Les lois de Snell-Descartes : Page pour l'impression

Introduction

Prenons n'importe quel système optique, un appareil photo, un télescope, ou même, beaucoup plus simple, une paire de lunettes ou un miroir de salle de bain. Qu'ont en commun tous ces objets ? Regardons de plus près. Ils sont tous constitués de lames de verre, de lentilles et de miroirs. Nous aurons longuement le temps de revenir, dans les chapitres qui suivent, sur les lentilles et sur les miroirs sphériques et paraboliques. Mais, dans un premier temps, nous allons nous intéresser au cas plus simple des miroirs plans, ainsi que de la propagation de la lumière à travers des surfaces planes. De ces premières études, tout le reste découlera naturellement.

Nous avons vu, au chapitre précédent, que la lumière se déplace en ligne droite dans un milieu transparent, homogène et isotrope. Mais que se passe-t-il lorsqu'elle passe d'un milieu THI à un autre ? Continue-t-elle son petit bonhomme de chemin comme si de rien n'était ? Change-t-elle de trajectoire ? ou est-elle même réfléchie ? Des lois simples décrivent le comportement des rayons lumineux à la traversée d'une surface séparant deux milieux transparents.

Prérequis

Crayon brisé

Le crayon brisé. Un classique de la réfraction.

Crédit : B. Mollier

Les lois de la réflexion

Quelques définitions

Commençons par quelques définitions.

Définitions

Dioptre : on appelle dioptre la surface de séparation de deux milieux transparents à travers laquelle la lumière peut se réfracter, ou sur laquelle elle peut se réfléchir.

Miroir : on appelle miroir une surface formée d'un dépôt métallique, par exemple de l'argent ou de l'aluminium, déposé sur un support qui n'est pas lui-même traversé par la lumière. Il existe une différence majeure entre les miroirs "de salle de bain" et les miroirs utilisés dans les télescopes. En effet, le dépôt métallique est, dans le premier cas, déposé à l'arrière de la paroi en verre. Le verre protège alors le dépôt de l'usure et de l'oxydation. Cependant, avant et après la réflexion sur le dépôt métallique, la lumière traverse l'épaisseur de verre. Ce procédé ne peut être utilisé en astronomie. La traversée du verre cause des réflexions parasites, une perte de lumière et des aberrations chromatiques. Dans le cas des miroirs de télescope, le métal est donc déposé à l'avant de la paroi en verre. Celui-ci n'est alors plus protégé, obligeant à réaluminer régulièrement le miroir.

Différence entre un miroir de salle de bain et un miroir de télescope

La couche métallique d'un miroir de salle de bain est située derrière le verre, afin de la protéger des rayures, de l'usure et de la corrosion. Elle est placée devant le verre dans un miroir de télescope afin d'éviter l'apparition de réflexions parasites, d'aberrations chromatiques, et de limiter la perte de flux.

Crédit : ASM/B. Mollier

Point d'incidence : c'est le point de contact du rayon lumineux incident avec le dioptre ou le miroir.

Normale au dioptre : il s'agit de l'axe perpendiculaire au dioptre, passant par le point d'incidence.

Plan d'incidence : le plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre est appelé plan d'incidence. Notez que ce plan est perpendiculaire au dioptre ou au miroir.

Angle d'incidence : c'est l'angle entre le rayon incident et la normale au plan.

Miroir plan

Crédit : ASM/B. Mollier

Dioptre plan

Crédit : ASM/B. Mollier

Mise en évidence

Matériel

Nous disposons d'un miroir plan (M) au centre d'un disque gradué. A l'aide d'une source délivrant un mince pinceau lumineux (un laser par exemple), nous éclairons (M) suivant l'axe .

Objectif

Le but de cette simulation est d'établir une loi liant l'angle incident et l'angle réfléchi.

Énoncé des lois de la réflexion

Soit un rayon lumineux, issu de , parvenant au point d'incidence d'un miroir plan parfaitement réfléchissant.

Lois de la réflexion

La direction du rayon réfléchi est donnée par la première loi de Descartes :

Le rayon appartient au plan d'incidence
L'angle de réflexion est égal à l'opposé de l'angle d'incidence

Réflexion sur un miroir plan

Crédit : B. Mollier

Exercices

Auteur: B. Mollier

Dièdre

Difficulté : ☆ Temps : 5 min

En laboratoire, pour renvoyer la lumière d'où elle vient (c'est-à-dire lui faire faire demi-tour), on utilise un dièdre. C'est un système composé de deux miroirs plans collés l'un à l'autre avec un angle de 90° (voir schéma ci-dessous).

Question 1)

Soit un rayon incident. Tracez le rayon réfléchi par le dièdre.

Dièdre

Crédit : ASM / B. Mollier

Auteur: B. Mollier

De l'utilité du dièdre

Difficulté : ☆☆ Temps : 5 min

Nous allons démontrer l'affirmation ci-dessus.

Question 1)

Soit un rayon incident arrivant avec un angle incident i_1 quelconque sur la première face du dièdre. Prouver que, quel que soit la valeur de i_1 , le rayon réfléchit repartira parallèlement au rayon incident.

Les lois de la réfraction

Mise en évidence (1/3)

Matériel

On dispose de deux MHTI d'indice n_1 et n_2 . Un rayon incident issu de arrive sur le dioptre les séparant en .

Objectif

Le but de cette simulation est d'établir une loi liant l'angle incident et l'angle réfracté.

Mise en évidence (2/3)

Matériel

On dispose de deux MHTI d'indice n_1 et n_2 . Un rayon incident issu de arrive sur le dioptre les séparant en .

Objectif

Le but de cette simulation est d'établir une loi liant l'angle incident et l'angle réfracté.

Rappel

Nous venons de voir à la page précédente que :

deux rayons sont issus du point d'incidence, le rayon réfléchi et le rayon réfracté,
l'angle réfléchi est l'opposé de l'angle incident :
l'angle réfracté n'est pas proportionnel à l'angle incident,
il l'est presque pour les faibles valeurs de .

Simulation

Cliquez cette fois-ci sur "Calcul des angles , , "
Les deux graphiques représentent les angles et en fonction de
On retrouve bien la première loi de Descartes concernant l'angle réfléchi
La loi n'est clairement pas linéaire.
Effacer le graphique et relancer cette simulation, en cochant cette fois-ci les cases $\sin(i_1)$ et $\sin(i_2)$
La deuxième fenêtre représente cette fois $\sin(i_2)$ en fonction de $\sin(i_1)$
Ah, cette fois, la courbe est une droite

QCM

1) On en déduit donc que :
i_2

est proportionnel à i_1

$\sin(i_2)$ est proportionnel à $\sin(i_1)$
$\sin(i_2) = k \times \sin(i_1)$

Remarque

Lorsque les angles sont faibles, ils sont presque égaux à leur sinus (exprimé en radian). Donc lorsque i_1 et i_2 sont petits :

$\sin(i_1) \approx i_1$
$\sin(i_2) \approx i_2$
$i_2 \approx k \times i_1$

On retrouve le fait que la loi est presque linéaire pour les faibles angles.

Mise en évidence (3/3)

Matériel

On dispose de deux MHTI d'indice n_1 et n_2 . Un rayon incident issu de arrive sur le dioptre les séparant en .

Objectif

Le but de cette simulation est d'établir une loi liant l'angle incident et l'angle réfracté.

Rappel

Nous venons de voir aux pages précédentes que :

deux rayons sont issus du point d'incidence, le rayon réfléchi et le rayon réfracté,
l'angle réfléchi est l'opposé de l'angle incident :
les angles réfracté et incident sont reliés par la relation $\sin(i_2) = k \times \sin(i_1)$

Il est temps de conclure.

Exercice

On vient de voir que $\sin(i_2)$ est proportionnel à $\sin(i_1)$ , proportionnel à n_1 et inversement proportionnel à n_2 . Sur l'appliquette, calculer la pente de la courbe $\sin(i_2) = k \times\sin(i_1)$ . Comparez-la au rapport $\frac{n_1}{n_2}$ .

Question 1)

Qu'en déduisez-vous ?

Lois de la réfraction

Résumons ce que nous venons de constater.

Simulation

Considérons le rayon incident, issu de , se propageant dans le MHTI d'indice n_1 . Au point I appartenant au dioptre, il subit une déviation et une réflexion partielle. Le rayon réfracté se propage dans le MHTI, d'indice n_2 , et le réfléchi, dans le MHTI d'indice n_1 .

On énonce ainsi les lois de Snell-Descartes :

Les rayons réfléchi et réfracté appartiennent au plan d'incidence.
L'angle de réfraction est relié à par la relation
$n_2\sin(i_2)=n_1\sin(i_1)$
et l'angle de réflexion par
$r\ =\ -i_1$

Réfraction au passage d'un dioptre

$loi-snell-descartes-refraction.png$

Crédit : B. Mollier

Conséquences

Le rayon réfracté se rapproche de la normale quand il passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent. À l'inverse, il s'en éloigne s'il passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent.

Écartement du rayon en fonction de la réfringence du milieu

Crédit : B. Mollier

Réfraction limite

Nous allons maintenant étudier un cas limite du phénomène de réfraction.

Simulation

Démarrez l'appliquette sur les lois de Snell-Descartes, et placez vous dans le cas où n_1 > n_2 . C'est par exemple le cas lorsqu'un rayon lumineux émerge de l'eau ou du verre pour se retrouver dans l'air.

Exercice

Augmentez l'angle d'incidence.

Question 1)

Que se passe-t-il ?

Conclusion

Lors du passage d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, on constate que lorsque i_2 varie de 0 à 90°, i_1 ne varie que de 0 à $i_{1\text{max}} = \arcsin(\frac{n_2}{n_1})$ . Tout rayon incident arrivant au niveau du dioptre avec un angle supérieur à celui-ci sera totalement réfléchi. Il ne sera pas réfracté ! C'est ce qu'on appelle le phénomène de réflexion totale. Nous allons le voir, ce phénomène est utilisé dans plusieurs systèmes optiques.

Exercices

Auteur: B. Mollier

Petits calculs

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

On dispose d'un aquarium et d'un laser.

Question 1)

Le rayon issu du laser arrive avec un angle d'incidence de 50° à la surface de l'eau. Calculer l'angle réfléchi et l'angle réfracté.

Question 2)

On plonge cette fois-ci le laser dans l'eau (oui, il est étanche). L'angle d'incidence est de 35°. Calculez l'angle réfracté avec lequel émerge le rayon laser. Commentez.

Prisme à réflexion totale

Difficulté : ☆ Temps : 5 min

Dans certains instruments optiques, comme les jumelles par exemple, on utilise un prisme plutôt qu'un miroir, pour réfléchir les rayons lumineux. Ils ont l'avantage de ne pas s'oxyder et d'être plus solides.

Prisme à réflexion totale

Crédit : ASM/B. Mollier

Ces prismes possèdent un angle au sommet () de 90°. Le rayon lumineux entre par une petite face ( sur le dessin), se réfléchit sur la grande face, ou base , puis ressort par l'autre face.

Question 1)

Calculer l'indice minimal du verre permettant une réflexion totale sur la base.

Un inconvénient du prisme...

Difficulté : ☆☆ Temps : 15 min

Lorsque le rayon incident arrive perpendiculairement à la face d'entrée, il ressort perpendiculairement à celle de sortie. Il a donc "tourné" de 90°. Mais cela fonctionne-t-il pour n'importe quel angle d'incidence ?

Question 1)

Pas de mystère, la réponse est non. Mais démontrez-le.

Exercice : le pentaprisme

Pentaprisme

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

L'inconvénient du prisme précédent est que dès que le rayon lumineux n'arrive plus perpendiculaire à la face d'entrée, l'angle de déviation n'est plus de 90°. Pour garantir un angle de déviation de 90° quel que soit l'angle d'incidence, on utilise un pentaprisme.

Pentaprisme

Crédit : ASM/B. Mollier

Utilisation d'un pentaprisme

Utilisation d'un pentaprisme pour l'alignement du banc d'interférométrie FLUOR, situé à l'observatoire du Mont Wilson, en Californie.

Crédit : E. Lhomé (avec son aimable permission)

Ce prisme est constitué de 5 faces. Les faces d'entrée et de sortie sont à 90° l'une de l'autre, comme dans le cas précédent. La face où le rayon se réfléchit est remplacée par 3 autres faces. Deux serviront à la réflexion, la dernière n'est pas utilisée. Le prisme est symétrique par rapport à l'axe .

Question 1)

Calculez la valeur que doit prendre l'angle $\alpha$ pour garantir une déviation de 90° quel que soit l'angle d'incidence.

Pentaprisme

Crédit : ASM/B. Mollier

Application : les fibres optiques

Nous avons vu précédemment le phénomène de réflexion totale. Ce phénomène, très intéressant, utilisé dans les jumelles, est à la base des réseaux de communication actuels, car il est utilisé dans les fibres optiques.

Qu'est-ce qu'une fibre optique ?

Une fibre optique peut être vue comme un tuyau de lumière. La lumière se propage dans celle-ci, sans s'échapper. On peut alors transporter de la lumière d'un point A à un point B comme on le ferait avec de l'eau.

Une fibre optique est composé d'un coeur, d'indice n_1 , et d'une gaine, moins réfringente, d'indice n_2 < n_1 .

Le coeur étant plus réfringent que la gaine, une réflexion totale sera possible. Pour que la lumière reste confinée dans le coeur et soit guidée par la fibre, il faut justement se situer dans ce cas de réflexion totale.

Comment obtenir une réflexion totale ?

A l'interface coeur-gaine, on obtient ainsi une condition sur l'angle d'incidence que doit avoir la lumière, pour rester confinée dans le coeur.

$i_1 \ge \arcsin(\frac{n_2}{n_1})$

Or, le rayon lumineux vient de l'extérieur. Il subit donc également une réfraction au passage de l'air vers le coeur à son entrée dans la fibre. En appliquant une fois de plus les lois de la réfraction, on obtient :

$\sin\theta = n_1.\sin(\frac{\pi}{2}-i_1)$ soit $\sin\theta = n_1\cos i_1$ .

d'où l'angle limite $\theta_\text{L}$ pour que la lumière rentre dans la fibre et soit guidée :

$\theta_\text{L} = \arcsin\sqrt{n_1^2-n_2^2}$

Simuler

Propagation d'un rayon lumineux dans un fibre optique

Conséquences

Si $\theta \le \theta_\text{L}$ , la lumière sera guidée.
Si $\theta > \theta_\text{L}$ , la lumière ne sera pas guidée.

$\theta_\text{L}$ est appelé l'ouverture numérique de la fibre.

Plus le coeur est réfringent, plus l'ouverture numérique est importante
À l'inverse, si l'indice du coeur tend vers celui de la gaine, l'ouverture numérique tend vers zéro. La lumière n'est plus guidée.

Construction géométrique

Laissons de côté, quelques instants, les calculs, pour faire un peu de dessin. Nous allons tenter de déterminer graphiquement la direction du rayon réfracté, sans employer de rapporteur.

Tracé de rayons

Après avoir tracé 2 cercles concentriques C_1 et C_2 de centre , et de rayon n_1 et n_2 respectivement, repérons l'intersection M_2 du rayon incident avec le cercle C_2 . Soit le projeté de M_1 sur le dioptre. On définit M_2 le point d'intersection de la droite avec le second cercle. Étant donné que $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2=IH$ , la droite IM_2 indique la direction du rayon réfracté.

Construction à la règle et au compas

Crédit : B. Mollier

Exercice : une histoire de pièce

Auteur: B. Mollier

Une histoire de pièce...

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 30 min

On jette une pièce au fond d'une piscine vide. Cette première se trouve à 80 cm du bord de la seconde. La profondeur de la piscine est de 2 m. Une personne, mesurant 1,70 m se trouve à 85 cm du bord.

Crédit : ASM/B. Mollier

Question 1)

Cette personne voit-elle la pièce au fond de la piscine ?

Question 2)

On remplit la piscine d'eau. Quelle doit être sa hauteur minimale pour apercevoir la pièce ?

Question 3)

Notre cerveau ne perçoit pas le changement de direction du rayon lumineux. Il a l'impression que celui-ci se déplace toujours en ligne droite. On a donc l'impression de voir la pièce moins profonde qu'elle ne l'est réellement. Quelle est alors la hauteur d'eau que l'on a l'impression de voir ?

Crédit : ASM/B. Mollier

Applications : Milieux d'indice variable

Milieux d'indice variable

Nous allons ici abandonner quelques instants le H de MHTI pour étudier des milieux à indice variable.

Nous avons tous déjà observé des phénomènes de mirage optique.

La fameuse flaque d'eau, que l'on aperçoit sur les routes goudronnées et pourtant sèches en été. Ce n'est que le reflet du ciel sur la route surchauffée.
En bord de mer, par temps chaud, si la mer est froide, il est parfois possible d'apercevoir une île ou un voilier pourtant situé derrière l'horizon, ou d'en voir deux images l'une au dessus de l'autre.
En février ou en novembre, il est parfois possible de voir, depuis Marseille, le Soleil se coucher derrière le mont Canigou, alors que celui-ci est normalement invisible. En effet, d'après le principe de propagation rectiligne de la lumière, les rayons issus de cette montagne passeraient à plusieurs dizaines de mètres sous la Méditerranée.

Nous allons voir que tous ces phénomènes impliquent des changements d'indice de l'atmosphère dus à des changements de température. Nous n'aborderons ces phénomènes que de manière qualitative.

Approche du phénomène

Un milieu d'indice variable peut-être vu comme la superposition d'une multitude de couches de MHTI d'indices différents. Si un rayon se propage des indices les plus grands vers les plus faibles, à chaque passage d'un milieu à un autre, il s'éloigne de la normale jusqu'à être réfléchi puis repartir vers les milieux à fort indice. Il se retrouve ainsi dans la situation inverse, en se rapprochant de plus en plus de la normale.

Indice variable

Crédit : B. Mollier

Conclusion

Dans un milieu d'indice variable, le rayon tourne toujours sa courbure vers les indices élevés.

Les mirages

Muni de ce résultat, voyons si nous pouvons expliquer les mirages.

Sur la route des vacances...

En été, la route exposée au Soleil chauffe. Sa température devient plus élevée que celle de l'air environnant. Elle chauffe à son tour l'air ambiant, plus frais. On obtient alors un gradient de température au dessus de la route. La température diminue avec l'altitude, et augmente quand on se rapproche de la route. L'air chaud possède un indice de réfraction plus faible que l'air frais. (On peut voir ça de la manière suivante : pour un même volume, l'air chaud contient moins de particules que l'air froid, c'est pour ça qu'il est plus léger et fait s'envoler les montgolfières. Comme il y a moins de particules, il se rapproche plus du vide et donc son indice tend vers 1). La lumière tourne donc sa courbure vers le haut et les indices élevés. Un rayon issu du ciel se rapproche de la route, est lentement dévié puis finalement réfléchi et repart vers le haut et l'oeil de l'automobiliste. On voit donc le ciel en bas.

Crédit : B. Mollier

... en arrivant à la plage.

Dans le cas de la mer, le phénomène est inverse. La mer plus froide refroidit localement l'air. Il y a un gradient de température du plus froid au niveau de l'eau, au plus chaud en altitude. Un rayon partant d'une île, ou du Canigou, se réfléchit sur l'atmosphère et retombe vers l'observateur. L'île apparaît.

Crédit : B. Mollier

La turbulence atmosphérique

Turbulence atmosphérique

Nous venons de le voir, une variation de la température provoque une variation d'indice optique.

Or, lorsque la lumière issue d'une étoile arrive au niveau de la Terre, elle traverse différentes couches d'atmosphère à différentes températures. L'atmosphère est un milieu inhomogène !

Ces variations d'indice dévient les rayons lumineux issus de l'étoile. Mais elles ne les dévient pas de la même manière en fonction de là où ils passent. L'image de l'étoile est déformée !

L'atmosphère contient de nombreuses bulles de température et donc d'indice optique différents. Ces bulles se déplacent au gré des vents. Elles dévient aléatoirement les rayons lumineux, provoquant le scintillement des étoiles. C'est la turbulence atmosphérique.

Crédit : ASM/B. Mollier

À l'oeil, on voit alors les étoiles scintiller. Au télescope, une succession de poses courtes révèle la présence de tavelures, c'est-à-dire plein de taches qui bougent. Toutes ces tavelures sont autant d'images de l'étoile, ayant traversé différentes parties de l'atmosphère.

Tavelures

Tavelures (ou speckles en anglais), enregistrées par lors d'une pose courte (image de gauche, en vidéo inverse) ou longue (image de droite).

Crédit : ESO

Conclusion

Lois de Snell-Descartes

Après quelques définitions sur les dioptres et les miroirs nous avons vu les lois de Snell-Descartes.

Au passage d'un dioptre, les rayons incident, réfracté et réfléchi, ainsi que la normale au dioptre, appartiennent au même plan, appelé plan d'incidence.
L'angle réfléchi est l'opposé de l'angle d'incidence : .
Les angles incident et réfracté sont liés par la relation $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$ , et étant les indices optiques des milieux 1 et 2.

Déviation

Lorsque qu'un rayon lumineux passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, il se rapproche de la normale au dioptre.

Lorsque qu'un rayon lumineux passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, il s'éloigne de la normale au dioptre. Dans ce cas, à partir d'un certain angle critique, il est totalement réfléchi. Les fibres optiques exploitent ce phénomène appelé réflexion totale.

Milieux d'indice variables

Mirages et turbulences atmosphériques sont dus à des inhomogénéités d'indice dans l'atmosphère, conséquences d'inhomogénéités de température.

Les lois de Snell-Descartes

Introduction

Introduction

Prérequis

Les lois de la réflexion

Quelques définitions

Définitions

Mise en évidence

Matériel

Objectif

Simulation

QCM

QCM

Énoncé des lois de la réflexion

Lois de la réflexion

Exercices

Dièdre

De l'utilité du dièdre

Les lois de la réfraction

Mise en évidence (1/3)

Matériel

Objectif

Simulation

QCM

QCM

Mise en évidence (2/3)

Matériel

Objectif

Rappel

Simulation

QCM

Remarque

Mise en évidence (3/3)

Matériel

Objectif

Rappel

Simulation

QCM

Il est temps de conclure.

Exercice

Lois de la réfraction

Simulation

Conséquences

Réfraction limite

Simulation

Exercice

Conclusion

Exercices

Petits calculs

Prisme à réflexion totale

Un inconvénient du prisme...

Exercice : le pentaprisme

Pentaprisme

Application : les fibres optiques

Qu'est-ce qu'une fibre optique ?

Comment obtenir une réflexion totale ?

Simuler

Conséquences

Construction géométrique

Tracé de rayons

Exercice : une histoire de pièce

Une histoire de pièce...

Applications : Milieux d'indice variable

Milieux d'indice variable

Approche du phénomène

Conclusion

Les mirages

Sur la route des vacances...

... en arrivant à la plage.

La turbulence atmosphérique

Turbulence atmosphérique

Conclusion

Lois de Snell-Descartes

Déviation

Milieux d'indice variables

Réponses aux QCM

QCM

QCM

QCM

QCM