Ex : carte du ciel

Question 1)

L'exercice se fait en deux étapes, la première consiste à construire le profile de l'horizon, et la deuxième à placer sur cet horizon le fond d'étoiles fixes contenant la trajectoire apparente annuelle du Soleil.

On se place en un lieu de latitude $\phi$ . Dessiner sur une sphère céleste avec l'équateur céleste comme plan de référence, le pôle céleste nord, l'horizon céleste, et les points cardinaux Sud, Ouest, Nord et Est. On notera aussi le point d'intersection du méridien passant par les pôles célestes nord et sud et par le zénith avec l'équateur céleste. On notera le point opposé à sur l'équateur céleste.

On mettra en évidence les angles suivants sur la figure: la déclinaison $\delta$ d'un point de l'horizon céleste, la latitude, la colatitude $\tilde{\phi}= \pi/2-\phi$ , et l'angle entre la direction ouest et le méridien équatorial passant par ,et compté positivement vers .

Solution

Question 2)

En utilisant la formule suivante, valable dans un triangle sphérique (voir le dessin ci-dessous), déterminer la déclinaison $\delta$ de en fonction de et $\phi$ .

$\sin c \cot b = \sin A \cot B + \cos A \cos c$ .

triangle sphérique

Triangle sphérique: les côtés correspondent à des arcs de grands cercles. Comme la sphère céleste est de rayon unité, la longueur d'un de ces arcs correspond à l'angle sous lequel est vu cet arc depuis le centre de la sphère.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard.

Solution

Question 3)

Au lieu de l'angle , on souhaite utiliser un angle associé au Soleil, appelé heure solaire vraie et noté . Cet angle est mesuré sur l'équateur céleste, à partir de la direction , et compté positivement vers l'Est. Ainsi, l'Est, et l'Ouest correspondent respectivement à $\pi/2$ , $\pi$ et $3\pi/2$ . Ecrire $\delta$ en fonction de .

Solution

Question 4)

Etudier la fonction $\delta : h \mapsto \delta(h)$ . On déterminera en particulier la valeur de $\delta$ et de sa dérivée pour h=0 et $\pi/2$ .

Solution

Question 5)

On souhaite maintenant déterminer l'équation de la trajectoire apparente annuelle du Soleil (qui est dans un plan appelé éclitpique) dans un repère où on a l'ascension droite en abscisse et la déclinaison en ordonnées.

La normale au plan de l'écliptique dirigée vers l'hémisphère nord a une direction constante par rapport à la direction du pôle céleste nord . L'angle entre ces deux directions est appelé obliquité est vaut $\varpi=23^\circ26'$ . Vu du pôle céleste nord, le Soleil décrit sa trajectoire dans le sens trigonométrique, c'est-à-dire que son ascension droite augmente au cours du temps.

Faire un dessin de la sphère des fixes mettant en évidence l'équateur céleste, le grand cercle de l'écliptique et les coordonnées équatoriales du Soleil.

Solution

Question 6)

En déduire $\delta_\odot$ en fonction de $\alpha_\odot$ et de l'obliquité $\varpi$ .

Solution

Question 7)

Etudier la fonction $\delta_\odot : \alpha_\odot \mapsto \delta_\odot(\alpha_\odot)$ . On déterminera en particulier la valeur de $\delta_\odot$ et de sa dérivée pour $\alpha_\odot=0$ et $\pi/2$ .

Solution

Question 8)

Déterminer les coordonnées du Soleil, aux équinoxes et aux solstices.

Solution

Question 9)

Il s'agit maintenant de positionner les deux graphes l'un par rapport à l'autre. C'est le Soleil qui fait le lien entre les deux. Il faut d'abord placer le Soleil en fonction de la date du jours. Une fois celui-ci positionné, il est facile de placer le graphe de l'horizon pour une heure solaire vraie donnée, puisque l'abscisse du Soleil sur cette carte correspond à l'heure solaire vraie. Ainsi lorsque le temps s'écoule le graphe de l'horizon va glisser sur le graphe des étoiles fixes et de l'écliptique (ou l'inverse suivant comment on choisi la transparence).

Il faut faire attention au fait que pour le graphe comportant l'horizon céleste, l'axe des abcisses est orienté de la droite vers la gauche, alors que pour la carte des étoiles fixes avec l'écliptique, l'axe des abscisses est orienté de la gauche vers la droite. Les deux axes vont de 0 à $2\pi$ (en astronomie cependant on préfère noter les longitudes entre 0h et 24h).

Déterminer l'ascension droite du Soleil en fonction de la date du jours (ceci permet finalement de résoudre complètement l'animation présentée dans l'introduction à cet exercice).

On utilisera la relation suivante valable dans un triangle sphérique de sommet A, B, C et de côté a, b, c (étant le côté opposé au sommet , etc.) où $C=\pi/2$ (voir la figure ci-dessous) : $\begin{array}{rcl}\sin b &=& \sin B \sin c \\ \tan a &=& \cos B \tan c \end{array}$ .

triangle sphérique

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard

Solution

Ex : carte du ciel

Carte du ciel