L'Astronomie dans l'apprentissage des Mathématiques
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- Variables complexes

Ex : Excentricité limite dans les développements du problème à 2 corps

Auteurs: Alain Vienne, Stéphane Erard
Auteur: Alain Vienne
calcotron

exerciceExcentricité limite dans les développements du problème à 2 corps

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 1h30

introductionIntroduction

Dans le problème à 2 corps (voir, pour plus de détails, un cours d'astronomie, par exemple celui-ci) l'anomalie vraie et l'anomalie moyenne sont liées grâce à l'anomalie excentrique E par les 2 formules suivantes:

\tan \frac{W}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{E}{2}  , et

M=E-e\sin E   qui est appelée "équation de Képler".

Question 1)

Sachant que e est le petit paramètre, montrer que l'équation de Kepler est de la forme indiquée dans le théorème de Lagrange. Indiquer à quoi correspond chacun des paramètres de ce théorème dans notre problème.

AideSolution

Question 2)

E est donc complexe. On suppose M réel et on pose: E-M=\rho \exp \imath \theta (module et argument). Exprimer \sin E puis \sin ^2 E en fonction de M, \rho et \theta

AideAideSolution

Question 3)

Le contour ( \mathcal{C} ) est défini par e \le \frac{\rho}{|\sin E|}. Le cas le plus défavorable correspond à |\sin E | maximum. Donner les conditions sur \theta et M correspondantes.

AideSolution

Question 4)

Que devient |\sin E | pour ces conditions?

Solution

Question 5)

Par la condition e \le \frac{\rho}{|\sin E|}, on cherche donc à maximiser \frac{\rho}{cosh \rho}. Montrer que ce maximum est atteint pour \rho = 1,1996784\dots En déduire la plus grande valeur de l'exentricité e_M.

Solution

remarqueRemarque

Ainsi pour e \le e_M, on peut écrire:

E=M+\sum_{n=1}^{\infty} \frac {e^n}{n!}\frac{d^{n-1}}{dM^{n-1}}(\sin ^n M ). Pour obtenir l'équation du centre, il faut encore utiliser la formule \tan \frac{W}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{E}{2} pour revenir à W. Mais cette formule ne pose aucun problème de convergence. La valeur de e_M est donc inchangée.

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