Qu'est-ce qu'un miroir sphérique ?

Qu'est-ce qu'on appelle un miroir sphérique ? Comme son nom l'indique, c'est un miroir. C'est-à-dire une portion de verre recouverte d'une surface métallique réfléchissante. Mais nous venons de le voir dans l'introduction, il ne s'agit pas d'un miroir plan. En effet, celui-ci est découpé dans une portion sphérique de verre.

Portion de sphère

Un miroir sphérique est une portion de sphère (un morceau de boule de cristal creuse) sur laquelle est déposée une couche métallique réfléchissante.

Crédit : ASM/B. Mollier

Portion de sphère

Un autre découpage possible.

Crédit : ASM/B. Mollier

Remarque

En pratique, les miroirs sont rarement taillés dans des portions de sphère. Ils sont découpés dans des paraboloïdes de révolution (miroirs paraboliques) ou dans des hyperboloïdes de révolution (miroirs hyperboliques). Cependant, en première approximation, nous pourrons les considérer comme sphériques.

Miroir parabolique

En coupant une portion d'un paraboloïde de révolution, on obtient un miroir parabolique. C'est le cas de nombreux miroirs comme les miroirs primaires des télescopes, ou la parabole pour capter le satellite.

Crédit : ASM/B. Mollier

Miroir hyperbolique

En coupant une portion d'un hyperboloïde de révolution, on obtient un miroir hyperbolique. C'est le cas de certains miroirs secondaires de télescopes.

Crédit : ASM/B. Mollier

Deux types de miroirs ?

On voit qu'il est possible d'aluminer soit l'intérieur, soit l'extérieur de la sphère. On obtient alors deux types de miroirs :

• Un miroir concave, si on alumine l'intérieur de la sphère
• Un miroir convexe, si on alumine l'extérieur de la sphère

Quelques exemples

On retrouve ces miroirs dans la vie quotidienne. Les miroirs convexes par exemple, sont maintenant utilisés dans les rétroviseurs extérieurs des voitures, ou pour les miroirs que l'on dispose à la sortie des garages ou à certaines intersections où la visibilité est nulle. Les miroirs concaves se retrouvent dans certaines salles de bain ou miroirs de poche.

Miroir d'intersection

Un miroir convexe, à la sortie d'un porche, afin de pouvoir voir si un véhicule arrive.

Crédit : B. Mollier

Miroir de salle de bain

Deux exemples de miroirs de salle de bain (pris dans un vitrine rue de Babylone à Paris). À droite, un miroir plan, comme étudié au chapitre sur les lois de Snell-Descartes ; à gauche, un miroir concave. Notez l'inversion de l'image, à gauche, et la différence de mise au point.

Crédit : B. Mollier

Prenons une petite cuillère...

Prenons une petite cuillère. Regardons-la attentivement. Son dos est convexe, son creux est concave. On a à notre disposition les deux types de miroirs.

Y aller avec le dos de la cuillère

Si nous nous regardons dans le dos de la cuillère que voyons nous ? Notre reflet, plus petit et à l'endroit. Rapprochons ou éloignons-la. On obtient toujours la même chose.

Dos de la cuillère

Sur le dos de la cuillère, convexe, l'image est droite.

Crédit : B. Mollier

Si on l'éclaire avec le faisceau lumineux d'une lampe torche et que l'on place un écran à proximité, on aura beau faire toutes les contorsions possibles, jamais nous n'arriverons à voir l'image de ce faisceau sur l'écran. Au contraire, il diverge.

Cela ne vous rappelle rien ? Ça ressemble un peu au comportement de la lentille divergente, non ? Alors peut-être qu'en retournant la cuillère, on retrouvera l'équivalent d'une lentille convergente...

Le creux de la cuillère

Regardons nous maintenant dans le creux de celle-ci. Ah ? Cette fois, notre reflet est à l'envers. Rapprochons-la. Notre image grossit puis se retourne. Notre reflet est à l'endroit et grossit. Bon, d'accord, ça ne marche pas avec toutes les cuillères. Il faut en général se rapprocher beaucoup et se contenter de l'image de notre oeil. Dans ce cas, prenez un miroir de poche.

Creux de la cuillère

Dans le creux de la cuillère, concave, l'image est inversée.

Crédit : B. Mollier

Et si on reprend la lampe torche, cette fois, le faisceau converge et on peut en faire l'image sur un écran, comme une lentille convergente.

Conclusion

On vient de mettre en évidence quelques propriétés des miroirs sphériques :

• Un miroir convexe fait diverger un faisceau lumineux. Il possède un comportement similaire aux lentilles divergentes.
• Un miroir concave fait converger un faisceau lumineux. Il possède un comportement similaire aux lentilles convergentes.

Miroir concave ou convergent

• Un miroir concave, comme son nom l'indique, est concave. On a aluminé l'intérieur de la sphère.
• Il est convergent.
• Tout rayon arrivant sur le miroir se rapproche de son axe de symétrie, appelé axe optique.
• On le schématise ainsi : Le trait plein du côté de la métallisation, les hachures du côté du verre, les bords vers le métal.
• Un miroir de salle de bain ou de poche, le miroir primaire d'un télescope, un four solaire constituent quelques exemples de miroirs concaves.

Crédit : ASM/B. Mollier

Miroir convexe ou divergent

• Une miroir convexe, comme son nom l'indique, est convexe. On a aluminé l'extérieur de la sphère.
• Il est divergent.
• Tout rayon arrivant sur le miroir s'éloigne de l'axe optique.
• On le schématise ainsi : Le train plein du côté de la métallisation, les hachures du côté du verre, les bords vers le verre.
• Un rétroviseur, un miroir de sortie de garage, ou un miroir placé sur un téléphone portable afin de se prendre en photo constituent quelques exemples de miroirs convexes.

Crédit : ASM/B. Mollier

Géométrie d'un miroir sphérique

Un miroir sphérique est découpé dans une sphère. Appelons le centre de cette dernière.

Notons au passage le point , sommet du miroir, c'est-à-dire l'intersection de l'axe optique (l'axe de symétrie du miroir) avec le miroir.

Centre et sommet d'un miroir sphérique

Le centre du miroir est le centre de la sphère dans laquelle il est découpé. Il est en avant du miroir dans le cas du miroir concave, en arrière dans le cas convexe. Le sommet du miroir est l'intersection de l'axe optique avec celui-ci.

Crédit : ASM/B. Mollier

Propriété des rayons passant par le centre C

Tout rayon lumineux passant par le centre du miroir est rayon de la sphère. Que se passe-t-il quand il atteint le miroir ? Il arrive perpendiculairement à la tangente au miroir. Donc, localement, tout se passe comme si le rayon lumineux incident tombait à la verticale d'un miroir plan. Possédant un angle d'incidence nul, il repart d'où il vient (cf lois de Snell-Descartes). Il repasse par le centre.

Rayon passant par le centre

Un rayon passant par le centre revient par le même chemin.

Crédit : ASM/B. Mollier

Bref, tout rayon incident passant par le centre d'un miroir est confondu avec son rayon réfléchi.

Propriété des rayons passant par le sommet S

Le sommet appartient à l'axe de symétrie du système. Donc, si un rayon incident arrive en , son rayon réfléchi sera son symétrique par rapport à l'axe optique.

Foyer principal image

Le foyer principal image est le point image d'un point objet situé à l'infini sur l'axe optique.

Remarques

Ce point peut être réel (cas du miroir concave) ou virtuel (cas du miroir convexe).

Définition

Le foyer principal objet est l'antécédent d'un point image situé à l'infini sur l'axe optique.

Remarques

Ce point peut être réel (cas du miroir concave) ou virtuel (cas du miroir convexe).

Distance focale

On appelle distance focale image la distance séparant le sommet du miroir au foyer image . On la note . C'est une quantité algébrique, c'est-à-dire qu'on la compte positivement dans le sens de propagation de la lumière incidente. est négative dans le cas d'un miroir concave, et positif dans le cas d'un miroir convexe.

Remarquons tout de suite que, comme les foyers image et objet sont confondus, la distance focale objet , distance entre le sommet et le foyer principal objet , est égale à la distance focale image . Nous parlerons alors indifféremment de distance focale image et objet sous le terme distance focale.

Distance focale

En vert, on définit la distance focale comme étant la distance du sommet du miroir au foyer principal . Notez le sens de la flèche. Dans le cas d'un miroir convexe, elle est dans le même sens que celui de la propagation de la lumière incidente. Cette distance est alors positive. Dans le cas du miroir concave, cette flèche est dans le sens opposé à la propagation de la lumière incidente. Cette distance est négative. Pour plus d'informations sur ces notions de distances positives et négatives, relisez cette page.

Crédit : ASM/B. Mollier

Vergence

Comme au chapitre précédent, on définit la vergence comme étant l'inverse de la distance focale image.

Elle s'exprime toujours en ou encore en dioptrie (noté ).

Un peu de pliage

Reprenons un des dessins que nous avons faits au chapitre précédent. Celui de la lentille convergente par exemple. Plions-le le long de la lentille. Une fois plié, ce dessin ne ressemble-t-il pas comme deux gouttes d'eau à celui du miroir concave ? Et si on fait de même avec une lentille divergente, ne retrouve-t-on pas le miroir convexe ? Quand je vous disais que c'était la même chose.

Partons d'une lentille convergente...

On reprend le tracé d'une image à travers une lentille convergente construit au chapitre précédent.

Crédit : ASM/B. Mollier

... Plions le dessin...

On plie le dessin le long de la lentille.

Crédit : ASM/B. Mollier

... On obtient un miroir concave

Une fois le dessin plié, les foyers se superposent, l'image passe de l'autre côté... On obtient un miroir concave.

Crédit : ASM/B. Mollier

• En pliant notre dessin, les foyers objet et image se superposent, comme dans le cas des miroirs.
• Au moment du pliage, la distance focale image (et seulement elle) est inversée, expliquant le changement de signe par rapport au chapitre précédent. En effet, le foyer principal image passe de l'autre côté de la lentille au moment du pliage.
• Le rayon non dévié passant par le centre ? C'est désormais celui passant par le sommet.

Espace objet/image réel/virtuel

On appelle espace image réelle la zone de l'espace où l'image formée sera réelle. Dans le cas d'une lentille mince, c'est la partie de l'espace située en aval de la lentille.

On définit de la même manière l'espace image virtuelle la partie où cette image sera virtuelle. Dans le cas d'une lentille, c'est la portion de l'espace située en amont de la lentille.

En continuant ainsi, on définit également l'espace objet réel, où l'objet est réel pour le système optique, et l'espace objet virtuel où celui-ci sera virtuel. Dans le cas d'une lentille, ils se situent respectivement en amont et en aval de la lentille.

Dans le cas des miroirs sphériques, au vu de notre pliage, espaces objet réel et virtuel sont inchangés. Par contre espaces image virtuelle et réelle sont intervertis.

Espaces objet/image réel/virtuel

Où trouver un objet ou une image réelle ? virtuelle ? Pour une lentille (et un miroir sphérique), l'espace objet réel est en amont de celle-ci, l'espace objet virtuel étant en aval. Pour une lentille, l'espace image réelle est en aval et l'espace image virtuelle en amont. Dans le cas d'un miroir sphérique, ces deux derniers espaces sont inversés.

Crédit : ASM/B. Mollier

Philosophie des pages à venir

Nous disposons de tous les outils et de l'expérience acquise avec les lentilles pour aborder les constructions géométriques avec les miroirs sphériques. Afin d'éviter un long copier-coller, ainsi qu'un inventaire à la Prévert de tous les cas possibles, comme au chapitre précédent, je me contenterai de donner le premier exemple et laisserai en exercice les cas suivants.

Traçons l'image d'un objet obtenue avec un mirroir concave

On dispose d'un objet en amont d'un miroir concave et de son foyer objet. On cherche à tracer son image réfléchie.

1. On trace le rayon issu de et passant par . Il revient par le même chemin.
2. Il nous faut un deuxième rayon pour obtenir l'image de . En effet, dans les conditions de stigmatisme approché, deux rayons suffisent à définir un point image. On a le choix entre trois autres rayons. On trace par exemple le rayon issu de et parallèle à l'axe optique. Il se réfléchit sur le miroir en passant par le foyer principal image . Il croise le premier rayon en , image de par le miroir.
3. Par acquit de conscience, traçons un troisième rayon, et vérifions qu'il passe bien par . Traçons le rayon issu de et passant par le foyer principal objet . Il ressort parallèle à l'axe optique. On vérifie ainsi qu'il passe effectivement par le point
4. Et de 4 ? On trace le rayon issu de et se réfléchissant au sommet . On trace alors son symétrique par rapport à l'axe optique. Et oui, il passe également par . Ouf !
5. Il reste à tracer l'image du point . On ne peut utiliser la même méthode que le point car tous ces rayons sont identiques et confondus avec l'axe optique. Comment s'en sortir alors ? Utilisons la propriété d'aplanétisme. Par construction, est perpendiculaire à l'axe optique. L'image l'est également. est donc le point de l'axe optique à la verticale de . Le tour est joué.

Construction géométrique

Crédit : B. Mollier

Remarques

• L'image est inversée. On retrouve le cas du dos de la cuillère dans l'exemple décrit précédemment.
• L'image est réelle car à l'avant du miroir.

Comme promis, bah... c'est à vous de jouer ! Ah zut, il n'a pas oublié. Et non !

Grandissement

La définition du grandissement dans le cas d'un miroir sphérique est la même que pour les lentilles minces. Il s'agit du rapport entre la taille de l'image et celle de son antécédent .

Expression du grandissement avec origine au sommet

En appliquant le théorème de Thalès, on trouve immédiatement que :

Remarque

Connaissant la distance de l'objet et de l'image par rapport au sommet , il est donc possible de calculer la taille de l'image.

Grandissement : origines aux foyers

Et si on ne connaît pas la position de l'image ? Nous allons utiliser les foyers. En appliquant cette fois-ci le théorème de Thalès deux fois avec deux rayons différents, on obtient :

En introduisant les distances focale objet et image , on obtient :

Crédit : ASM/B. Mollier

Et voilà, connaissant la distance focale et la distance de l'objet, on peut calculer le grandissement.

Relation de conjugaison de Newton (origines aux foyers)

Remarquons qu'à partir de ces deux formules, on va pouvoir calculer la distance de l'image.

Nous venons d'établir la relation de conjugaison de Newton. Elle est aussi appelée relation de conjugaison avec origine au foyer, car les distances de l'objet et de l'image sont comptées à partir des foyers principaux.

Remarque

Au signe près, elle est identique à celle des lentilles minces.

Aurait-on pu retrouver cette relation justement à partir de celle établie au chapitre sur les lentilles ? Oui, si on se souvient qu'il suffit de "plier" notre dessin pour passer des lentilles aux miroirs. Le pliage change le signe de . Ce qui explique la perte du signe dans la relation de conjugaison de Newton.

Une autre relation de conjugaison

Nous pouvons également obtenir une relation similaire, avec origine au sommet du miroir cette fois-ci. En partant de la formule du grandissement :

Relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)

On obtient ainsi la relation de conjugaison de Descartes :

Notations

Remarque, on note parfois les distances et respectivement et .

Là encore, les 2 relations de Descartes pour les lentilles et les miroirs ne se distinguent que par un signe . Le pliage, qui affecte tout ce qui se passe "à droite" de la lentille, change le signe de toutes les grandeurs algébriques situées en son aval. On change donc en et en ...

Si vous vous souvenez de la relation donnée quelques pages plus tôt : , on peut trouver d'autres relations de conjugaison.

Relation de conjugaison avec origine au centre

Partant de la relation de conjugaison de Descartes, avec origine au sommet, on obtient d'abord :

Puis en appliquant les relations de Chasles et , on montre que :

Remarque

On a établi plusieurs relations de conjugaison. vous n'êtes pas obligé de toutes les connaître. Une suffit. Apprenez celle avec laquelle vous vous sentez le plus à l'aise. De toutes façons, les autres se déduiront de la vôtre, ou se retrouvent à l'aide de petits dessins.

Que se passe-t-il si on prend un miroir sphérique et qu'on fait tendre son rayon de courbure vers l'infini ? Il devient plat.

Nous devrions donc pouvoir retrouver les propriétés du miroir plan à partir de celle du miroir sphérique, en faisant tendre vers l'infini.

La première conséquence est que la distance focale tend également vers l'infini, puisqu'elle vaut la moitié de .

Grandissement

et tendent vers l'infini. Or comme , la longueur devient très vite négligeable devant les deux autres. D'où et donc le grossissement tend vers 1.

On retrouve bien le fait que notre image dans un miroir a la même taille et est dans le même sens.

Position de l'image

Où se situe l'image ? Prenons la relation de conjugaison de Descartes. Si la distance focale tend vers l'infini, alors . On a donc :

soit

.

L'objet et l'image sont équidistants du miroir.

Conclusion

En faisant tendre le rayon de courbure vers l'infini, nous venons de démontrer que le miroir plan possède un grandissement de 1, et que image et objet sont équidistants du miroir, autrement dit, ils sont symétriques l'un de l'autre.

Les miroirs

Nous venons de voir qu'il existait 2 types de miroirs sphériques : des miroirs concaves, comme un miroir de poche par exemple, qui ont la propriété de faire converger un faisceau lumineux ; des miroirs convexes, comme un rétroviseur, qui ont la propriété de faire diverger un faisceau lumineux.

Éléments cardinaux

Nous avons défini quatre points particuliers pour un miroir. Ces points sont appelés éléments cardinaux du miroir.

• Le centre , centre de la sphère dans laquelle est découpé le miroir.
• Le foyer principal image , image d'un point situé à l'infini sur l'axe optique ; le foyer principal objet , antécédent d'un point situé à l'infini sur l'axe optique. Ils sont confondus dans le cas du miroir sphérique.
• Le sommet , intersection du miroir avec l'axe optique.

Distance focale. Vergence

Les distances entre les points et sont appelées distances focales. Ce sont des données du miroir. Elles caractérisent la vergence du miroir, c'est-à-dire son pouvoir de dévier les rayons lumineux.

Tracés d'images

À l'aide de quatre rayons, il nous est désormais possible de tracer l'image d'un objet se reflétant sur le miroir. Le rayon lumineux passant par le centre revient sur lui-même, celui arrivant parallèle à l'axe optique ressort en croisant le foyer principal image, et celui passant par le foyer principal objet ressortira parallèle à l'axe optique. Enfin, le rayon frappant le miroir au sommet aura pour image son symétrique par rapport à l'axe optique.

Relations de conjugaison

Enfin, nous avons quelques relations qui nous permettront de calculer des tailles d'images, les distances où elles se forment et pourquoi pas des champs de vue et des grossissements. Ce sera pour bientôt.

BONUS : Le miroir plan

Et on vient de voir en prime qu'un miroir plan est un miroir sphérique de rayon de courbure infini.