Suites réelles

Auteur: Marc Fouchard

Equation de Kepler elliptique

Marc Fouchard

Le but de cet exercice est de résoudre l'équation de Kepler par la méthode de Newton.

L'équation de Kepler est:

E-e\,\sin E -M =0

E s'appelle l'anomalie excentrique, M l'anomalie moyenne et e l'excentricité. Dans le cas présent on a 0\le e < 1, M\in [0;2\pi] et E\in[0;2\pi]. Dans l'exercice on va se limiter à l'intervalle [0;\pi]. On peut facilement en déduire la résolution de l'équation dans l'intervalle [\pi;2\pi] par symétrie. La figure ci-dessus montre le lien entre ces anomalies.

Lien entre les 3 anomalies
kepler.gif
Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou Fouchard

On peut voir l'exercice suivant pour voir des méthodes plus complexes de résolution de l'équation de Kepler. Le cas hyperbolique fait l'objet de cet exercice.


Ex: equation de Kepler elliptique

Auteur: Marc Fouchard

exerciceéquation de Kepler elliptique

Difficulté :    Temps : 30 mn

Question 1)

Soit f la fonction définie par f(x)=x-e\sin x -M, avec M \in [0;2\pi] une constante. Montrer que f est continue, dérivable deux fois et que f'(x)>0 et pour x\in [0;\pi] , f''(x)\ge 0.

Question 2)

Soit r le nombre réel tel que f(r)=0 (on peut montrer rapidement que r existe d'après la continuité de f et le théorème de la valeur intermédiaire). Montrer que pour x\in]r;\pi], f est strictement positive.

Question 3)

Montrer que la courbe représentative de f est au dessus de sa tangente sur [r;\pi].

Question 4)

En déduire que la suite \left\lbrace u_n \right\rbrace définie par:

u_{n+1}=u_n-\frac{f(u_n)}{f'(u_n)},

avec \pi\ge u_0 \ge r, est décroissante et minorée par r.

Question 5)

En déduire que la suite \left\lbrace u_n \right\rbrace converge et que sa limite est r.


Réponses aux exercices

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Exercice 'équation de Kepler elliptique'