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Les surfaces planétaires réfléchissent la lumière solaire d'une façon qui dépend de leurs propriétés et de leur composition. Si les caractéristiques spectrales reflètent la composition (minéralogique) d'une surface, la distribution angulaire du rayonnement diffusé dépend surtout de ses propriétés physiques : taille de particules, porosité, rugosité à diverses échelles...

Divers modèles photométriques rendent compte de ces comportements, en décrivant la dépendance angulaire de la luminance. La luminance est la puissance émise ou diffusée dans un angle solide élémentaire par unité de surface. Il s’agit d’une caractéristique intrinsèque à la source lumineuse :

Figure 1

Géométrie d'observation d'une surface

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Dans la configuration générale décrite Figure 1, la luminance est définie de la façon suivante :

$L = \frac{dW}{S\,cos\,e\,d\Omega}$

où dW est la puissance recueillie par le détecteur, e est l'angle sous lequel on voit la source, $d\Omega$ l'angle solide sous lequel la source voit le détecteur, et S la surface de la source. Dans le Système International, la luminance se mesure en $W\,m^{-2}\,sr^{-1}$ , ou dans un intervalle de longueur d'onde élémentaire en $W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,\mu m$ .

Le modèle photométrique le plus commun est le modèle lambertien, que suit notamment le corps noir : la luminance est simplement isotrope (ne dépend pas de la direction e).

Ex: photométrie des surfaces planétaires

Soleil

Difficulté : ☆☆ Temps : 45 min

Question 1)

On assimile le Soleil à un corps noir. Quelle est la puissance rayonnée par un élément de surface dans une direction donnée ?

Question 2)

Calculer la luminance intégrale (intégrée spectralement), toujours dans une direction donnée. Application numérique.

Question 3)

Calculer la luminosité totale d'un élément de surface (rayonnée dans toutes les directions). Commenter.

Question 4)

Calculer la puissance totale émise par le Soleil. Application numérique (on donne pour le rayon du Soleil $r_s = 695\,000\,km$ ).

Surface lunaire

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Le cas des surfaces planétaires est différent, leur capacité à réfléchir le rayonnement solaire dépendant de leur état physique : rugosité, taille des particules en surface... En outre la position du Soleil intervient également puisqu'on observe maintenant en réflexion (voir Figure 2). Le modèle lambertien est encore adapté aux surfaces très claires, mais ne décrit pas correctement les propriétés de la Lune ou des astéroïdes qui sont relativement sombres. On utilise souvent le modèle de Lommel-Seeliger, qui donne la luminance comme : $L(\mu_0, \mu) = p F\frac{\mu_0}{\mu_0 + \mu}$

où p est l'albedo de la surface (coefficient de réflexion sous incidence et émergence nulles), F est le flux solaire à la distance de la planète, $\mu_0$ et $\mu$ sont les cosinus des angles d'incidence et d'émergence.

Figure 2

Géométrie d'observation d'une surface planétaire

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Question 1)

On utilise la réflectance hémisphérique pour étudier les propriétés thermiques des surfaces. Celle-ci est définie comme : $r_{hd} = \int_{2\pi} \frac{L}{F}\,d\Omega_i$

où $d\Omega_i$ est l'angle solide élémentaire dans la direction d'incidence.

Calculer cette quantité en fonction des variables $\mu_0$ et $\mu$ .

Théorème de Liouville

Auteur : Marc Fouchard.

Le but de cet exercice est de montrer qu'un volume soumis à un flux, c'est-à-dire qu'en chaque point de l'espace on peut associer un vecteur vitesse donné par une équation différentielle d'ordre 1, hamiltonien reste constant.

La figure suivante illustre cette propriété dans le cas du problème de 2 corps plan. Comme on est à deux dimensions un volume correspond à une surface. Le disque est soumis à une force gravitationelle due à un corps massif se trouvant à l'origine. La surface verte est constante au cours du temps, même si la forme est fortement modifiée.

théorème de Liouville

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Fouchard

Un flux hamiltonien vérifie les équations d'hamilton. C'est-à-dire que le point de coordonnées $(q_1,\dots,q_n,p_1, \dots,p_n)$ vérifie les équations différentielles suivantes :

$\frac{{\rm d}q_i}{{\rm d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \frac{{\rm d}p_i}{{\rm d}t}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$ , avec $i=1,\dots,n$ .

où est le hamiltonien du système, indépendant du temps.

Ex: théorème de Liouville

Auteur: Marc Fouchard

théorème de Liouville

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 1h

Question 1)

Soit $\Gamma$ un volume de surface $\Sigma$ . La variation du volume au cours du temps s'écrit:

$\frac{{\rm d} \Gamma}{{\rm d} t}=\int\int_{\Sigma} \vec{v} \cdot \vec{{\rm d}S}$ ,

où $\vec{v}=\frac{{\rm d} q}{{\rm d} t}$ est le vecteur vitesse et $\vec{{\rm d}S}$ est un vecteur normal à la surface $\Sigma$ et de norme égale à une élément de surface.