En savoir plus: Configurations d'équilibre de satellites co-orbitaux

Auteurs: S. Renner, Marc Fouchard

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Les équations du mouvement sont donc:

$\left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle {\dot \phi_i}= -{3 \over 2} \xi_i \\ \\ \displaystyle {\dot \xi_i}= -2 \sum_{j \neq i} m_j f'(\phi_i - \phi_j) \end{array} \right.$

avec

$f(\phi)= \cos \phi - {1 \over 2|\sin \phi/2|}$ , $f'(\phi)= \sin \phi \left[ -1 + {1 \over 8|\sin \phi/2|^3} \right]$ , $f''(\phi)= -\cos \phi - {3 + \cos \phi \over 16|\sin \phi/2|^3} \cdot$

Pour établir ces équations, on a fait les hypothèses suivantes:

chaque satellite a une masse négligeable devant celle du corps central : quelque soit , $0 \leq m_i/M << 1$ , où est la masse du $i^{eme}$ satellite
l'excentricité des satellites est supposée nulle
les satellites ne s'approchent pas trop de leurs rayons de Hill mutuels, définis par $r_H = r_0 \cdot \left[\left(m_i + m_j\right)/3M\right]^{1/3}$ . Ainsi on évite tout mouvement chaotique, et les satellites restent co-orbitaux. On ne considère pas en particulier les points stationnaires alignés avec le satellite et la planète (comme les points de Lagrange et dans le cas N=2).
pour simplifier et sans perte de généralité on a choisi , et

La première équation n'est rien d'autre que la vitesse keplerienne différentielle de chaque satellite par rapport à l'orbite de référence de rayon r_0 . La seconde équation contient, sous forme dérivée, tous les termes résultant des interactions gravitationnelles mutuelles entre les satellites.

La fonction $f(\phi)$ est la somme des potentiels direct et indirect exercé par un satellite donné sur les autres co-orbitaux. C'est une fonction paire, et son graphe est tracé ci-dessous avec ses dérivées première et seconde $f'(\phi)$ et $f''(\phi)$ .

La fonction $f(\phi)$ , décrivant le potentiel créé par un satellite sur une particule co-orbitale, avec ses dérivées première et seconde $f'(\phi)$ et $f''(\phi)$ .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

Puisque est impaire, il est facile de montrer d'après les équations du mouvement que $\displaystyle \sum_{i} m_i \xi_i = {\rm constante}$ . Le rayon de référence r_0 étant arbitraire, il peut être choisi de telle manière que $\displaystyle \sum_{i} m_i \xi_i = 0$ , sans perte de généralité. Ainsi le système possède les intégrales premières suivantes :

$\left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle \sum_{i} m_i \xi_i = 0 \\ \\ \displaystyle \sum_{i} m_i \phi_i = {\rm constante}, \end{array} \right.$

qui résultent de la conservation du moment cinétique total. Cette conservation résulte elle-même de l'invariance par rotation du problème. Il existe une autre intégrale première :

$J= \sum_{i} m_i \left[ - {3 \over 4} \xi_i^2 + \sum_{j \neq i} m_j f(\phi_i - \phi_j) \right]$

Elle exprime la conservation de l'énergie dans le repère tournant, et est appelée constante de Jacobi.