La révolution des satellites de Jupiter

Auteur: Françoise Roques / Florence Henry

Introduction

Champ: Système Solaire

Temps: 2 à 3 heures, selon le niveau des élèves

Niveau: **

prerequisPrérequis

Savoir utiliser la règle de 3

objectifsObjectifs

Vous devrez être capable de déterminer la masse de Jupiter en mesurant les propriétés des orbites des satellites de Jupiter et en les analysant à l'aide de la troisième loi de Kepler.

Si vous apprenez à :

Vous pourrez :

introductionIntroduction

Contexte historique

On peut déduire certaines propriétés de corps célestes de leur mouvement même si on ne peut pas les mesurer directement. En 1543 Nicolaus Copernicus suppose que les planètes tournent sur des orbites circulaires autour du Soleil. Tycho Brahé observe soigneusement l'emplacement des planètes et de 777 étoiles pendant 20 ans en utilisant un sextant et un compas. Ces observations sont utilisées par Johannes Kepler, un étudiant de Tycho Brahé pour déduire de manière empirique trois lois mathématiques gouvernant l'orbite d'un objet par rapport à un autre. Pour une lune tournant autour d une planète, la troisième loi est

M=a^3/T^2

En 1609, l'invention du télescope par Galilée permet l'observation d'objets invisibles à l'oeil nu. Galilée découvre que Jupiter est entouré de 4 satellites. Il les observe longuement. Le système de Jupiter était particulièrement important par sa ressemblance avec le système des planètes orbitant autour du Soleil. Son étude a aidé à comprendre les mouvements dans le système solaire. Le système de Jupiter montrait que le modèle héliocentrique du système solaire proposé par Copernic était physiquement possible. Malheureusement, l'inquisition s'inquiéta de ses découvertes et Galilée fut forcé de se renier. Ce sont les observations de Galilée et les calculs de Kepler que vous allez refaire ici.


Documents

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Déroulement


Introduction

Nous allons observer les quatre lunes de Jupiter, vues au travers d'un télescope. Elles furent nommées Io, Europe, Ganymède et Callisto, par ordre de leur distance à Jupiter. Si vous regardez avec un petit télescope, vous verrez ceci

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Crédit : CLEA/Gettysburg College

Les lunes apparaissent alignées parce que le plan orbital des satellites est vu par la tranche. Avec le temps, les lunes bougent par rapport à Jupiter. Les lunes suivent une orbite à peu près circulaire mais on ne voit, de la Terre, que la projection du mouvement dans le plan du ciel. On ne peut pas connaître la distance de la lune à Jupiter mais seulement la distance apparente (cf. figure 1), autrement dit, la distance de la lune à la droite joignant Jupiter à la Terre (ligne de visée).

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Figure 1 : Géométrie de la troisième loi de Kepler
Crédit : CLEA/Gettysburg College

La distance de la lune à la ligne de visée en fonction du temps est une courbe sinusoïdale (cf. figure 2). En prenant assez de mesures de la position apparente de la lune, on peut ajuster une sinusoïde aux points de données et déterminer le rayon de l'orbite (l'amplitude de la courbe) et la période de l'orbite (la période de la sinusoïde). Quand vous connaissez le rayon et la période de l'orbite de cette lune, et que vous l'avez converti dans les bonnes unités, vous pouvez déterminer la masse de Jupiter en utilisant la troisième loi de Kepler. Vous déterminerez la masse de Jupiter pour chacune des quatre lunes. Les erreurs associées à chaque lune feront que les résultats seront différents d'une lune à l'autre.

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Figure 2 : Position apparente d'une lune
Crédit : CLEA/Gettysburg College

Le programme Jupiter simule l'utilisation d'un télescope contrôlé automatiquement et équipé d'une caméra CCD qui fournit une image vidéo sur l'écran de l'ordinateur. Le programme qui permet de faire ces mesures et d'ajuster le taux d'agrandissement de l'image du télescope est complexe mais il simule de façon réaliste cette expérience et vous permet de comprendre comment les astronomes collectent leurs données et contrôlent le télescope. Au lieu d'utiliser un télescope et d'observer les lunes de Jupiter pendant plusieurs jours, ce programme simule l'aspect des lunes telles que vous les verriez au télescope avec l'intervalle de temps que vous fixerez.


Stratégie

Les différentes actions à entreprendre dans cet exercice sont :


Utilisation du programme Jupiter


Procédure - 1

Lancez le programme et entrez vos noms en sélectionnant « Log in ». Chaque groupe d'élèves réalisera et enregistrera une session différente d'observations. Les dates de début d'observations de chaque groupe seront écrites au tableau. Notez sur la feuille de données les rendeignements vous concernant (groupe, année, mois, jour, nombre d'observations et intervalle entre chaque) puis sélectionner « Start » et entrez ces données dans le programme comme montré en section 4 de Utilisation du programme Jupiter.

Après avoir cliqué sur « OK », vous verrez apparaître la figure 3.

clea-moons.jpg
Figure 3 : Photo d'écran du logiciel en action
Crédit : CLEA/Gettysburg College

Jupiter est au centre de l'écran et les points de part et d'autres sont les lunes. Il arrive qu'une lune soit derrière Jupiter et ne soit donc pas visible. Même avec un très fort grossissement, elles sont beaucoup plus petites que Jupiter. Le grossissement effectif est affiché dans le coin gauche de l'écran. La date, le UT (Temps Universel) et J.D. (Diamètre de Jupiter) sont aussi donnés à l'écran.

Cliquez sur chaque lune pour connaître à quelle distance du centre de Jupiter se trouve la lune (l'unité est le diamètre de Jupiter). Vous pouvez vérifier que le bord de Jupiter est à 0.5 J.D. Pour mesurer précisément la position de chaque lune, choisissez l'agrandissement optimal qui laisse la lune sur l'écran. Si une lune est derrière Jupiter, notez 0 pour la distance de cette lune. Le tableau suivant montre un exemple d'enregistrement de données.

Exemple d'enregistrement
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
date heure jour Io Europe Ganymède Callisto
24/07 0.0 1.0 +2.95 +2.75 -7.43 +13.15
24/07 12.0 1.5 -0.86 +4.7 -6.3 +13.15

Procédure - 2

Enregistrez vos 18 lignes de données sur la feuille prévue à cet effet (1ère page de feuilles.pdf), en suivant le modèle du tableau précédent. Pour les positions, utilisez + pour Ouest et - pour l'Est. Si le programme donne comme position pour Europe x=2.75W, vous entrerez +2.75 dans la colonne (5).

Vous devez maintenant analyser les données. En portant les positions en fonction du temps, vos données vous permettront d'obtenir un graphe semblable au graphe de la figure 4 (ce dessin concerne une lune imaginaire appelée CLEA).

clea.jpg
Figure 4 : Graphique pour une lune imaginaire
Crédit : CLEA/Gettysburg College

Chaque point de la figure est une observation de la lune CLEA. Notez l'espacement irrégulier des points, dû au mauvais temps ou à un autre problème d'observation durant certaines nuits. La courbe continue joignant les points est ce que vous observeriez en réduisant assez l'intervalle de temps entre les observations. La forme de la courbe est une sinusoïde. Vous devez déterminer la sinusoïde qui s'ajuste le mieux à vos données pour déterminer les propriétés orbitales de chaque lune. Il faut se rappeler que :

La sinusoïde que vous dessinez doit donc être régulière. Elle doit passer par tous les points. Les valeurs des maxima doivent être constantes et la distance entre ces sommets doit être constante.

Les données de la lune CLEA permettent de déterminer le rayon et la période de l'orbite. La période est le temps mis pour aller d'un point à un point semblable sur la courbe. En particulier, le temps entre deux maxima est la période. Le temps entre deux croisements de l'axe horizontal (position =0) est la moitié de la période parce que c'est le temps que met le satellite pour aller de devant Jupiter à derrière Jupiter, (ou l'inverse).

Pour votre lune, il ne vous est pas nécessaire d'avoir des données couvrant une période entière ; Vous pouvez trouver la période en déterminant le temps entre deux points position =0. et le multipliant par deux. Vous pouvez aussi obtenir une meilleure détermination de la période en déterminant le temps mis par la lune pour effectuer par exemple 4 périodes, puis en divisant ce temps par 4. Quand une lune est dans une position extrême à l'est ou à l'ouest, la distance apparente est maximale. Rappelez-vous que les orbites sont presque circulaires, mais que, vues de côté, on ne peut trouver le rayon de l'orbite que quand le satellite est dans une position extrême d'un côté ou de l'autre.


Procédure - 3

Reportez les données de chaque lune sur les graphiques des pages 2, 3, 4 et 5 de feuilles.pdf. Sur l'axe horizontal, portez les numéros des jours de vos observations. L'échelle verticale est déjà donnée. Chaque mesure de la distance apparente de la lune à Jupiter vous donne un point à porter sur le graphique. Il faut s'assurer qu'un point correspond bien à une session d'observation.

Pour chaque lune, dessiner une courbe passant par les points. Marquez les maxima et les minima par des croix. Ils ne tombent pas forcément sur une ligne verticale de la grille. La courbe doit être symétrique par rapport à l'axe horizontal, c'est-à-dire que les maxima et les minima doivent avoir les mêmes valeurs, au signe près.

remarqueRemarque

Commencez par les lunes extérieures (Ganymède et Callisto), puis faîtes les lunes intérieures (Io et Europe).

Estimez la valeur de la période, T, et du rayon orbital, a, sur les graphes, avec la méthode expliquée pour la lune CLEA (cf. figure 4).

remarqueRemarque

Si vouz avez trop de mal à déterminer les périodes d'Io et d'Europe, vous pouvez recommencer la prise de données en faisant une observation toutes les 12 heures.

Les unités de ces valeurs sont le jour pour T et J.D. pour a. Pour pouvoir utiliser la troisième loi de Kepler, vous devez changer d'unités :

Écrivez ces valeurs sous chaque graphique. Vous avez maintenant toutes les informations pour appliquer la troisième loi de Kepler et calculer la masse de Jupiter : M_J=a^3/T^2M_J est la masse de Jupiter en masse solaire, a est le rayon de l'orbite en U.A. et T est la période de l'orbite en années terrestres.

Calculer la masse de Jupiter pour chaque cas. Si une valeur est très différente des autres, recherchez une source d'erreur. S'il n'y a pas d'erreur, c'est que les données ne permettent pas une meilleure estimation. Gardez alors la valeur que vous avez obtenue. Reportez toutes les valeurs calculées dans sur la feuille de TP.


Questions et discussion

Questions supplémentaires :


Données astronomiques

Voici quelques données (distances, périodes de rotation et masses) qui pourront vous servir pour vérifier vos résultats ou pour comparer les ordres de grandeur du système Terre-Lune avec le système Jovien.

Quelques distances ...
Distance moyenne Terre - Lune 384 000 km
Distance moyenne Jupiter - Io 422 000 km
Distance moyenne Jupiter - Europe 671 000 km
Distance moyenne Jupiter - Ganymède 1 070 000 km
Distance moyenne Jupiter - Callisto 1 883 000 km
... des périodes ...
Période de la Lune 27,32 jours
Période d'Io 1,77 jours
Période d'Europe 3,55 jours
Période de Ganymède 7,15 jours
Période de Callisto 16,69 jours
... et des masses
Masse de Jupiter 1,900 1027 kg
Masse de la Terre 5,972 1024 kg
Masse du Soleil 1,989 1030 kg