Théorème des résidus : Page pour l'impression

Auteur: Alain Vienne

En mécanique céleste, il est quelque fois utile d'utiliser certaines formules du problème à 2 corps (ou problème keplerien) sous forme de développements. Cela permet, en théorie des perturbations, de faire des calculs analytiques.

Par exemple, l'"équation du centre", qui donne la position du corps sur son orbite en fonction du temps, est:

$W=M+(2e-\frac{1}{4}e^3)\sin M + (\frac{5}{4}e^2-\frac{11}{24}e^4)\sin 2M + \frac{13}{12}e^3 \sin3M + \frac{103}{96} e^4 \sin 4M +O (e^5)$

est l'anomalie vraie, c'est à dire l'angle qui positionne le corps sur son orbite à partir de la direction du minimum de distance (péricentre ). est le temps ou plus précisément c'est l'anomalie moyenne $M=\frac{2\pi}{T} (t-t_0)$ avec la période, le temps et t_0 l'instant de passage au péricentre. est l'excentricité.

Attention cette formule est bien une série entière en (mais tronquée à l'ordre 4). Cela aurait été plus net si on l'avait écrit comme:

$W=M+2e \sin M + e^2 \frac{5}{4}\sin 2M + e^3 (-\frac{1}{4}\sin M + \frac{13}{12} \sin3M) + e^4 (-\frac{11}{24}\sin 2M + \frac{103}{96} \sin 4M) +\dots$

Mais, en fait, on préfère l'écriture en série de Fourier, c'est-à-dire:

$W=M+ f_1(e) \sin M + f_2(e)\sin 2M + f_3(e) \sin3M + f_4(e) \sin 4M + \dots$

En tant que série de Fourier, la convergence ne pose pas de problème car la fonction à considérer est de classe C^1 par rapport à la variable . Seulement, dès que les f_i sont tronqués à un certain ordre en excentricité, cela revient à considérer la série entière.

L'exercice qui est proposé utilise le théorème de Lagrange pour montrer que la série entière ci-dessus (et toutes celles du problème des 2-corps) converge si $e<0,6627434\dots$ . Cela signifie que ces séries ne peuvent être utilisées que pour des excentricités bien en deça de cette valeur. Evidemment, la solution du problème à 2 corps elle-même existe quelque soit l'excentricité.

Théorème de Lagrange

Soit une fonction complexe $\phi (z)$ de la variable complexe . Soient et $\varepsilon$ des complexes.

Si $\phi (z)$ est analytique à l'intérieur du contour $( \mathcal{C} )$ du plan complexe entourant le point avec $( \mathcal{C} )$ tel que : $| \varepsilon \phi (z) | \le |z-a|$

Alors l'équation : $z=a+\varepsilon \phi (z)$ a une raçine développable dans l'intérieur de $( \mathcal{C} )$ en série entière de $\varepsilon$ :

$z= a + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon ^n}{n!}\bigg[\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[\phi (z)]^n\bigg]_{z=a}$

Plus généralement, pour toute fonction analytique dans $( \mathcal{C} )$ , f(z) peut aussi être développée:

$f(z)= f(a) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon ^n}{n!}\bigg[\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\bigg( \frac{df}{dz}[\phi (z)]^n \bigg) \bigg]_{z=a}$

Un autre exercice avec ce théorème est disponible ici.

Ex : Excentricité limite dans les développements du problème à 2 corps

Auteur: Alain Vienne

Excentricité limite dans les développements du problème à 2 corps

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 1h30

Introduction

Dans le problème à 2 corps (voir, pour plus de détails, un cours d'astronomie, par exemple celui-ci) l'anomalie vraie et l'anomalie moyenne sont liées grâce à l'anomalie excentrique par les 2 formules suivantes:

$\tan \frac{W}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{E}{2}$ , et

$M=E-e\sin E$ qui est appelée "équation de Képler".

Question 1)

Sachant que est le petit paramètre, montrer que l'équation de Kepler est de la forme indiquée dans le théorème de Lagrange. Indiquer à quoi correspond chacun des paramètres de ce théorème dans notre problème.

Question 2)

est donc complexe. On suppose réel et on pose: $E-M=\rho \exp \imath \theta$ (module et argument). Exprimer $\sin E$ puis $\sin ^2 E$ en fonction de , $\rho$ et $\theta$

Question 3)

Le contour $( \mathcal{C} )$ est défini par $e \le \frac{\rho}{|\sin E|}$ . Le cas le plus défavorable correspond à $|\sin E |$ maximum. Donner les conditions sur $\theta$ et correspondantes.

Question 4)

Que devient $|\sin E |$ pour ces conditions?

Question 5)

Par la condition $e \le \frac{\rho}{|\sin E|}$ , on cherche donc à maximiser $\frac{\rho}{cosh \rho}$ . Montrer que ce maximum est atteint pour $\rho = 1,1996784\dots$ En déduire la plus grande valeur de l'exentricité e_M .

Remarque

Ainsi pour $e \le e_M$ , on peut écrire:

$E=M+\sum_{n=1}^{\infty} \frac {e^n}{n!}\frac{d^{n-1}}{dM^{n-1}}(\sin ^n M )$ . Pour obtenir l'équation du centre, il faut encore utiliser la formule $\tan \frac{W}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{E}{2}$ pour revenir à . Mais cette formule ne pose aucun problème de convergence. La valeur de e_M est donc inchangée.

Indices de réfraction / relations de Kramers-Kronig

Auteur: Stéphane Erard

Les relations de Kramers-Kronig relient les indices de réfraction réel et imaginaire d'un même milieu matériel. Ceux-ci, bien qu'on les appelle couramment constantes optiques, varient en fonction de la longueur d'onde d'une façon caractéristique de la composition du milieu. A ce titre, ils jouent un rôle particulièrement important en Astrophysique puisque l'étude de la lumière produite, absorbée ou réfléchie par un astre distant permet de connaître sa composition.

La partie réelle de l'indice (généralement appelée indice de réfraction) intervient dans les lois de Snell-Descartes, la partie imaginaire (coefficient d'absorption) rendant compte de l'absorption au cours de la propagation dans le milieu. La mesure simultanée des deux quantités est difficile ; les relations de Kramers-Kronig qui permettent de calculer l'un en connaissant l'autre ont donc une grande importance pratique en spectroscopie de laboratoire.

Ex: relations de Kramers-Kronig

Auteur: Stéphane Erard

Relations de Kramers-Kronig

Difficulté : ☆☆ Temps : 60 min

Les équations de Maxwell dans un milieu matériel font intervenir un vecteur induction électrique défini comme :

$\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}$

où $\vec{E}$ est le champ électrique appliqué, $\vec{P}$ la polarisation électrique du milieu (qui décrit la réaction du milieu à l'application du champ électrique externe) et $\epsilon_0$ une constante physique appelée permittivité du vide.

Les propriétés du milieu lui-même sont décrites par un certain type de relation entre le champ électrique et la polarisation. Dans un grand nombre de cas (milieu isotrope, champ faible...) cette relation peut s'écrire :

$\vec{P} = \epsilon_0 \chi_{e} \vec{E}$

où $\chi_{e}$ (la susceptibilité électrique) est a priori un tenseur d'ordre 2 dépendant du temps et de la position.

La solution des équations de Maxwell dans le milieu met en évidence l'indice de réfraction complexe de ce milieu :

$\eta(\omega) = \sqrt{1 + \chi(\omega)}$

où $\chi(\omega)$ est la représentation en fréquence de $\chi_e(t)$ , c'est-à-dire sa transformée de Fourier.

Question 1)

On considère un milieu linéaire, tel que :

$\vec{P}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(t, t') \vec{E}(t') dt'$

Que représente la fonction G ?

Question 2)

Déduire en utilisant le théorème de convolution une relation entre les représentations en fréquence du champ électrique et de la polarisation, puis entre G et $\chi(\omega)$ .

Question 3)

En supposant constantes les propriétés du milieu, comment peut-on simplifier la fonction G ?

Question 4)

On considère la fonction $\frac{\chi(\tilde{\omega}) }{(\tilde{\omega} - \omega)$ de la variable complexe $\tilde{\omega}$ , où $\omega$ est réel. Montrer qu'elle est analytique dans la partie supérieure du plan complexe.