SOLUTION

Les limites trouvées à la question précédente nous permettent de dire que $\farlall \epsilon > 0$ , $\exists M > 0$ et $\exists \delta > 0$ tels que $\forall x > M$ on a $0 < E(x) < \epsilon$ et $\forall x < \delta$ et x > 0 on a $0 < E(x) < \epsilon$ . Ainsi, est une fonction continue sur l'intevalle $[\delta,M]$ .

Or l'image d'un segment fermé par une fonction continue est un segment fermé. Ce dernier possède donc une borne supérieure qui est etteinte par sur $[\delta,M]$ . Soit $E_{\rm max}$ ce maximum. On peut toujours choisir $\epsilon$ pour que $\epsilon< E_{\rm max}$ , ainsi $E_{\rm max}$ sera aussi le maximum de sur $]0,+\infty[$ .