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Prérequis

Notion d'angle solide.

Objectifs

Définir l'étendue de faisceau ; mais surtout montrer la conservation de l'étendue de faisceau.

Exemple : montage afocal

Un montage afocal transforme un faisceau plan en un autre faisceau plan. Les rapports des diamètres des faisceaux et des inclinaisons en entrée et sortie sont intimement liés au grossissement.

${\beta \over \alpha} = G \ \mathrm{ \ et } \ {b \over a} \ = \ G^{-1} \ \Longrightarrow \ a\alpha\ =\ b\beta$

Le produit est un invariant, ce qui relate une relation physique plus générale : la conservation de l'énergie du faisceau.

Faisceau, étendue de faisceau et conservation de l'énergie

La puissance (ou luminosité ) transportée par un faisceau lumineux, émise par l'élément de surface S et reçue par S' se conserve (sorte de tautologie, le faisceau étant défini par l'ensemble des rayons lumineux, càd la totalité de la puissance lumineuse). Cette puissance est proportionnelle à la luminance $\ell$ , à l'élément de surface émetteur et à l'élément d'angle solide d'émission.

Un jeu d'écriture sur les grandeurs photométriques, avec les données de la figure, conduit à exprimer la conservation de la puissance lumineuse comme la conservation de l'étendue géométrique de faisceau. On définit cette étendue de faisceau, pour un faisceau traversant sans être collimaté (= sans perte d'énergie) un élément optique de section , occupant un angle solide $\Omega$ , dans un milieu d'indice unité (comme le vide ou comme l'air à peu de chose près), par le produit $S \ \Omega$ , qui se conserve le long du faisceau.

Pour les systèmes stigmatiques (càd, très grossièrement, donnant des images avec des aberrations limitées), la conservation de l'énergie se traduit par la conservation de l'étendue de faisceau :

$S \ \Omega \ = \ \mathrm{cste}$

Démonstration

Le passage de la luminance $\ell$ à la puissance lumineuse nécessite de s'appuyer sur le produit d'un élément de surface émetteur ${\mathrm{d}} S$ et d'un angle solide d'émission ${\mathrm{d}} \Omega$ . La luminosité élémentaire s'écrit :

${\mathrm{d}}^2 L\ = \ \ell\ {\cos\theta {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \Omega }$

L'angle solide 'regarde' une surface réceptrice ${\mathrm{d}} S'$ à la distance telle que :

${\mathrm{d}}\Omega = {\cos\theta' {\mathrm{d}} S'\over r^2}$

La luminosité élémentaire se réécrit donc :

${\mathrm{d}}^2 L\ = \ \ell\ {\cos\theta {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \Omega } \ =\ \ell \ {\cos\theta {\mathrm{d}} S\ \cos\theta' {\mathrm{d}} S'\over r^2} \ = \ \ell\ {\cos\theta' {\mathrm{d}} S' {\mathrm{d}} \Omega' }$

Avec ${\mathrm{d}}\Omega' = {\cos\theta {\mathrm{d}} S/ r^2}$ l'angle solide sous lequel est vue la source depuis la surface réceptrice. On remarque que le rôle des éléments émetteur et récepteur est symétrique. Le produit $\cos\theta {\mathrm{d}} S\ \cos\theta' {\mathrm{d}} S'/ r^2$ introduit l'étendue géométrique élémentaire.

L'intégration sur le faisceau entier au travers d'une pupille, menée dans l'espace objet ou depuis l'espace image, garde la symétrie du produit surface $\times$ angle solide $S\ \Omega$ .

Faisceau conique peu ouvert

Un faisceau conique d'ouverture totale $\alpha$ couvre un angle solide :

$\Omega \ = \ 2\pi\ \left(1-\cos{\alpha\over2}\right)$

Si l'angle $\alpha$ est petit, cet angle solide se réécrit simplement :

$\Omega \ \simeq \ \pi\ \left( {\alpha\over2}\right)^2$

Au travers d'une optique de diamètre , la conservation du produit $S\ \Omega$ devient, pour ce faisceau conique :

$a^2\ \alpha^2 \ = \ \mathrm{cste}$

On retrouve donc le résultat obtenu dans le cadre du montage afocal.

Quelques conséquences

Comme conséquences importantes, on note que :

Plus le faisceau collecté passe par un diamètre fin, plus il est divergent.
Plus l'aire du collecteur est grande, plus l'étendue de faisceau est grande, plus les instruments doivent également être de grande taille pour offrir un grand diamètre au faisceau mis en forme.
La surface du détecteur et l'angle solide qu'il peut voir (de l'ordre de l'angle d'ouverture du télescope) limitent nécessairement la taille angulaire du champ objet.

Etendue de faisceau cohérente

Un faisceau monochromatique est cohérent sur une étendue égale à $\lambda^2$ . La justification est donnée en exercice.