Apprendre

Prérequis

Notions élémentaires de statistiques

Objectifs

La définition d'un bruit repose sur ses propriétés statistiques. Cette page rappelle des notions simples de statistiques, en distinguant les lois de probabilité, leurs réalisations, et l'estimation de paramètres statistiques.

Loi de probabilité

La loi de probabilité d'une variable aléatoire va être donnée par sa densité de probabilité, ou bien sa fonction de répartition $( {\mathrm{d}} F\ =\ f\ {\mathrm{d}} x)$ .

Parmi les moments centrés associés, $\mu$ la moyenne et $\sigma$ l'écart-type sont respectivement définis par :

$\mu \ = \ \int x \ f(x) \ {\mathrm{d}} x$

et :

$\sigma^2 \ = \ \int (x-\mu)^2 \ f(x) \ {\mathrm{d}} x$

( $v=\sigma^2$ est la variance).

Une loi statistique possède des propriétés particulières, qui caractérisent tel ou tel phénomène : une loi poissonnienne (discrète) rend compte de l'arrivée d'événements indépendants, une loi gaussienne est souvent issue de l'addition d'un grand nombre de phénomènes indépendants...

Réalisations

La réalisation d'une loi de probabilité est aléatoire : un tirage de dés, réalisé 6 fois, ne conduira pas nécessaire à l'obtention une fois et une seule de chaque chiffre de 1 à 6. Plus le nombre de réalisations est grand, meilleur est l'accord entre l'observation de ces réalisations et la loi de probabilité.

Estimations

En pratique, il faut distinguer d'une part la valeur moyenne $\mu$ de la densité de probabilité de sa mesure . Avec x_i les réalisations d'une variable aléatoire, on a accès seulement à :