En savoir plus: approximation de Tchébychev (2)

Soleil, Lune, Planètes

Soit t une date julienne appartenant à l'intervalle de temps t₀, t₀ + DT et y une coordonnée d'un astre. On calcule y(t) par la formule :

y=a_0+a_1*T_1*((x))+...+a_n*T_n*((x))

Où

x est un paramètre compris entre -1 et +1 qui se déduit de t par la relation :
a₀, a₁, ..., a_n sont les coefficients numériques publiés dans la Connaissance des Temps, valables pour l'intervalle de temps t₀, t₀ + DT contenant t :
T₁(x), ..., T_n(x) sont des polynômes de Tchebychev, en x, que l'on calcule :
- soit par la relation : ;
- soit par la relation de récurrence : Avec : ;

Caractéristiques générales

Les éphémérides de l'année sont publiées corps par corps. Pour chaque corps, on compte un certain nombre de variables qui pour des intervalles de temps donnés, sont représentées par des tableaux donnant les coefficients de leurs développements en polynômes de Tchebychev ou sous forme de fonctions mixtes.

En haut de chaque page, on trouve :

le nom du corps concerné suivi de l'année de l'éphéméride ;
le type des variables représentées ;
éventuellement, les caractéristiques du système de coordonnées.

En bas de chaque page, on trouve les unités utilisées.

Les coefficients d'un tableau sont publiés en colonne. Pour chaque tableau, on précise :

le nom de la variable représentée ;
les dates de début et de fin de l'intervalle de temps correspondant au domaine de validité du tableau.
la longueur des intervalles de temps DT (en jours) figure en haut de chaque page ;
les coefficients sont notés 0, 1, ..., p,... n;
la valeur de contrôle du tableau, imprimée en italique, figure en tête de chaque tableau. C'est la valeur y(t₀) de la variable y représentée par le tableau, pour t₀ début de l'intervalle de temps t₀, t₀ + DT. Elle est égale à :

La valeur de contrôle permet de vérifier que les coefficients ont été correctement entrés en mémoire sur une calculette ou un calculateur. De plus, l'ensemble des valeurs de contrôle des tableaux d'une même variable donne une idée de l'évolution de cette variable au cours de l'année.

Calcul d'une coordonnée

Pour calculer la valeur d'une coordonnée d'un astre pour une date t exprimée en UTC, on commence par :

effectuer, sur t, une correction déduite de la table 2 afin de se ramener à l'argument des éphémérides (identifié à TT) :
chercher, parmi les tableaux représentant la coordonnée, celui qui correspond à l'intervalle de temps t₀, t₀ + DT dans lequel se trouve t. Il faut insister sur le fait que la représentation, qu'elle soit en polynômes de Tchebychev ou sous forme de fonctions mixtes, n'est pas valable en dehors de l'intervalle t₀, t₀ + DT.

Le calcul se poursuit de la manière suivante :

Soleil, Lune, Planètes

On calcule x par la formule (2).
A partir des n + 1 coefficients du tableau a₀, a₁, ..., a_p, ..., a_n (notés 0, 1,... p, ..., n), on calcule la coordonnée y(t) par la formule (1).
Les polynômes de Tchebychev t_p(x) se calculent soit par la formule (3), soit par la relation de récurrence (4). Notons que, si on n'utilise que les p + 1 (p < n) premiers coefficients du développement en polynômes de Tchebychev, on commet, sur la représentation de y, une erreur au plus égale à la somme des valeurs absolues des n - p coefficients négligés.
Pour avoir le temps de passage du Soleil au méridien origine en un jour donné, numéroté j dans le mois, on applique la même méthode en prenant t = j + 0,5.