométrie sphérique devrait suffire.

Aide :
On sait qu'il n'y a qu'un seul grand cercle passant par deux points de la sphère céleste. Or, la Lune et le Soleil sont sur un même grand cercle (écliptique), et puisque $A_{L}=A_{\odot}$ , les grands cercles et $Z\odot$ sont les mêmes. Ainsi le zénith est sur l'écliptique.

Aide :
" est sur l'écliptique" $\equiv (ZE=90^{\circ}) \equiv$ " est sur l'horizon".

où est le pôle de l'écliptique. est un point de la sphère des fixes (c'est à dire, lié aus étoiles). A ce titre, et comme toutes les étoiles, il est affecté par le mouvement diurne. tourne autour du pôle céleste nord (fixe) à une même distance angulaire $\omega=23^{\circ}26'$ (obliquité) .

Solution :
La hauteur du pôle sur l'horizon correspond à la latitude du lieu ( $\phi$ ).

On voit alors que pour une latitude comme celle de Lille ( $\phi=50^{\circ}$ ), cela est impossible. Ce n'est possible que si $\left|\phi\right|\leq23^{\circ}26'$ c'est à dire, entre les tropiques. En ces lieux, la condition est réalisée 2 fois par jour.