Ex: Onde de Langmuir

Auteurs: Arnaud Beck, Jérôme Thiébaut

Auteur: Arnaud Beck

Relation de dispersion

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Un plasma est constitué d'ions et d'électrons. Les ions étant largement plus lourds, nous allons les supposer immobiles dans le développement qui suit. Considérons qu'ils sont répartis uniformément dans l'espace avec une densité n_0 .

L'onde de Langmuir étant la propagation d'une perturbation électrostatique (écart à la neutralité mais sans création de courant électrique à grande échelle), nous pouvons, pour simplifier le problème, supposer l'absence de champ magnétique.

A l'équilibre, les électrons sont eux aussi immobiles et uniformément répartis avec une densité n_e=n_0 . Mais, que se passe t-il si on perturbe cet équilibre en posant que n_e=n_0+n_1(x,t) , où n_1 est un petit terme perturbatif qui dépend de la position et du temps ?

Dans ce cas, un champ électrique E(x,t) se crée et met les électrons en mouvement à une vitesse u(x,t) .

Les équations qui gouvernent ensuite l'évolution de ces trois grandeurs (perturbation de densité, champ électrique et vitesse des électrons) sont l'équation de continuité, l'équation de conservation du moment dynamique et l'équation de Poisson:

$\frac{\partial n_1}{\partial t}+n_0\frac{\partial u}{\partial x}=0$

$m_en_0\frac{\partial u}{\partial t}=-en_0E-3T\frac{\partial n_1}{\partial x}$

$\frac{\partial E}{\partial x}=-en_1/\epsilon_0$

où est la température moyenne des électrons, m_e leur masse, leur charge, et epsilon_0 la permittivité du vide.

Les équations ont été ici écrites à une dimension, dans la direction x. On suppose que les perturbations vont se propager dans cette direction sous la forme d'onde plane et donc que l'on peut écrire:

$E(x,t)=\tilde{E}exp(-i\omega t +ikx)$

$u(x,t)=\tilde{u}exp(-i\omega t +ikx)$

$n_1(x,t)=\tilde{n_1}exp(-i\omega t +ikx)$

où omega est la pulsation de l'onde et l'amplitude de son vecteur d'onde selon .

Question 1)

Écrire le système linéaire vérifié par les inconnues $\tilde{E}$ , $\tilde{u}$ et $\tilde{n_1}$ et ayant omega et comme paramètres.

Aide Solution

Question 2)

Trouver la relation de dispersion de l'onde, c'est à dire une expression de omega en fonction de .

Solution

Question 3)

Si on prend le mouvement des ions en compte, le système d'équation change et on trouve une nouvelle relation de dispersion qui correspond cette fois à une onde acoustique ionique.

En utilisant la même méthode que précédemment, retrouver la fonction de dispersion d'une onde acoustique ionique à partir du système d'équations ci dessous. Les indices et indiquent l'espèce (électron ou ion).

$\frac{\partial n_{e1}}{\partial t}+n_0\frac{\partial u_e}{\partial x}=0$

$\frac{\partial n_{i1}}{\partial t}+n_0\frac{\partial u_i}{\partial x}=0$

$m_en_0\frac{\partial u_e}{\partial t}=-en_0E-\gamma_e T_e\frac{\partial n_{e1}}{\partial x}$

$m_in_0\frac{\partial u_i}{\partial t}=en_0E-\gamma_i T_i\frac{\partial n_{i1}}{\partial x}$

$\frac{\partial E}{\partial x}=e(n_{i1}-n_{e1}/)\epsilon_0$

où les gamma sont des constantes (rapports des chaleurs spécifiques de chaque espèce).

Solution