Enoncés des lois


Observer

La 1ère loi de Kepler

La première loi de Kepler énonce que la trajectoire des planètes est plane. C'est ce que dévoile la trace d'une orbite planétaire, lors d'une révolution sidérale.

keplerloi1.png
Trace de l'orbite de Mars au cours d'une année sidérale (points rouge). L'allure de la courbe correspond à l'un des éléments introduits par la 1ère loi de Kepler : l'orbite des planètes est plane. La trace bleue représente ce que l'on observerait si les plans orbitaux de la Terre et de Mars coïncidaient, ce qui n'est pas exactement le cas.

Apprendre

prerequisPrérequis

Référentiels - Notion sur les coniques

Enoncé des lois de Kepler

Les 3 lois de Kepler expriment les conclusions que Kepler a tirées des observations de Tycho Brahe. Leur caractère empirique -- elles décrivent le mouvement d'une planète autour du soleil, mais ne l'expliquent pas -- n'obère en rien leur portée. Elles ont permis la formalisation par Newton de la loi de gravitation universelle.

definitionDéfinition

  • 1ère loi : Les planètes parcourent des orbites planes, elliptiques. Le Soleil occupe l'un des foyers de l'ellipse.
  • 2ème loi : En des durées égales, une planète balaye des aires égales.
  • 3ème loi : Le rapport du carré de la période de rotation au cube du demi-grand axe est identique pour toutes les planètes du système solaire.

Généralisation des lois de Kepler

Ces lois, obtenues dans le cas particulier du système solaire, se généralisent à tout système analogue, correspondant à un potentiel central. L'objet considéré, dans ce potentiel, ayant une masse m très inférieure à la masse M du potentiel central, et n'étant pas perturbé par d'autres satellites de M, présente alors les propriétés suivantes :

  1. Sa trajectoire autour de M est plane, elliptique, avec M à l'un des foyers.
  2. La loi des aires fournit l'évolution horaire du mouvement
  3. Le rapport du carré de la période de rotation au cube du demi-grand axe est identique pour tous les satellites de M.

Simuler

La 2ème loi de Kepler

La 2ème loi de Kepler, ou loi des aires, illustrée dans plusieurs cas.

Les différentes "aires balayées" par le rayon vecteur en des durées égales sont égales. Le secteur angulaire correspondant est donc bien plus grand au voisinage du périhélie que de l'aphélie, et cet effet est d'autant plus marqué que l'excentricité de la trajectoire est proche de 1.

La 2e loi de Kepler, dite loi des aires
kep2mars.gif
Illustration de la 2ème loi de Kepler : cas de Mars. L'excentricité de 0.09 suffit pour s'écarter sensiblement d'une rotation à vitesse angulaire uniforme.
La 2e loi de Kepler, dite loi des aires
kep2trans.gif
Illustration de la 2ème loi de Kepler : orbite de transfert (entre une orbite basse, accessible avec un lanceur tel Ariane, et une orbite géostationnaire).
La 2e loi de Kepler, dite loi des aires
kep2hal.gif
Illustration de la 2ème loi de Kepler : comète de Halley. La comète passe bien plus de temps au voisinage de l'aphélie qu'à celui du périhélie.

La 2ème loi de Kepler permet la détermination de l'équation horaire du mouvement le long de la trajectoire de l'objet.

Les positions des objets (comète de Halley, satellite sur orbite de transfert géostationnaire) sont ici représentées à des dates équiréparties le long d'une période orbitale. Le mouvement est d'autant moins uniforme que l'excentricité de l'orbite est proche de 1 ; la vitesse orbitale est plus rapide au périastre qu'à l'apoastre.

La 2e loi de Kepler, loi horaire
transfert.gif
L'intervalle de temps est constant d'une position à l'autre. Le mouvement est rapide au périgée, lent à l'apogée.
La 2e loi de Kepler, loi horaire
halley.gif
L'intervalle de temps est constant d'une position à l'autre. Le mouvement est rapide au périhélie, lent à l'aphélie.
La 3e loi de Kepler
kep3ssol.gif
Cette simulation suppose les 4 planètes internes du système solaire en phase à un instant donné. Cette hypothèse est irréaliste, mais elle permet de montrer les avancées angulaires de Vénus, de la Terre et de Mars, Mercure ayant accompli une révolution entière.

La 3ème loi de Kepler

La 3ème loi de Kepler entraîne une période d'autant plus rapide que la planète est proche de l'étoile. L'animation ci-jointe, supposant de manière uniquement illustrative qu'à une date donnée les planètes telluriques pourraient être en phase, montre leur avancée respective au bout d'une durée égale à la période de révolution de Mercure.

application.png

La loi de Kepler dans le système solaire

Vérifier à l'aide de l'appliquette la 3ème loi de Kepler pour les planètes du système solaire.

On remarque que la validité est moins bonne pour les planètes au-delà de Jupiter, qui ressentent en fait un champ de force moyen de masse totale la masse du Soleil complétée par celle de Jupiter.


S'exercer

qcmQCM

1)  La 3ème loi de Kepler s'énonce T^2/a^3 = ...




2)  La 3ème loi de Kepler énonce T^2/a^3 = \mathrm{cste}. Et cette constante dépend en fait



exerciceLes lois de Kepler par J. Kepler

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

Cet exercice vous propose une lecture commentée de l'histoire de l'obtention des lois de Kepler. Il se réfère au texte présentant les aspects historiques de l'oeuvre de J. Kepler.

Question 1)

Pourquoi 6 planètes seulement sont-elles citées ? Les identifier.

Question 2)

Que signifie "traduire correctement le mouvement orbital de la Terre" à l'époque de Kepler?

Question 3)

Que représentent 8' (8 minutes d'angle) dans le ciel ? Traduire cette distance angulaire en : fraction du diamètre lunaire, diamètre martien maximal, longueur rapportée sur l'orbite martienne, durée de parcours sur l'orbite martienne. On donne :

  • diamètre martien : 6800 km
  • demi-grand axe de l'orbite martienne : 1.5 UA
  • révolution sidérale : 687 j


S'évaluer

exerciceLe cadre des lois de Kepler

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

Question 1)

Préciser les conditions dans lesquelles les lois de Kepler s'appliquent.

[1 points]

Question 2)

Que représente et signifie le terme "constante", dans l'équation

{T^{2}\over a^{3}} = \mathrm{constante}

qui traduit la 3ème loi de Kepler.

[1 points]

Question 3)

A quelle(s) condition(s) pourrait-on appliquer les lois de Kepler à une étoile au sein d'un amas stellaire ?

[1 points]


Réponses aux QCM

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QCM


Réponses aux exercices

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Exercice 'Les lois de Kepler par J. Kepler'