Masse


Introduction

Comment peser l'Univers et ses différents constituants ? Plus exactement, comment mesurer une grandeur fondamentale de tout objet physique, sa masse ?

Ce chapitre répond (partiellement) à cette question. Il n'a pas pour ambition de montrer que, conformément aux mesures les plus récentes, l'essentiel de la masse de l'Univers est sous d'autres formes que la matière usuelle que nous côtoyons tous les jours... Il s'intéresse à l'étude dynamique des objets en interaction gravitationnelle, et montre comment cette analyse du mouvement des objets permet de mesurer leurs masses.

Une part belle est dévolue au système à 2 corps et à la 3ème loi de Kepler

marskepler.jpg
Comment l'observation de Mars permit à Kepler d'énoncer ses 3 lois
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Le sous-chapitre Outils développe les notions indispensables pour l'analyse du mouvement dans le cadre de l'approximation du système à 2 corps.

Le sous-chapitre Systèmes binaires traite des multiples cas astronomiques dominés par le système à 2 corps : étoiles doubles, planètes extrasolaires...

Le sous-chapitre Marée et problème à N corps propose une extension vers des cas où il n'est décidément pas possible de considérer que le système étudié correspond à 2 corps isolés sans structure interne.


Masse : Outils


Introduction

Quand bien même les lois physiques décrivant l'interaction gravitationnelle entre 2 objets sont connues depuis 400 ans, elles participent aux découvertes astrophysiques les plus récentes, telle la mesure de la masse du trou noir qui prospère au centre de notre Galaxie. Ce sous-chapitre revisite les lois de Kepler, de Newton, avec également quelques incursions, pas nécessairement chronologiques, auprès de leurs collègues précurseurs.

orbit.jpg
Reconstitution de l'orbite de l'objet S2 autour du centre galactique... où règne un objet de quelques millions de masse solaire.
Crédit : ESO

Les lois de Kepler

Auteur: Benoît Mosser

Introduction

Les 3 lois énoncées par Johannes Kepler il y a 4 siècles ont apporté une alternative au paradigme alors en vigueur, les épicycles de Ptolémée, pour décrire le mouvement des planètes.

Elles ont substitué à une version idéalisée du monde des lois physiques basées sur une idée fertile, l'héliocentrisme, développée par Nicolas Copernic, et un concept novateur, la primauté de l'observation (Tycho Brahe).

Un rappel du formalisme mathématique et physique des trajectoires rencontrées dans le problème à 2-corps est donné en fin de sous-chapitre.

systemecopernic.jpg
Dans le système de Copernic, le Soleil occupe la place centrale précédemment dévolue à la Terre.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Copernic


Observer

Avant Copernic : le système de Ptolémée

Ptolémée (100-170) au deuxième siècle après J.-C., mettait la Terre au centre du système solaire (et donc au centre de l'Univers, à cette époque), et reproduisait le mouvement des planètes par une succession de mouvements circulaires emboîtés. Il contribua à faire admettre pendant plus de quatorze siècles l'idée que la Terre est immobile au centre de l'Univers.

precopernic.jpg
La Terre au centre. Une évidence après tout...
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Les travaux astronomiques de Ptolémée sont regroupés dans un ouvrage majeur, la grande syntaxe mathématique, plus connu sous le nom arabe de l'Almageste. L'Almageste reprend dans ses grandes lignes la vision aristotélicienne du monde physique, avec les mêmes dogmes et principes : dichotomie Terre/Univers, immobilité de la Terre, etc.

Ptolémée rejeta le modèle des sphères emboîtées et perfectionna grandement les modèles grecs en introduisant la notion de point équant, un point fictif symétrique de la Terre par rapport au centre excentrique de l'orbite d'une planète. Le système résultant est extrêmement complexe, mais d'une précision mathématique remarquable (le modèle de Ptolémée permet ainsi de prédire des éclipses de Soleil). La perfection de ce modèle fera qu'il ne sera globalement pas remis en cause avant le XVIème siècle.

Le système de Copernic

Copernic (1473-1543), frappé par la complexité du système de Ptolémée, va bâtir une nouvelle représentation du monde, dans laquelle le Soleil est fixe au centre du système solaire. Cette révolution de pensée ne s'imposera qu'après les observations de Galilée.

Dans le système de Copernic, le Soleil remplace la Terre comme centre du monde.

systemecopernic.jpg
Le Soleil au centre du monde, à la place de la Terre.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Nicolas Copernic a publié son ouvrage De Revolutionibus orbium caelestium l'année de sa mort. Tous les mouvements planétaires sont centrés sur le Soleil, et la Terre n'est ni immobile, ni au centre du monde.

Elle est en effet animée de 2 mouvements : l'un sur elle-même en 24 h (qui remplace le mouvement de la sphère des fixes des Grecs anciens) et l'autre autour du Soleil en un an, faisant de la Terre une planète comme les autres.

Contrairement à ce que l'on croit parfois, Copernic ne va pas démontrer l'héliocentrisme, car il faudra attendre plus de 150 ans pour avoir une preuve du mouvement de la Terre. L'argument de Copernic est que son modèle est plus simple, plus logique et plus "harmonieux" que celui de Ptolémée (même si dans le détail le fonctionnement mathématique du système copernicien est assez complexe). Le De Revolutionibus, malgré son côté fondamentalement révolutionnaire, fut reçu avec relativement d'indifférence par les savants de l'époque. Les travaux de Copernic connurent dans un premier temps la célébrité grâce aux éphémérides des planètes qui en furent déduites.


Apprendre

Repère chronologiques

Divers éléments d'histoire sont proposés au fil des pages, tel que le présente le tableau suivant.


Tycho Brahe


Observer

Un grand observateur

Tycho Brahe à Uraniborg
tycho-brahe.jpg
Tycho Brahe observant dans son observatoire d'Uraniborg. Pas d'instrument optique, mais des instruments de visée précise, tel le quart de cercle.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris
L'observatoire d'Uraniborg
uraniborg.jpg
L'observatoire d'Uraniborg.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Tycho Brahe a introduit une composante essentielle dans l'histoire de l'astronomie : des observations de qualité hors pair, menées pourtant sans l'aide d'aucun instrument optique.

Dans sa démarche, Tycho Brahe fut grandement aidé par le roi du Danemark, qui subventionna largement l'observatoire d'Uraniborg.


Johannes Kepler : son histoire


Apprendre

La vie de Kepler

Jean Kepler est né en Allemagne en 1571. Elève brillant, il devient professeur de mathématiques en 1594 ; il a pour maître en astronomie l'astronome Michel Maestlin, qui l'initie au système de Copernic.

En dessinant une figure au tableau noir en juillet 1595, Kepler eut la révélation d'une idée à laquelle il attacha une importance considérable : pourquoi le système solaire comporte-t-il six planètes, et quel lien existe entre les dimensions de leurs orbes ? Euclide ayant montré qu'il existait cinq polyèdres réguliers, chacun inscriptible dans une sphère et circonscriptible à une autre sphère de même centre, les cinq intervalles qui existent entre les six planètes ne peuvent pas, aux yeux de Kepler, être le fruit du hasard : le Créateur a agi en géomètre et l'homme est en mesure de découvrir le plan et la perfection du monde créé.

Kepler publia ses théories en 1596, ce qui lui valu une certaine notoriété, notamment celle d'être appelé auprès du plus grand astronome-observateur de l'époque, Tycho Brahe. Lorsque Kepler arrive à Prague en février 1600, il se voit confier par Tycho Brahe l'étude de l'orbite de Mars. Cette planète présentait depuis l'Antiquité des anomalies dans son mouvement, alors impossibles à expliquer.

keplersolids.jpg
Pour Tycho Brahe, les orbites des planètes du système solaire se situent au niveau des sphères circonscrites dans les solides platoniciens (polyèdres convexes réguliers, dont les faces sont des polygones convexes réguliers : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, l'icosaèdre et le dodécaèdre réguliers).
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris
keplerspheres.png
La succession de sphères et de solides emboîtés a permis à Kepler l'élaboration d'une cosmogonie originale... mais moins performante que ses 3 futures lois !
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

La primauté aux données observationnelles

A partir des observations accumulées par Tycho Brahe, Kepler se rend compte qu'il faut rejeter la théorie des mouvements circulaires uniformes. Pour résoudre le problème de l'orbite de Mars, Kepler choisit quatre positions de la planète et, après de laborieux calculs entachés d'erreurs qui, par chance, se compensent, parvient à obtenir une orbite circulaire où le Soleil occupe le point équant. Ce point équant, inventé au IIe siècle de notre ère par l'astronome Ptolémée, est un point symétrique du Soleil par rapport au centre de l'orbite. Pourtant, si d'autres positions de Mars s'insèrent parfaitement dans la nouvelle orbite ainsi définie, deux observations s'écartent de près de 8' de la position théorique : cette différence est supérieure à la précision des mesures. Au lieu de les rejeter, Kepler renonce à son hypothèse : l'orbite ne peut pas être un cercle.

Avant de se replonger dans la quête du mouvement de Mars, Kepler décide de revoir dans le détail le mouvement de la Terre autour du Soleil. En effet, pour passer d'une position géocentrique à une position héliocentrique de Mars, il est nécessaire de traiter correctement le mouvement orbital de la Terre : si celui-ci est entaché d'erreurs, elles se répercuteront sur le mouvement de Mars.


Kepler : la méthode et les lois


Observer

Le rôle central du Soleil

La vision géocentrique est nécessaire - c'est ce que l'on voit - mais pas suffisante : elle ne permet pas une approche totalement raisonnée. Mettre le soleil au centre, comme l'a fait Copernic, permet non seulement de simplifier la forme de l'orbite, mais de plus a conduit Kepler à mesurer précisément la trajectoire de Mars.

En effet, si l'on observe Mars à des dates différentes, mais espacées d'un multiple de la période de révolution sidérale de Mars, alors la position de Mars par rapport au Soleil et aux étoiles est fixe. Il n'en est rien pour la Terre, qui en une durée non reliée à sa propre période de révolution a parcouru une portion de son orbite.

Cette situation permet d'observer Mars dans la même position par rapport au Soleil et aux étoiles, mais sous un angle différent. On peut alors mesurer la distance à Mars par triangulation.

Mesure de l'orbite de Mars
pmars.png
Faire tourner Mars autour du Soleil permet de reconstruire totalement son orbite.
Crédit : ASM

Apprendre

La quête du mouvement de Mars, où comment rendre compte d'observations

Kepler imagine une méthode pour obtenir l'excentricité de l'orbite de Mars à partir de trois observations de Mars faites à 687 jours d'intervalle (période de révolution sidérale de Mars). Il sait en outre que plus les planètes sont proches du Soleil, plus elles se déplacent vite, tandis que plus elles s'en éloignent, plus leur mouvement ralentit. Kepler en déduit que l'action du Soleil doit varier en fonction de la distance de la planète au Soleil ; il la suppose inversement proportionnelle à la distance. Première erreur.

Kepler cherche ensuite à calculer la durée que met la Terre pour passer d'une position à une autre. Il décompose pour cela une portion de l'orbite en petits segments et s'aperçoit que la durée passée par la Terre sur de petits arcs est approximativement proportionnelle à la distance de ces arcs au Soleil. Il assimile donc une surface à une somme de lignes. Deuxième erreur.

Mais il transforme ces deux déductions en une loi correcte, la loi des aires : le rayon vecteur qui joint une planète au Soleil balaie des aires égales en des intervalles de temps égaux. Historiquement, Kepler découvrit donc en premier la loi que nous appelons la deuxième loi.

L'orbite martienne
marskepler.jpg
L'observation de Mars à quatre dates différentes, mais correspondant toutes à une même position sidérale de la planète. Mars occupe alors la même position par rapport aux étoiles, les dates étant séparées par des intervalles de temps multiples de la période sidérale de révolution. Ceci a permis à Kepler la reconstruction de l'orbite de Mars.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Kepler reprend alors son étude de l'orbite de Mars. En calculant avec son hypothèse des aires un grand nombre de positions, il obtient un ovale, qu'il assimile à une ellipse. Il constate alors que les positions de Mars sont correctement représentées. La trajectoire elliptique, appelée aujourd'hui la première loi, est découverte : les planètes décrivent autour du Soleil des ellipses dont ce dernier occupe l'un des foyers. Kepler publie ses découvertes en 1609 dans un ouvrage difficile, l'Astronomia nova ("l'Astronomie nouvelle").

L'abandon d'une théorie inadaptée

Si la chance a favorisé Kepler dans ses recherches (forte excentricité de l'orbite de Mars, erreurs de principe qui se compensent), on doit reconnaître en lui un travailleur acharné et inspiré. On lui doit surtout l'abandon du mouvement circulaire uniforme -- principe remontant à l'Antiquité auquel Tycho Brahe accordait encore une valeur absolue -- et un souci constant de vérifier que les hypothèses s'accordent avec les observations (ce qui n'était pas le cas de Copernic), en quoi il mêle intimement faits et théories, deux composantes fondamentales de la démarche scientifique.

Toujours attaché à trouver des harmonies dans les orbites planétaires, Kepler essaye d'associer les intervalles musicaux aux diamètres des orbites planétaires. Cette idée qui nous semble aujourd'hui un peu étrange le conduit à la troisième loi en 1618 : les cubes des demi-grands axes sont proportionnels aux carrés des périodes de révolution. La troisième loi de Kepler contribuera à stimuler les découvertes ultérieures de Newton sur la gravitation universelle et le mouvement des deux corps.


Simuler

Reconstruire l'orbite de Mars

Kepler a reconstruit l'orbite de Mars en analysant son orbite sous une double approche : le mouvement de Mars autour du Soleil est à considérer dans un référentiel héliocentrique ; l'observation de ce mouvement est réalisée depuis la Terre, et apporte un point de vue différent à chaque période sidérale de Mars.

L'appliquette ci-jointe explicite ce point de vue :

Reconstruire l'orbite de Mars application.png


Enoncés des lois


Observer

La 1ère loi de Kepler

La première loi de Kepler énonce que la trajectoire des planètes est plane. C'est ce que dévoile la trace d'une orbite planétaire, lors d'une révolution sidérale.

keplerloi1.png
Trace de l'orbite de Mars au cours d'une année sidérale (points rouge). L'allure de la courbe correspond à l'un des éléments introduits par la 1ère loi de Kepler : l'orbite des planètes est plane. La trace bleue représente ce que l'on observerait si les plans orbitaux de la Terre et de Mars coïncidaient, ce qui n'est pas exactement le cas.
Crédit : ASM

Apprendre

prerequisPrérequis

Référentiels - Notion sur les coniques

Enoncé des lois de Kepler

Les 3 lois de Kepler expriment les conclusions que Kepler a tirées des observations de Tycho Brahe. Leur caractère empirique -- elles décrivent le mouvement d'une planète autour du soleil, mais ne l'expliquent pas -- n'obère en rien leur portée. Elles ont permis la formalisation par Newton de la loi de gravitation universelle.

definitionDéfinition

  • 1ère loi : Les planètes parcourent des orbites planes, elliptiques. Le Soleil occupe l'un des foyers de l'ellipse.
  • 2ème loi : En des durées égales, une planète balaye des aires égales.
  • 3ème loi : Le rapport du carré de la période de rotation au cube du demi-grand axe est identique pour toutes les planètes du système solaire.

Généralisation des lois de Kepler

Ces lois, obtenues dans le cas particulier du système solaire, se généralisent à tout système analogue, correspondant à un potentiel central. L'objet considéré, dans ce potentiel, ayant une masse m très inférieure à la masse M du potentiel central, et n'étant pas perturbé par d'autres satellites de M, présente alors les propriétés suivantes :

  1. Sa trajectoire autour de M est plane, elliptique, avec M à l'un des foyers.
  2. La loi des aires fournit l'évolution horaire du mouvement
  3. Le rapport du carré de la période de rotation au cube du demi-grand axe est identique pour tous les satellites de M.

Simuler

La 2ème loi de Kepler

La 2ème loi de Kepler, ou loi des aires, illustrée dans plusieurs cas.

Les différentes "aires balayées" par le rayon vecteur en des durées égales sont égales. Le secteur angulaire correspondant est donc bien plus grand au voisinage du périhélie que de l'aphélie, et cet effet est d'autant plus marqué que l'excentricité de la trajectoire est proche de 1.

La 2e loi de Kepler, dite loi des aires
kep2mars.gif
Illustration de la 2ème loi de Kepler : cas de Mars. L'excentricité de 0.09 suffit pour s'écarter sensiblement d'une rotation à vitesse angulaire uniforme.
Crédit : ASM
La 2e loi de Kepler, dite loi des aires
kep2trans.gif
Illustration de la 2ème loi de Kepler : orbite de transfert (entre une orbite basse, accessible avec un lanceur tel Ariane, et une orbite géostationnaire).
Crédit : ASM
La 2e loi de Kepler, dite loi des aires
kep2hal.gif
Illustration de la 2ème loi de Kepler : comète de Halley. La comète passe bien plus de temps au voisinage de l'aphélie qu'à celui du périhélie.
Crédit : ASM

La 2ème loi de Kepler permet la détermination de l'équation horaire du mouvement le long de la trajectoire de l'objet.

Les positions des objets (comète de Halley, satellite sur orbite de transfert géostationnaire) sont ici représentées à des dates équiréparties le long d'une période orbitale. Le mouvement est d'autant moins uniforme que l'excentricité de l'orbite est proche de 1 ; la vitesse orbitale est plus rapide au périastre qu'à l'apoastre.

La 2e loi de Kepler, loi horaire
transfert.gif
L'intervalle de temps est constant d'une position à l'autre. Le mouvement est rapide au périgée, lent à l'apogée.
Crédit : ASM
La 2e loi de Kepler, loi horaire
halley.gif
L'intervalle de temps est constant d'une position à l'autre. Le mouvement est rapide au périhélie, lent à l'aphélie.
Crédit : ASM
La 3e loi de Kepler
kep3ssol.gif
Cette simulation suppose les 4 planètes internes du système solaire en phase à un instant donné. Cette hypothèse est irréaliste, mais elle permet de montrer les avancées angulaires de Vénus, de la Terre et de Mars, Mercure ayant accompli une révolution entière.
Crédit : ASM

La 3ème loi de Kepler

La 3ème loi de Kepler entraîne une période d'autant plus rapide que la planète est proche de l'étoile. L'animation ci-jointe, supposant de manière uniquement illustrative qu'à une date donnée les planètes telluriques pourraient être en phase, montre leur avancée respective au bout d'une durée égale à la période de révolution de Mercure.

application.png

La loi de Kepler dans le système solaire

Vérifier à l'aide de l'appliquette la 3ème loi de Kepler pour les planètes du système solaire.

On remarque que la validité est moins bonne pour les planètes au-delà de Jupiter, qui ressentent en fait un champ de force moyen de masse totale la masse du Soleil complétée par celle de Jupiter.


S'exercer

qcmQCM

1)  La 3ème loi de Kepler s'énonce T^2/a^3 = ...




2)  La 3ème loi de Kepler énonce T^2/a^3 = \mathrm{cste}. Et cette constante dépend en fait



exerciceLes lois de Kepler par J. Kepler

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

Cet exercice vous propose une lecture commentée de l'histoire de l'obtention des lois de Kepler. Il se réfère au texte présentant les aspects historiques de l'oeuvre de J. Kepler.

Question 1)

Pourquoi 6 planètes seulement sont-elles citées ? Les identifier.

Question 2)

Que signifie "traduire correctement le mouvement orbital de la Terre" à l'époque de Kepler?

Question 3)

Que représentent 8' (8 minutes d'angle) dans le ciel ? Traduire cette distance angulaire en : fraction du diamètre lunaire, diamètre martien maximal, longueur rapportée sur l'orbite martienne, durée de parcours sur l'orbite martienne. On donne :

  • diamètre martien : 6800 km
  • demi-grand axe de l'orbite martienne : 1.5 UA
  • révolution sidérale : 687 j


S'évaluer

exerciceLe cadre des lois de Kepler

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

Question 1)

Préciser les conditions dans lesquelles les lois de Kepler s'appliquent.

[1 points]

Question 2)

Que représente et signifie le terme "constante", dans l'équation

{T^{2}\over a^{3}} = \mathrm{constante}

qui traduit la 3ème loi de Kepler.

[1 points]

Question 3)

A quelle(s) condition(s) pourrait-on appliquer les lois de Kepler à une étoile au sein d'un amas stellaire ?

[1 points]


Des lois de Kepler vers les lois de la gravitation


Observer

Quel point de vue adopter ?

Comme le montrent les observations de Kepler, le mouvement de Mars, vu de la Terre et décrit dans un référentiel géocentrique, n'est pas des plus simples à comprendre. Ce qui ne va pas ? Le référentiel !

Mouvement de Mars vu de la Terre
motibstellmartis.png
L'orbite de Mars vue dans le référentiel géocentrique. Schémas de Kepler de 1580 à 1596. La Terre est au centre, le soleil orbite sur le cercle en pointillés. Au cours de l'année martienne, la distance Terre-Mars peut varier dans des proportions de 1 à 6.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris
Mouvement de Mars vu de la Terre et du Soleil
retromar.gif
L'orbite de Mars au voisinage de l'opposition planétaire, vue de la Terre ou dans le référentiel héliocentrique
Crédit : ASM

Vue de la Terre, l'orbite apparente de Mars dessine une boucle. Cette vision géocentrique complique la perception du phénomène. Vue du Soleil, à la conjonction planétaire, la Terre se contente de doubler Mars.

Problème : comment avoir, lorsque l'on est observateur terrestre, autre chose qu'une vision géocentrique ?

Point de vue héliocentrique

Les astronomes Copernic et Kepler ont résolu ce problème, en conceptualisant ces mouvements, Copernic, en mettant le soleil au centre du système solaire, Kepler en décrivant les mouvements planétaires par ses 3 lois.


Apprendre

objectifsObjectifs

La page "Des lois de Newton aux lois de Kepler" montre comment l'on dérive aujourd'hui les lois de Kepler des lois de la gravitation et du formalisme de mécanique classique. Mais historiquement, les 3 lois de Kepler sont antérieures au formalisme newtonien, comme le plus souvent le fait observationnel précède la formalisation théorique. Il est important de voir comment les lois de Kepler portent en elles les germes de la loi de gravitation.

Ce qu'induit la première loi

La 1ère loi de Kepler donne un rôle particulier au soleil, qui peut être doublement interprété.

Du point de vue dynamique, le rôle central du soleil est clairement énoncé. Si aujourd'hui la prépondérance du soleil au sein du système solaire est un fait avéré et reconnu, il n'en était rien au XVIIe siècle. Le Soleil est centre de force, et ce d'autant plus que toute masse dans le système solaire est négligeable devant la masse du soleil.

En terme de référentiel d'étude, la 1ère loi introduit clairement le référentiel héliocentrique, qui est le "bon" référentiel d'étude, car bien mieux galiléen que le référentiel géocentrique. La première loi identifie donc clairement un centre de force supposé immobile, ainsi que le bon référentiel associé.

Définition des coordonnées et vecteurs unitaires polaires
urut.png
La base polaire plane est bien adaptée au problème képlérien : la 1ère loi de Kepler énonce en effet que la trajectoire s'inscrit dans un plan, et la 2ème loi que la force est centrale.
Crédit : ASM

Ce qu'induit la deuxième loi

La 2ème loi de Kepler énonce la loi des aires, càd la conservation du moment cinétique du système. Ceci est spécifique des forces centrales. Des 1ère et 2ème lois ressort donc l'idée que le soleil est centre de force. Cette force peut s'écrire \mathbf{F} = \alpha\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}}, le vecteur \mathbf{u} _{\mathrm{r}} étant un vecteur unitaire radial défini par rapport au centre de force.

Ce qu'induit la troisième loi

Le lien entre la période et le demi-grand axe donné par la 3ème loi de Kepler est spécifique à une dépendance particulière du module de la force vis à vis de la variable radiale. Cette loi n'apparaît que pour une force variant en 1/r^{2}.

L'ensemble des lois de Kepler conduit finalement à une force s'écrivant de la forme :

\mathbf{F} = {\beta\over r^{2}}\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}}

Les lois de Kepler n'en disent pas plus sur ce paramètre \beta. Ce sont les lois de la gravitation, dues à Isaac Newton, qui permettent d'expliciter sa forme.

Des lois de Kepler à une force centrale variant comme l'inverse du carré de la distance

demonstrationDémonstration

En coordonnées polaires planes, définies dans le plan de l'orbite par rapport au foyer décrit par la 1ère loi de Kepler, on exprime les rayon vecteur, vitesse et accélération de l'objet par :

\begin{eqnarray*} \mathbf{r} &=& r\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}}\\ \mathbf{v} &=& \dot r\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}} + r{\dot \theta}\ \mathbf{u}_\theta\\ \mathbf{a} &=& (\ddot r - r {\dot\theta^{2}})\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}} + (2\dot r {\dot \theta}+r\ddot\theta)\ \mathbf{u}_\theta\\ \end{eqnarray*}

La composante orthoradiale de l'accélération s'identifie, à une constante près, à la dérivée temporelle du moment cinétique (perpendiculaire au plan de la trajectoire) :

\begin{eqnarray*} \sigma \mathbf{u} _{\mathrm{z}} &=& m\ \mathbf{r} \wedge \mathbf{v} = mr^{2} {\dot\theta}\ \mathbf{u} _{\mathrm{z}}\\ \displaystyle{ {\mathrm{d}} {\sigma} \over {\mathrm{d}} t}&=& m r\ (2\dot r {\dot \theta} + r\ddot \theta) = mr a_\theta\\ & = & 0\\ \end{eqnarray*}

La nullité de la composante orthoradiale de l'accélération est bien la signature d'une force centrale.

La démonstration de la 3ème loi de Kepler, dans le cas d'un mouvement circulaire, dérive du jeu d'écriture suivant, avec R le rayon de l'orbite, T la période et v la vitesse de l'objet :

\begin{eqnarray*} T^{2} \propto R^{3} &\Longleftrightarrow& T\propto R^{3/2}\\ &\Longrightarrow& v = 2\pi R / T \propto R^{-1/2}\\ &\Longrightarrow& a = v^{2} /R \propto 1/R^{2}\\ &\Longrightarrow& F \propto 1/R^{2} \end{eqnarray*}


Des lois de Newton aux lois de Kepler


Apprendre

objectifsObjectifs

Si, historiquement, les lois de Newton ont été dérivées des lois de Kepler, on retrouve aujourd'hui les lois de Kepler comme application des lois de Newton.

Hypothèses

L'examen des masses des principaux objets du système solaire dévoile un poids lourd, le soleil, entouré d'un cortèges de petits objets, les planètes. Ceci définit le cadre des approximations usuellement faites pour décrire le mouvement d'une planète : on la considère de masse négligeable par rapport à la masse du soleil, et l'on néglige les interactions interplanétaires.

deuxcorps.png
Force gravitationnelle.
Crédit : ASM

Le problème à 2 corps

Le problème se résume à l'interaction entre 2 corps, le soleil de masse M et la planète de masse m \ll M. Le référentiel d'étude est héliocentrique, de centre O. On y repère la planète P par le rayon vecteur \mathbf{r} = r\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}}. La planète subit de la part du soleil une force \mathbf{F}, exprimée par :

\mathbf{F} = -{ {\mathcal{G}} Mm\over r^{2}}\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}}

L'étude complète du mouvement est un peu technique. La résolution par les formules de Binet ne sera pas menée dans ce cours ; un autre mode de résolution, introduisant le vecteur excentricité, est proposé en exercice.

Les lois de Kepler

La relation fondamentale de la dynamique permet de retrouver que la trajectoire est plane. Si l'on note { \mathbf{r}}_0 et { \mathbf{v}}_0 les position et vitesse de la planète à un instant donné, et P_0 le plan défini par ces 2 vecteurs, la relation annonce que l'accélération { \mathbf{a}}_0, colinéaire à { \mathbf{r}}_0, est également dans ce plan. Aucun terme d'accélération ne conduisant hors de ce plan, toute la trajectoire s'y inscrit nécessairement.

Comme il suffit que la force soit centrale pour que le moment cinétique du système soit conservé, la dérivation de la 2ème loi de Kepler est immédiate.

On retrouve enfin facilement la 3ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un trajectoire circulaire. La démonstration en proposée en exercice.


S'exercer

exerciceLe vecteur excentricité

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 40 min

Une façon très performante de faire de la physique consiste à associer à une loi physique un invariant.

Pour une particule dans un champ de force gravitationnel, le champ de force étant à circulation conservative (voir la signification de ces termes dans le cours de physique), l'énergie mécanique se conserve ; la force étant centrale, le moment cinétique se conserve.

Le but de cet exercice est de montrer quel invariant est associé au fait que le module de la force gravitationnel varie comme l'inverse du carré de la distance. Il permet par ailleurs de retrouver l'équation de la trajectoire elliptique d'un satellite dans un champ de force central, moyennant un peu de gymnastique calculatoire. On considère un satellite, de masse m, dans le champ de force central d'un corps de masse M. On repère sa position par le vecteur radial \mathbf{r} = r \mathbf{u} _{\mathrm{r}}. On note \mathbf{u} _{\mathrm{z}} le vecteur orthonormé normal au plan de la trajectoire, et portant le moment cinétique du satellite, tel que le trièdre ( \mathbf{u} _{\mathrm{r}},\ \mathbf{u}_\theta,\ \mathbf{u} _{\mathrm{z}}) forme un trièdre orthonomé direct.

Question 1)

Exprimer les vecteurs accélération \mathbf{a} et moment cinétique {\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma} dans la base (\mathbf{u} _{\mathrm{r}}, \mathbf{u}_\theta, \mathbf{u} _{\mathrm{z}}).

Question 2)

On construit le produit vectoriel \mathbf{a} \wedge {\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma}. Donner son expression en fonction du vecteur \mathbf{u}_\theta.

Question 3)

Intégrer l'équation précédemment obtenue pour \mathbf{a} \wedge {\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma}.

Question 4)

On multiplie scalairement l'équation précédemment obtenue par le vecteur position \mathbf{r}. Montrer que ceci permet de retrouver l'équation de la trajectoire

r = {p\over 1+e\cos\theta}

en choisissant pour origine de la variable angulaire \theta la direction et le sens du vecteur excentricité \mathbf{e}

Question 5)

Faire un schéma, représentant le vecteur excentricité \mathbf{e} et la trajectoire.


Peser l'Univers avec la 3ème loi de Kepler


Observer

Systèmes doubles

L'astéroide Eugénie et son satellite
eugenie1.jpg
Superposition d'images obtenues par optique adaptative au télescope CFH (Merline, 1998). La détermination des paramètres orbitaux du satellite -- période de rotation et demi-grand axe -- permet de mesurer la masse de l'astéroïde (exercice). La période est 4.7 jours, le demi-grand axe 1190 km.
Crédit : CFHT
Le mouvement d'Eugénie
movie.gif
Le satellite de l'astéroïde Eugénie, observé en optique adaptative : film obtenu avec 5 poses à 5 dates différentes
Crédit : CFHT
Sirius A et B
siriusAB.gif
Animation des orbites de Sirius A et B (respectivement les points blanc et rouge), sur fond d'étoiles fixes. Au mouvement apparent du système se superpose la rotation du système.
Crédit : Observatoire du Pic du Midi

L'observation des systèmes doubles est cruciale en astronomie, car elle donne accès à la mesure de la masse du système. On en voit deux exemples, à des échelles différentes :


Apprendre

objectifsObjectifs

La 3ème loi de Kepler porte en elle, comme toute loi physique, une potentialité énorme : généraliser le particulier, pour mieux comprendre comment fonctionne l'univers.

Il se trouve que sur ce point de vue, elle fonctionne extraordinairement bien. Elle permet de "peser" tout objet de l'Univers, à la seule condition qu'un objet moins massif tourne autour de lui.

prerequisPrérequis

Trajectoires elliptiques

Déterminer la masse du centre de force

Peser est à prendre ici non dans son sens physique (mesurer le poids), mais dans son sens de la vie courante : mesurer la masse. La mécanique newtonienne permet de préciser la constante intervenant dans la 3ème loi de Kepler appliquée à un système ressemblant au système solaire : un ou des objets peu massifs tournant dans le potentiel central d'un corps plus massif.

{T^{2}\over a^{3}} = {4\pi^{2} \over {\mathcal{G}} M}

Cette loi implique 3 paramètres physiques : la période T de révolution et le demi-grand axe de l'orbite, et la masse M du corps central.

La mesure de 2 parmi ces 3 paramètres permet d'en déduire le 3ème : ceci est mis à profit pour déterminer la masse M du centre de force à partir des paramètres orbitaux a et T. Ces 2 termes sont en effet observables, alors que la masse ne l'est pas.

La mesure de la période T nécessite de repérer le mouvement le long de la trajectoire.

La mesure du demi-grand axe de l'orbite découle de la mesure de sa taille angulaire, et nécessite de connaître la distance du système. On voit une fois encore l'importance de la mesure des distances en astronomie.

La 3ème loi de Kepler appliquée au système solaire
PlanèteaT _{\mathrm{sid}}ie \ T^{2}/a^{3}
UAandeg\mathrm{an}^{2}/ \mathrm{UA}^{3}
Mercure0.38710.24087.00.2060.9996
Vénus 0.72330.61523.40.0071.0002
Terre1.00001.0000-- 0.0171
Mars1.52371.88081.80.0931.0000
Jupiter5.202611.862 1.30.0480.9992
Saturne9.554729.457 2.50.0560.9948
Uranus19.218 84.020 0.80.0460.9946
Neptune30.109 164.77 1.80.0090.9946

Indépendamment de l'inclinaison i sur l'écliptique et de l'excentricité e de l'orbite de chacune des 8 planètes, la relation T^{2} / a^{3} = 1 est vérifiée, avec T la période de révolution sidérale. Les désaccords proviennent des écarts aux hypothèses de Kepler. Remarque : dans le système solaire, les masses des planètes et de la plupart de leurs satellites sont connues avec une précision relative de l'ordre de 10^{-5}. Il s'agit de la précision à laquelle est mesurée la constante gravitationnelle {\mathcal{G}}. Le produit {\mathcal{G}} M est souvent déterminé avec une précision bien meilleure.

masse3k.png
Lignes isomasses de la masse (en unité de masse solaire) du centre force dérivée de la mesure des paramètres orbitaux de différents systèmes. La limite en rouge est relativiste : la vitesse orbitale ne peut pas dépasser la vitesse de la lumière. Les différents systèmes représentés illustrent la diversité de la gamme d'application des lois de la gravitation.
Crédit : ASM

Différents systèmes d'unités

Lorsque l'on choisit le système d'unités où les temps se comptent en année, les distances en unité astronomique, et les masses en masse solaire, la 3ème loi de Kepler se réécrit, pour le système solaire.

{T^{2} \over a^{3}} = 1

Sans mener aucun calcul, il suffit pour s'en convaince d'examiner le cas de l'orbite terrestre, pour lequel a = 1 UA, T = 1 an, qui valide le cas de tout autre planète.

Pour un autre système caractérisé par un centre de force de masse \mathcal{M}, la 3ème loi devient, toujours dans le système d'unités (UA, an, M_\odot) :

{T^{2} \over a^{3}} = {1\over \mathcal{M}}

Une application de cette loi sur différents exemples illustre comment une loi physique peut étendre sa validité sur une très large gamme de valeurs.


S'exercer

exercicePeser un astéroide

Difficulté :    Temps : 15 min

Une équipe dirigée par W. Merline a observé en 1998 l'astéroïde (45)Eugénie avec l'optique adaptative du télescope CFH. Les observations ont mis en évidence la présence d'un petit satellite.

Paramètres orbitaux
Période 4.7 j
Demi-grand axe 1190 km
Diamètre de Eugénie215 km
Diamètre du satellite13 km
Question 1)

Déterminer la masse de (45)Eugénie

Question 2)

En déduire la masse volumique moyenne de Eugénie. Estimer sa composition.

Question 3)

Peut-on estimer la masse du petit satellite ?

exercicePeser la Voie Lactée

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

Notre galaxie, la Voie Lactée, a la forme d'une galette d'environ 30000 pc de diamètre et 2000 pc d'épaisseur. La région centrale est formée d'un bulbe d'allure sphérique de 2 700 pc de rayon, qui contient l'essentiel de la masse galactique. Le Soleil orbite à 8000 pc du centre galactique. D'après les mesures Doppler effectuées sur la raie à 21 cm de l'hydrogène, l'orbite du Soleil est approximativement circulaire, et la vitesse orbitale du Soleil est d'environ 220 {\,\mathrm{km\,s}}^{-1}.

Question 1)

Déterminer la période T du mouvement du soleil autour du centre galactique. L'exprimer en années.

Question 2)

Estimer la masse du bulbe galactique, en unité de masse solaire M_{\odot}.


S'évaluer

exerciceLa 3ème loi de Kepler pour une orbite circulaire

Difficulté :    Temps : 20 min

Question 1)

Retrouver l'expression de la 3ème loi de Kepler d'après le cas particulier d'une orbite circulaire, lorsque l'on suppose que les masses des 2 objets vérifient M\gg m.

[1 points]

exerciceComète de Halley

Difficulté :    Temps : 20 min

Question 1)

La comète de Halley a une période sidérale de 76 années. En déduire le demi-grand axe de son orbite.

[1 points]

Question 2)

L'excentricité de son orbite vaut e=0.967, Déterminer son aphélie r _{\mathrm{a}}, son périhélie r _{\mathrm{p}}. Situer ces distances par rapport aux autres planètes.

[1 points]


Les lois de Newton

Auteur: Benoît Mosser

Introduction

Suite aux idées de Copernic, aux observations de Tycho Brahe, aux lois empiriques de Kepler et aux lois du mouvement de Galilée, Newton expose sa théorie de la gravitation. Incontournable, à plus d'un titre, pour comprendre les mouvements en astrophysique.

anneauxsaturne.jpg
Les différents aspects des anneaux de Saturne au cours d'une révolution de la planète.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris.

Un rappel du formalisme mathématique et physique des trajectoires rencontrées dans le problème à 2-corps est donné en fin de sous-chapitre.


Avant Copernic


Observer

Le système de Ptolémée

Les epicycles de Ptolémée permettent de rendre compte de l'allure générale des mouvements planétaires vus depuis la Terre. Sans l'énoncer explicitement, l'introduction de ces epicycles permet rendre compte de 2 effets :

Epicycles de Ptolémée
epicycl.jpg
Les epicycles de Ptolémée ont pour but d'introduire dans la description du mouvement des planètes une contribution due à la rotation de la Terre autour du Soleil. On compte 12 festons sur la "marche" de Jupiter, 29 sur celle de Saturne, ces planètes ayant pour périodes respectives de l'ordre de 12 et 29 ans. En première approximation, les courbes se referment, ce qui suppose des périodes de valeurs exactement multiples de l'année... ce qui n'est pas le cas.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris
Le système héliocentrique de Copernic
systcop.jpg
Le système de Copernic laisse au Soleil sa position ; en conséquence, les orbites planétaires apparaissent quasiment circulaires.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Le système de Copernic

Par rapport à une vision géocentrique, dans le système héliocentrique la Terre cède sa position centrale au Soleil. Les orbites planétaires sont alors simplifiées, par rapport à une vue géocentrique : elles apparaissent à peu près circulaires, avec le Soleil au centre du système.

La combinaison des mouvements de la Terre et de Mars autour du Soleil introduit le phénomène de rétrogradation, lorsqu'à l'opposition la Terre "double" Mars, dans une vue géocentrique.

Reconsidérer l'orbite martienne dans le référentiel héliocentrique permet une description bien plus simple de la trajectoire. Cette "simplicité", synonyme d'un formalisme efficace et prédiction, a conduit au succès du système construit sur une vision héliocentrique, un cadre galiléen, une explication newtonienne de la gravitation.

La rétrogradation de Mars
retromars.gif
Le mouvement de Mars, au voisinage de l'opposition, vu de la Terre ou vu du Soleil.
Crédit : ASM

Apprendre

objectifsObjectifs

Passer de Ptolémée à Newton représente un changement de paradigme. La vision du monde est changée. Le désir de comprendre le monde supplante une vision systématique du monde. L'observation prime sur l'idée préconçue, le formalisme suit les observations.

De Ptolémée à Copernic

On peut résumer le passage de Ptolémée à Copernic par un changement de référentiel.


Simuler

epicycle0.gif
Epicycle engendré par la rotation, sans glissement, d'une roue sur une autre.
Crédit : ASM
epicycle1.gif
Epicycle engendré par deux mouvements circulaires emboîtés, le centre de l'un parcourant la circonférence de l'autre.
Crédit : ASM

Mouvements épicycloidaux

Un mouvement épicycloïdal est décrit par une succession de mouvement circulaires imbriqués. Différents cas sont possibles : roulement d'un cercle sur un autre, entraînement d'un cercle autour d'un autre.

Géo- versus hélio-centrique
copernic.gif
Deux façons de voir le mouvement d'une planète... L'objet reste le même (Jupiter vu depuis la Terre), mais le référentiel change. Remarquer, dans le système de Ptolémée, comment le mouvement apparent du Soleil entraîne celui de Jupiter.
Crédit : ASM

Ptolémée versus Copernic

La comparaison du mouvement de Jupiter vu par Ptolémée ou Copernic montre le gain qualitatif de l'approche copernicienne. Les épicycles décrivant l'orbite jovienne dans un référentiel géocentré ne sont jamais que la combinaison de 2 mouvements circulaires successifs.


De Copernic à Newton


Observer

Le role central du Soleil

La vision héliocentrique de Copernic a permis à Kepler de déterminer précisément l'orbite de Mars.

Mesure de l'orbite de Mars
marskepler.jpgpmars.png
Faire tourner Mars autour du Soleil permet de reconstruire totalement son orbite.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris et ASM

Un autre centre

Galilée, ayant acquis une lunette précise (pour l'époque), l'a tournée vers le ciel. Il a remarqué combien le voisinage de Jupiter était changeant, avec le ballet des 4 satellites... galiléens.

Ballet autour de Jupiter ?
ecrigal2.jpg
Notes de Galilée, avec l'aspect de Jupiter et de son voisinage à différentes dates
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris
Ballet autour de Jupiter !
galileejupiter.jpg
Les observations de Jupiter par Galilée, ordonnées en une sorte de film, montrent sans équivoque le mouvement des satellites autour de la planète.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Apprendre

objectifsObjectifs

Un bon cadre théorique, de bonnes observations, et beaucoup de patience... les ingrédients qui ont permis d'identifier une loi physique universelle.

De Copernic à Newton

Galilée

Galilée (1564-1642) était un physicien. Il étudia la mécanique et la dynamique des corps en mouvement, démontra l'invariance du module du champ de pesanteur terrestre à la surface du globe, et établit la loi de l'inertie : tout corps isolé, non soumis à une force extérieure, est animé d'un mouvement rectiligne uniforme.

Durant l'hiver 1609/1610, Galilée pointa le ciel avec une lunette construite par ses soins. Ses nombreuses découvertes vont bouleverser la vision de l'univers de l'époque : il observa des taches sur le Soleil, des cratères sur la Lune, les phases de Vénus, une multitude d'étoiles dans la Voie lactée et des satellites autour de Jupiter. Cette dernière découverte donnait le coup de grâce au géocentrisme.

Newton

Isaac Newton (1643-1727) réussit à unifier les diverses théories de ses prédécesseurs. En 1687, il publia l'ensemble de ses travaux reliant la mécanique et l'astronomie dans son oeuvre majeure, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, désignée par "Les Principes".

Il montra le caractère universel de la loi de la gravitation, expliquant aussi bien la chute d'un corps sur Terre, l'oscillation du pendule que les mouvements de la Lune et des planètes. Il fut également l'inventeur du premier télescope à miroir exempt des aberrations des lunettes réfractrices utilisées jusqu'alors.


Simuler

Ballet

Le ballet des satellites galiléens (observations (sans interruption diurne !) et reconstruction du mouvement horaire) a montré à Galilée que décidément le Soleil n'était pas le seul centre de force.

Le ballet des satellites galiléens
galileen.gif
Comme les orbitaux des satellites sont confondus avec le plan équatorial de Jupiter, lui même très voisin du plan orbital jovien, quasiment confondu avec l'écliptique, les traces des satellites apparaissent souvent quasi rectilignes (représentées ici d'après les éphémérides fournies par l'IMCCE pour le mois de janvier 2003). Les diamètres de Jupiter (immobile) et des 4 satellites (Io en orange, Europe en vert, Ganymède en bleu clair et Callisto en bleu foncé) ne sont pas à l'échelle.
Crédit : ASM
galileens.gif
Voir la légende de l'animation précédente. Les traits horizontaux représentent un intervalle de temps d'un jour.
Crédit : ASM

Galilée et le problème à 2 corps


Observer

Un nouveau centre de force

En 1610, Galileo Galilei utilise, pour la première fois, une lunette pour l'observation du ciel. Il découvre un étrange ballet autour de Jupiter, qui évolue au fil des nuits. Cette découverte conforte les idées coperniciennes : il existe visiblement d'autres centres de force que le Soleil ou la Terre.

Cahier d'observation
ecrigal2.jpg
Comme le montrent les différents croquis établis au fil des nuits, l'environnement de Jupiter présente un décor changeant. Alors que le déplacement apparent de la planète par rapport aux étoiles entraîne un renouvellement permanent du "décor de fond", quatre objets (les principaux satellites de Jupiter, dit galiléens) évoluent autour de Jupiter. Leurs périodes de révolution (de 1.7 j pour Io à 16 j pour Callisto) assurent une nouvelle configuration de nuit en nuit.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

A deux c'est mieux !

L'approximation du système à 2 corps consiste à supposer le système isolé du reste de l'univers, càd à négliger toute autre interaction. Cette approximation est souvent vérifiée, au moins en première approximation, à ne nombreuse échelles.

Cette prégnance du système à 2 corps est ici illustrée à diverses échelles :

Le système Terre-Lune
terrelune.jpg
Le système Terre-Lune. La dynamique du système relève essentiellement du problème à 2 corps, perturbé par le caractère non ponctuel des objets ( effet de marée), et les autres potentiels gravitationnels du système solaire.
Crédit : NASA
Etoile double
siriusab-x.jpg
Le couple Sirius A - Sirius B : Sirius A est une étoile de type A1V, Sirius B une naine blanche. Leur séparation est de l'ordre de 20 AU, pour une période orbitale de 50 ans. L'image en X obtenue par le satellite Chandra (NASA) permet de visualiser les 2 composantes, qui dans le visible présentent un contraste de 10 magnitudes.
Crédit : NASA
Etoile double
siriusAB.gif
La dynamique de ce système stellaire Sirius A et B relève du problème à 2-corps. La révolution orbitale (période de 50.1 ans, excentricité 0.59) se superpose au mouvement apparent du système.
Crédit : Observatoire du Pic du Midi
La galaxie M51 et son satellite
m51.jpg
L'étude du mouvement relatif des 2 galaxies (M51 et son satellite) relève en première approximation du problème à 2 corps, contrairement à la compréhension fine des trajectoires stellaires individuelles.
Crédit : CFHT

Apprendre

prerequisPrérequis

Mécanique newtonienne ; interaction gravitationnelle

objectifsObjectifs

Le but de cette page n'est pas de reprendre le formalisme du système à 2 corps (se référer à un cours de physique), mais de voir en quoi il est fécond, et cerner son domaine de validité.

Le système à 2 corps : une approximation féconde

Le problème à 2 corps : caractéristiques


S'exercer

exerciceLa trajectoire de la Lune

Difficulté :    Temps : 20 min

Le tableau ci-dessous présente les caractéristiques orbitales de la Lune et de la Terre, ainsi que

objetmasse Mdistance D distance d
(kg) au soleil (km) à la Terre (km)
SoleilM_S = 2.0\ 10^{30}
Terre M_T = 6.0\ 10^{24}150\ 10^6
Lune M_L = 7.3\ 10^{22}150\ 10^6 380\ 10^3
Question 1)

Déterminer l'énergie potentielle et la force d'interaction gravitationnelle entre le Soleil et la Lune, puis entre la Terre et la Lune. Les calculer et les comparer.

Question 2)

Autour de quel corps la Lune tourne-t-elle ?


Le problème à N-corps


Observer

Dynamique à N-corps

L'hypothèse 2-corps est bien commode... mais s'avère la plupart du temps trop restrictive, à toute échelle : systèmes planétaires, stellaires, galactiques...

Amas d'étoiles
globular.png
La dynamique des étoiles de cet amas globulaire (NGC 6093) ne peut s'étudier qu'en considérant l'ensemble des composantes.
Crédit : HST

Exemple : les anneaux planétaires

La dynamique des anneaux planétaires nécessite un cadre formel plus complexe que le problème à 2 corps. Souvent, les satellites présentent des orbites résonantes, tels Prométhée et Pandore, gardiens de l'anneau F, avec une résonance 121:118 (Prométhée accomplit 121 révolutions quand Pandore n'en fait que 118).

Prométhée, Pandore, gardiens de l'anneau F
prompan.jpg
L'anneau F de Saturne est confiné par ses gardiens Prométhée et Pandore. L'action répétée du balayage des satellites conduit à repousser la matière qui aurait tendance à s'étaler radialement.
Crédit : NASA

Perturbations

Les perturbations du problème à 2-corps, typiquement lorsqu'un 3e s'en mêle, ont conduit à de beaux résultats, comme par exemple la découverte de Neptune.

L'orbite d'Uranus apparaissant perturbée par rapport au mouvement attendu (képlérien autour du Soleil, déjà perturbé par les géantes Jupiter et Saturne), le calcul a permis de localiser le perturbateur, en l'occurrence Neptune ainsi dévoilé.

neptune.png
Positions prédite et observée pour Neptune, perturbateur d'Uranus.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

L'écart entre les positions angulaires observée et prédite de Neptune résultait essentiellement de l'indétermination sur le demi-grand axe de sa trajectoire.

neptune2.png
Calculs d'orbite de Neptune, et orbite réelle.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Apprendre

prerequisPrérequis

Mécanique newtonienne ; interaction gravitationnelle

objectifsObjectifs

Contrairement au problème à 2 corps, les problèmes à 3 corps et N-corps ne sont pas analytiquement solubles. Ils sont ici très simplement présentés.

Le problème à 3 corps

On devine que le problème à 3 corps, c'est le problème à 2 corps avec un 3ème que l'on n'arrive pas à négliger.

P.ex., l'évolution à long terme du système Terre-Lune doit tenir compte du Soleil.

L'interaction entre 2 satellites autour d'une planète s'inscrit dans ce cadre également.

Le problème à N-corps

Le problème à N-corps va recouvrir tous les autres cas, où l'approximation 2 ou 3 corps ne marche pas.

On note par exemple :

Modélisations numériques et méthodes statistiques permettent une approche du problème à N-corps.


S'évaluer

exerciceRésonances

Difficulté :    Temps : 20 min

La dynamique des satellites et anneaux planétaires présente de nombreux cas de résonance, lorsque les périodes orbitales des différents objets sont dans des rapports simples, souvent du type n:n+1.

L'orbite du satellite Galatea de Neptune a un demi-grand axe de 61953 km. Les arcs d'anneaux de la planète Neptune occupent une orbite plus éloignée de 984 km.

Question 1)

Montrer que, si le rapport des demi-grands axes des anneaux et de Galatea s'écrit sous la forme 1+x, avec x petit, alors le rapport des périodes vaut 1+3x/2.

[1 points]

Question 2)

Déterminer la résonance en cause, en identifiant l'entier naturel n tel que le rapport des périodes soit égal à (n+1)/n. Montrer au préalable que n = 2/3x.

[1 points]

Question 3)

Faire l'application numérique et identifier l'entier n.

[1 points]


La gravitation universelle


Observer

Universel ?

Que signifie universel dans l'expression gravitation universelle ? Que la loi semble s'appliquer à toute échelle dans l'Univers, de la pomme de Newton à la Lune et aux systèmes les plus lointains.

Aujourd'hui, on ne dirait plus universelle, mais unifiée.

precopernic.jpg
Avant que la gravitation soit universelle.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Apprendre

prerequisPrérequis

Relation fondamentale de la dynamique ; notion de référentiel galiléen

La force d'interaction gravitationnelle

definitionDéfinition

L'interaction gravitationnelle entre deux corps A et B de masse M_A et M_B, séparés par la distance r_{AB} :

  • est colinéaire à la direction AB
  • est attractive
  • se traduit par une force, de A sur B, opposée à celle de B sur A, égale algébriquement à :

F\ =\ - { {\mathcal{G}}}\ {M_A M_B \over r_{AB}^{2}}

Le potentiel gravitationnel

Un objet sphérique de masse M, rayon R, crée un potentiel gravitationnel :

U(r)\ =\ - { {\mathcal{G}} M\over r}

Cette expression suppose implicitement un potentiel nul à l'infini. Cette convention, arbitraire comme toute convention, peut se justifier par divers arguments :

Invariants

Il est commode de traduire les spécificités d'un problème physique en termes de grandeurs invariantes.

On peut ajouter un autre invariant, pour un système supposé isolé, la conservation de la quantité de mouvement totale du système.

remarquePotentiel, énergie, force, champ

Quatre termes rendent compte de la même réalité, avec quatre dimensions différentes. L'énergie potentielle gravitationnelle est bien évidemment une énergie, et la force gravitationnelle une force.

  • Le champ gravitationnel gdérive du potentiel gravitationnel U via g = - \nabla\, U = - \mathrm{grad} \, U, où l'opérateur gradient désigné la dérivation par rapport à l'ensemble des coordonées spatiales. En coordonnées sphérique, dans un problème à symétrie sphérique, g(r)  \ \mathbf{u}_r = - \mathrm{d}\, U / \mathrm{d}\, r \ \mathbf{u}_r
  • L'énergie gravitationnelle E _{\mathrm{p}} d'un corps de masse m dans un potentiel gravitationnel U vaut E _{\mathrm{p}} = m U
  • La force gravitationnelle Fsubie par un corps de masse m dans un champl gravitationnel g vaut F= m g

Trajectoire et mouvement


Observer

Le mouvement d'Eugénie
movie.gif
Le satellite de l'astéroïde Eugénie, observé en optique adaptative, à 5 dates différentes.
Crédit : CFHT
Reconstruction d'une trajectoire cométaire
carteikeya.jpg
Reconstruction de l'orbite de la comète Ikeya-Zhang
Crédit : Planétarium de Saint-Etienne

Les trajectoires du système à 2 corps

Exemples de trajectoires dans le système à 2 corps.


Apprendre

objectifsObjectifs

Retrouver rapidement les différentes trajectoires possibles dans un potentiel gravitationnel, en analysant le mouvement radial d'une particule test.

L'écriture explicite de la trajectoire est établie en exercice.

Lois de conservation

Dans un potentiel gravitationnel de masse M, un objet de masse m garde une énergie mécanique E _{\mathrm{m\acute ec}} constante, somme des énergies cinétique et potentielle, égale à :

{1\over 2} mv^2 - { {\mathcal{G}} M m\over r} \ = \ E _{\mathrm{m\acute ec}}

En coordonnées polaires, le carré de la vitesse s'écrit : v^2 = \dot r^2 + r^2\dot\theta^2.

Par ailleurs, la conservation du moment cinétique s'énonce :

mr^2 \dot\theta \ = \ \sigma_0

Et la vitesse angulaire \dot\theta s'exprime donc en fonction de l'invariant \sigma_0 et de la variable radiale r par :

\dot\theta \ = \ {\sigma_0 \over mr^2 }

Le potentiel effectif
poteff0.png
Le potentiel effectif est la somme du terme gravitationnel, attractif en -1/r, et du terme rotationnel, répulsif en +1/r^2. Dès lors que le moment cinétique est non nul, la barrière de moment cinétique empêche d'approcher du centre de force.
Crédit : ASM
Excursion radiale
poteff.png
Les seules positions radiales accessibles sont celles pour lesquelles E _{\mathrm{c}} \ge 0, càd E _{\mathrm{m\acute ec}} \ge E _{\mathrm{eff}}.
Crédit : ASM
Différentes orbites possibles
potef.png
Selon la valeur de l'énergie mécanique E, la trajectoire peut être liée (cercle ou ellipse) ou libre (parabole ou hyperbole).
Crédit : ASM

Le potentiel effectif

En éliminant la variable angulaire de l'équation de conservation de l'énergie, on aboutit à une équation reliant l'énergie cinétique radiale 1/2 \ m\dot r^2 à un potentiel uniquement radial :

{1\over 2} m\dot r^2 + \left[{ -{ {\mathcal{G}} M m\over r} + {\sigma_0^2\over 2m r^2} }\right] \ = \ E _{\mathrm{m\acute ec}}

On décide alors d'étudier le mouvement radial du système muni de l'énergie potentielle effective :

E _{\mathrm{eff}} (r)\ = \ {\sigma_0^2\over 2m r^2}- { {\mathcal{G}} Mm \over r}

On identifie la somme de 2 contributions :

Le mouvement radial s'étudie alors à l'aide de la courbe de potentiel effectif. Les différentes excursions radiales dépendent de l'énergie E _{\mathrm{m\acute ec}} du système.


Vitesse orbitale


Apprendre

objectifsObjectifs

Les exemples de trajectoires quasi-circulaires autour d'un centre de force sont légions, et méritent d'être étudiés de près. D'autant plus que l'observation de paramètres liés au mouvement circulaire autour d'un centre de force est un des nombreux moyens de peser les objets de l'univers.

Vitesse orbitale

On considère un objet de masse négligeable, placé dans un potentiel central de masse M, sur une orbite circulaire de rayon r parcourue à la vitesse v.

Le principe fondamental de la dynamique donne directement le lien entre la vitesse v et le rayon r, en évaluant l'accélération centrale :

{ {\mathcal{G}} M\over r^{2}} = {v^{2}\over r}

D'où la relation entre la vitesse et le rayon orbital :

v = \sqrt{ {\mathcal{G}} M \over r}

Applications

La relation donnant la vitesse orbitale en fonction du rayon d'une orbite circulaire permet, comme la 3e loi de Kepler, de "peser" la masse M du centre de force. Rien d'étonnant à cela, il s'agit de la même loi réécrite sous une autre forme (voir exercice). La mesure des 2 observables v et r permet de déterminer la masse M du centre de force, qui doit rendre compte de la relation:

v = \sqrt{ {\mathcal{G}} M \over r}


S'exercer

qcmQCM

1)  La vitesse orbitale d'un satellite de masse m, dans le potentiel d'un corps sphérique de masse M



2)  La vitesse orbitale dans le potentiel d'un corps sphérique de masse M s'exprime ainsi:




exercicePhobos et Deimos

Difficulté :    Temps : 20 min

Le tableau ci-dessous présente les caractéristiques orbitales des 2 satellites de Mars, Phobos et Deimos.

Satellites martiens
Phobos a_p = 2.76\ R_M
Deimos a_d = 6.91\ R_M
Mars {\mathcal{G}} M = 4.2\ 10^{13}\, \mathrm{SI}
R_M = 3400 {\,\mathrm{km}}
Question 1)

Calculer les vitesses orbitales des 2 satellites.

Question 2)

En déduire leurs périodes orbitales. Comparer à la journée martienne (24.5 h) et conclure.

exerciceSurvol d'un satellite

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

On cherche à évaluer la durée de transit d'un satellite artificiel en orbite basse. On suppose l'horizon totalement dégagé, et le satellite visible dès lors qu'il surmonte l'horizon. On donne :

Données
rayon terrestre R=6400 {\,\mathrm{km}}
masse de la Terre M = 6\ 10^{24} {\,\mathrm{kg}}
altitude du satelliteh = 200 {\,\mathrm{km}}
Question 1)

Estimer la vitesse et la période orbitale du satellite.

Question 2)

Faire un schéma montrant quelle portion de la trajectoire du satellite est visible.

Question 3)

Estimer la taille angulaire de cet arc de trajectoire. En déduire la durée de visibilité du satellite.


S'évaluer

exerciceVitesse circulaire / 3e loi de Kepler

Difficulté :    Temps : 10 min

Question 1)

Reprendre les expressions de la 3e loi de Kepler et de la vitesse d'un objet en orbite circulaire autour d'un centre de force de masse M, et montrer, comme il s'agit de la même physique, que l'on peut les déduire l'une de l'autre.

[2 points]

exerciceObjets de Kuiper

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 30 min

La recherche des objets lointains du système solaire, p.ex. les objets de Kuiper, est basée sur la détection de leur mouvement par rapport aux étoiles.

kuiper.gif
Mouvement apparent d'un objet de Kuiper sur 5 heures.
Crédit : CFHT
Question 1)

Déterminer les vitesses orbitales, linéaire puis angulaire, d'un objet de Kuiper sur une orbite circulaire à 40 UA. Donner sa période de révolution sidérale.

[2 points]

Question 2)

Cette question s'intéresse au mouvement orbital autour du Soleil. Déterminer la vitesse angulaire relative de l'objet par rapport à la Terre. Quel terme domine dans ce mouvement apparent ?

[3 points]

Question 3)

Déterminer le déplacement angulaire apparent sur fond de ciel de cet objet de Kuiper en 2 heures. Quel est l'intérêt d'observer à l'opposition ?

[3 points]

exerciceRotation dans une galaxie

Difficulté : ☆☆   Temps : 40 min

Un grand nombre de galaxies présentent un profil de luminosité qui varie en loi de puissance en fonction de la distance r au centre galactique :

L(r)\ =\ L_0\ \left({r_0\over r}\right)^\alpha

Cette donnée observationnelle permet d'écrire le profil de masse volumique de la galaxie sous la forme:

\rho(r) \ = \rho_0\ \left({r_0\over r}\right)^\alpha

Question 1)

Déduire du profil de masse volumique la masse m(r) de la sphère galactique de rayon r. Montrer d'une part que la constante \alpha doit vérifier \alpha < 3, d'autre part que le profil de masse volumique doit nécessairement être tronqué au delà d'un certain rayon.

[3 points]

Question 2)

Déduire de m(r) le champ gravitationnel G(r), ainsi que la vitesse de rotation circulaire au sein de la galaxie s'écrit :

v^2(r) \ = \ {4\pi {\mathcal{G}} \rho_0 r_0^\alpha \over 3 - \alpha}\ r^{2-\alpha}

[2 points]

Question 3)

La plupart des galaxies montrent, pour large intervalle en rayon, un profil de vitesse plat. Quelle valeur de l'exposant \alpha cette donnée observationnelle privilégie-t-elle ? Quelle conséquence pour le champ gravitationnel et la masse au rayon r ?

[2 points]

Question 4)

Dans le voisinage solaire, à 8.5 kpc du centre galactique, la vitesse de rotation est de l'ordre de 220 km.s^{-1}. En déduire la valeur de la masse galactique comprise dans la sphère de rayon 8.5 kpc. La traduire en masse solaire. Cette valeur vous semble-t-elle plausible ?

[3 points]


Vitesse de libération


Observer

Quitter la Terre

De manière très pratique, la notion de vitesse de libération se pose dès lors que l'on veut quitter la Terre.

Le lancement d'une sonde interplanétaire
Il faut communiquer à une sonde spatiale une vitesse suffisante pour l'extraire du puits de potentiel où la maintient la Terre.
Crédit : NASA

Apprendre

objectifsObjectifs

Qu'il s'agisse de lancer une sonde interplanétaire, de faire revenir cette sonde de Mars, d'estimer la vitesse d'entrée dans la haute atmosphère terrestre d'une "étoile filante", ....une notion importe : la vitesse de libération d'un corps.

Aller à l'infini !

definitionDéfinition

La vitesse de libération d'un objet correspond à la vitesse à communiquer à un corps initialement à la surface de l'objet pour l'éloigner à l'infini.

La détermination de la vitesse de libération v _{\mathrm{lib}} est aisée via la conservation de l'énergie mécanique de l'objet.

Le bilan énergétique au sol s'écrit :

E _{\mathrm{c}}+ E _{\mathrm{p}} = {1\over 2} m v _{\mathrm{lib}}^{2} - { {\mathcal{G}} M m\over R}

avec M et R les masse et rayon du corps à quitter, m la masse de la particule test, et l'origine des potentiels ayant été choisie nulle à l'infini.

Le bilan énergétique à l'infini s'écrit :

E _{\mathrm{c}} + E _{\mathrm{p}} = 0

On demande juste au corps de pouvoir aller à l'infini, càd accepter une énergie potentielle nulle, et une énergie cinétique nulle également.

La conservation de l'énergie cinétique conduit alors à :

v _{\mathrm{lib}} = \sqrt{2 {\mathcal{G}} M\over R}

Seuls apparaissent dans cette expression de la vitesse de libération de l'objet ses masse et rayon. On voit que cette vitesse est égale à la vitesse de rotation à altitude nulle, multipliée par \sqrt{2}.

Applications

La vitesse de libération est une notion essentielle pour la dynamique dès lors qu'il s'agit d'extraire un objet (une sonde, un caillou martien) d'un champ de gravitation.

Le problème considéré à l'envers - venir de loin et arriver à la surface d'un astre -- permet d'estimer la vitesse de chute libre sur un corps.

Enfin, cette notion permet d'introduire tout naturellement ce qu'est un trou noir.


S'exercer

exerciceLa collision de la comète SL9 sur Jupiter

Difficulté :    Temps : 30 min

Les fragments de la comète Shoemaker-Levy 9 ont brûlé dans l'atmosphère de Jupiter entre les 16 et 20 juillet 1994. Ils provenaient du noyau d'une comète capturée par la planète géante, fragmenté par effet de marée lors d'un premier passage à bas périjove (périastre, lorsque l'astre est Jupiter) en 1992. Pour la suite, on considère l'orbite très elliptique de la comète analogue, énergétiquement parlant, à une orbite parabolique.

sl9mars94.jpg
Les fragments de la comète SL9 observés en mars 1994, 4 mois avant la collision, et 20 mois après le passage de la comète qui a conduit à sa fragmentation par effet de marée dû à Jupiter.
Crédit : HST
hstplume.jpg
Explosion du 1er fragment de SL9. L'enveloppe de l'explosion est apparue derrière le limbe, puis est retombée.
Crédit : HST
Question 1)

Traduire la description de l'orbite en termes énergétiques.

Question 2)

Calculer la vitesse de collision.

Question 3)

Que vaut la vitesse de libération de Jupiter ?


Trou noir


Observer

Environnement du centre galactique
trou_noir_galactique.png
Environnement du centre de la Galaxie, et mise en évidence de trajectoires képlériennes.
Crédit : ESO
Mouvement autour du centre galactique
orbit.png
La trajectoire de l'étoile S2 autour du centre galactique. Les observations dans la fenêtre entourée de rouge ont été effectuées grâce à l'optique adaptative.
Crédit : ESO

Hypothèse ; le trou noir central de la Galaxie

L'environnement du centre de la Galaxie dévoile de nombreux objets en rotation képlérienne très rapide.

L'observation de l'étoile S2 autour du centre galactique, menée sur une dizaine d'années, permet de mesurer, via la 3e loi de Kepler, la masse concentrée autour de ce dernier (calculée en exercice). La concentration de masse, alliée à l'absence de rayonnement visible et infrarouge, laisse suspecter la présence d'un trou noir supermassif.


Apprendre

Un objet défini par son horizon

Il a été établi, pour tout corps de masse M et rayon R, une vitesse de libération v _{\mathrm{lib}} = \sqrt{2 {\mathcal{G}} M / R}. Plus un corps est massif et petit, plus sa vitesse de libération va être élevée. Or toute vitesse est physiquement limitée à la célérité de la lumière.

definitionDéfinition

On définit un trou noir comme un objet dont la vitesse de libération vaut c, la vitesse de la lumière.

Le trou noir de masse M est limité par un horizon de rayon R _{\mathrm{TN}} :

R _{\mathrm{TN}} = {2 {\mathcal{G}} M \over c^{2}}

Quelques propriétés

C'est peu dire que ce genre d'objet fait couler beaucoup d'encre. Que peut-on en dire, qui reste physique, juste et simple ?


Simuler

Reconstruction d'orbite

Les mesures astrométriques dans la direction du centre de notre Galaxie ont mis en évidence des objets présentant de très rapides mouvements.

Les observations menées depuis 1992, et extrapolées jusqu'en 2006, permettent de reconstruire l'orbite et le mouvement de l'étoile S2 autour du centre galactique.
Crédit : ESO

S'exercer

exerciceLe centre galactique

Difficulté :    Temps : 30 min

L'observation du mouvement de l'étoile S2 autour du centre galactique permet de dégager les propriétés orbitales suivantes.

Il s'agit d'une ellipse de demi-grand axe 0.119", parcourue en une période de 15.2 ans, avec une excentricité de 0.87.

Question 1)

Pourquoi l'approximation du système à 2 corps semble-t-elle convenable ?

Question 2)

Le Soleil se situant à 8000 pc du centre galactique, estimer le demi-grand axe de l'orbite en UA

Question 3)

En déduire la masse \mathcal{M} du centre galactique, en masse solaire.

Question 4)

Estimer la valeur du péricentre r _{\mathrm{p}}, en UA

Question 5)

L'orbite de S2 apparaissant rigoureusement elliptique, comme le prévoit la mécanique képlerienne, on peut supposer que la taille caractéristique du corps central permet l'application de la mécanique du point. En d'autres termes, ce centre de force s'inscrit dans un rayon bien moindre que le péricentre... et serait un trou noir. Estimer alors l'horizon de ce trou noir de masse \mathcal{M}.

Question 6)

Estimer la vitesse de S2 au péricentre (le rayon de courbure \mathcal{R} _{\mathrm{p}} de la trajectoire au péricentre est égal au paramètre p de l'ellipse, soit r _{\mathrm{p}} (1+e)).


S'évaluer

exerciceTrou noir

Difficulté :    Temps : 20 min

Le tableau ci-dessous présente la masse et le rayon de différents objets.

Apprenti trou noir
Objet Masse (kg)Rayon (m)
Soleil2\ 10^{30}7\ 10^8
Vous \simeq 70\pm 20\ ? \simeq 1
Bulbe galactique2\ 10^{41}10^{3} {\,\mathrm{pc}}
Question 1)

Calculer leur vitesse de libération

[2 points]

Question 2)

Déterminer leur horizon s'ils étaient candidats trous noirs.

[2 points]


Ellipses, paraboles et hyperboles


Observer

coniques.png
Diverses coniques, selon l'excentricité e : du cercle e=0, à l'ellipse 0<e<1, la parabole e=1 et l'hyperbole e>1.
Crédit : ASM

Coniques

Dans le système à 2 corps, les orbites accessibles sont des coniques. Ce terme provient du fait que ces courbes correspondent aux intersections possibles d'un cône de révolution avec un plan.

projellipse1.pngprojellipse2.png
Une ellipse vue dans son plan, et projetée sur le plan du ciel, avec les axes principaux (en orange) et le foyer (croix). La projection du vrai demi-grand axe ne coïncide clairement pas avec le demi-grand axe de l'ellipse projetée. 0 correspond au centre (position conservée par projection), F au foyer occupé par la composante principale (non conservée), et P le périastre.
Crédit : ASM

Projection d'une orbite elliptique

Les orbites elliptiques observées n'ont aucune raison d'être dans le plan du ciel ; seule leur projection est accessible. Ceci pose problème, car ni l'excentricité ni le demi-grand axe sont conservés par projection. Retrouver ces paramètres nécessitent une reconstruction sérieuse.

Restent néanmoins invariant par projection : le centre, et le rapport OF/OP, qui donne l'excentricité de l'orbite dans son plan


Apprendre

objectifsObjectifs

Présentation des éléments définissant les trajectoires possibles dans le système à 2 corps.

Nature de l'orbite selon l'excentricité ou l'énergie mécanique totale
excentricitétrajectoire mouvementénergie mécanique
e=0 cercle lié minimale et <0
0<e<1 ellipse lié E <0
e=1 parabole libre E =0
e>1 hyperbole libre E >0

Nature de l'orbite selon l'excentricité, dans le cadre du système à 2 corps. La valeur de l'énergie mécanique suppose une référence des énergies potentielles nulle à l'infini.

Trajectoires

Les trajectoires qui sont solution du problème à 2 corps dépendent de l'énergie mécanique totale du système et de son moment cinétique, et peuvent être circulaires, elliptiques, paraboliques ou hyperboliques.

En coordonnées polaires, la trajectoire d'un système dans le cadre du problème à 2 corps a pour équation paramétrique :

r = {p\over 1+e \cos \theta}

Cette expression peut être obtenue à partir des équations du mouvement du système à 2 corps par l'étude des équations de Binet (voir un cours de physique), ou par le vecteur excentricité.

Deux paramètres suffisent à définir la trajectoire dans son plan.

defellipse.png
Eléments d'une ellipse : centre O, foyer F, grand axe 2a, péri- et apoastre.
Crédit : ASM
Péri et apoastre : vocabulaire
astrepériastre apoastre
Soleilpérihélieaphélie
Terre périgée apogée

Eléments de la trajectoire

Exemples


Simuler

De l'excentricité

Les animations ci-jointes permettent de visualiser l'évolution d'une conique en fonction de son excentricité

ellipsf.gif
Famille d'ellipses de demi-grand axe fixé, d'excentricité variable
Crédit : ASM
ellipsf2.gif
Famille de coniques de paramètre p fixé, d'excentricité variable de 0 (cercle) à 2.
Crédit : ASM

S'exercer

tordu1.png
Ellipse reconstruite dans le plan orbital.
Crédit : ASM
tordu2.png
Ellipse observée dans le plan du ciel, distinct du plan orbital
Crédit : ASM

qcmQCM

1)  Retrouver l'expression reliant le périastre r_p au demi-grand axe a de l'ellipse.




2)  Retrouver l'expression reliant l'apoastre r_a au demi-grand axe a de l'ellipse.




3)  Retrouver l'expression reliant le demi-grand axe a au paramètre p de l'ellipse.




4)  Retrouver sur la figure ci-jointe la seule figure possible correspondant à la reconstruction d'une orbite dans son plan orbital.




5)  Retrouver sur la figure ci-jointe la seule figure impossible correspondant à une orbite observée dans le plan du ciel, supposé distinct du plan orbital.





Conclusion

À retenir absolument de ces pages :

conclunewton.png
Différentes étoiles doubles mesurées par le satellite Hipparcos. La ligne en trait plein fixe le segment foyer-périastre (P), celle en trait mixte la ligne des donnée. Les cercles, de rayon 0.1", donnent l'échelle.
Crédit : ESA

Systèmes binaires et multiples


Introduction

Les sections sur les lois de Kepler et Newton ont montré l'importance astrophysique du système à 2 corps. On se propose, dans ce sous-chapitre, de parcourir les nombreux cas où l'étude de systèmes multiples permet de faire de la belle astrophysique, en balayant les systèmes stellaires doubles et les planètes extrasolaires.

Gl229B.jpg
La naine brune Gliese 229 B, compagnon de ... Gliese 229 A.
Crédit : Palomar Observatory/HST

L'image de l'étoile Gliese 229 montre à elle-seule l'intérêt d'observer le voisinage d'une étoile : on y a découvert une naine brune.


Les systèmes stellaires multiples

Auteurs: M. Gerbaldi, G. Theureau

Introduction

Le phénomène d'étoile double est très commun : on estime en effet que plus de la moitié des étoiles appartiennent à des systèmes binaires ou multiples.

Certaines des paires observées résultent de l'alignement fortuit de deux étoiles sur la ligne de visée, alors que les deux composantes sont en réalité à des années lumières l'une de l'autre (on parle alors de couples optiques), mais la grande majorité sont de réels systèmes binaires, les deux étoiles étant liées gravitationnellement.

Les mouvements de ces objets sont képlériens, chaque étoile décrivant une ellipse autour du centre de masse commun. Ce sont en fait les caractéristiques du mouvement qui permettent de distinguer les couples optiques des vraies étoiles doubles.

L'étude des systèmes doubles est précieuse pour de nombreuses mesures : masses, rayons....

epslyraecds.jpg
L'étoile double epsilon de la constellation de la Lyre (en fait, elle est double-double i.e. chacune des deux étoile est double)
Crédit : CDS

Etoiles doubles


Observer

Exemples de systèmes multiples

Les étoiles binaires ou multiples sont majoritaires.

sigmaoricds.jpg
L'étoile double sigma de la constellation d'Orion, entourée de 4 autres compagnons orbitant à plus grande distance.
Crédit : CDS

Proxima Centauri

L'étoile la plus proche du Soleil, Proxima Centauri, à 1.3 pc, est une étoile triple. Les deux composantes les plus brillantes A et B ont une séparation maximale de 35", correspondant à un demi-grand axe de 23.5 UA et une période de révolution de 80 ans. Ce sont deux étoiles de la séquence principale de types spectraux respectifs G2 et K1. Le mouvement de la troisième composante (C) n'est pas connu avec une précision suffisante pour conclure définitivement, mais l'on pense qu'elle est physiquement associée aux deux autres, car elle partage les mêmes parallaxe et mouvement propre. Elle est située à 2.2 deg des deux autres, avec une période orbitale d'au moins 250 000 ans...


Apprendre

Systèmes binaires ou multiples

De nombreux systèmes multiples, avec deux, trois étoiles ou plus, forment un système gravitationnellement lié. De tels systèmes ont tendance à former une paire centrale, les autres composantes jouant un rôle de perturbateur par rapport au mouvement orbital de celle-ci.

Sur 3 étoiles, 2 sont dans un système multiple.

Formation stellaire et binarité

Les étoiles se forment suite à l'effondrement d'un nuage de matière interstellaire. Celui-ci, de masse très supérieure à la masse stellaire moyenne, conduit à une formation d'un groupe d'étoiles. Ce processus favorise la binarité.

Classification

La classification des étoiles doubles est essentiellement liée aux moyens observationnels qui ont servi à leur découverte.

On parle ainsi de binaires visuelles ou astrométriques, de binaires à éclipse et de binaires spectroscopiques, selon qu'elles ont été découvertes ou étudiées à partir de leur mouvement apparent sur le ciel, des variations de leur éclat ou des caractéristiques de leur spectre.


Binarité et astrophysique


Apprendre

prerequisPrérequis

Notion de classification spectrale et de type spectral.

De l'intérêt de l'étude

L'étude des étoiles doubles apporte un grand nombre d'informations importantes sur les étoiles, en particulier en termes de masse, de rotation, de rayon, de densité, de luminosité et de température superficielle. Ces informations, elles sont souvent les seules à pouvoir nous les donner, et leur étude est par là même indispensable pour comprendre la formation et l'évolution stellaire.

La reconstitution des orbites

Dans le cas des étoiles binaires visuelles, si la parallaxe du système est connue, la reconstitution de l'orbite de l'une des deux étoiles et de son demi-grand axe permet de calculer la somme des masses des deux composantes.

Si, par ailleurs, on est capable de repérer le mouvement de chacune des deux composantes par rapport au centre de masse du système, on est alors en mesure de calculer la masse de chaque étoile.

La courbe de lumière et la variation du spectre

L'analyse de la forme des courbes de lumière des étoiles binaires à éclipse permet de connaître certains paramètres physiques de l'atmosphère des étoiles du système. Lors d'une éclipse totale, on peut déterminer le rapport des températures effectives des deux composantes, sous couvert d'une modélisation réaliste du profil de brillance pour chacun des disques stellaires.

Si l'orbite est circulaire, on peut accéder au rapport des rayons des étoiles, ou aux rayons eux-mêmes si l'on connaît également, grâce à l'analyse de leur spectre, la courbe de variation des vitesses radiales. Ce type de situation est très rare puisqu'il faut que l'étoile soit à la fois binaire à éclipse et binaire spectroscopique. Les rayons n'ont ainsi pu être mesurés en valeur absolue que pour un très petit nombre d'étoiles, et cette mesure est fondamentale car c'est, avec l'interférométrie, le seul moyen de mesurer directement des rayons stellaires.

Des analyses plus fines

Certains systèmes particuliers permettent une analyse plus fine de l'atmosphère d'une des composantes. C'est le cas par exemple de l'étoile zeta Aurigae qui est un système formé d'une étoile géante de type K (245 fois la taille du Soleil) et d'une étoile naine de type B appartenant à la séquence principale. L'étoile de type B, la plus lumineuse, est périodiquement éclipsée par l'étoile géante dont l'atmosphère est très étendue et très diffuse, en particulier dans ses régions les plus externes. L'analyse spectroscopique de l'étoile B, vue par transparence au travers de l'atmosphère de l'étoile K permet une analyse fine des différentes couches de cette dernière. L'analyse détaillée de la courbe de lumière peut parfois donner la vitesse de rotation de l'étoile éclipsée.


Les étoiles doubles visuelles


Observer

epslyraecds.jpg
L'étoile double epsilon de la constellation de la Lyre
Crédit : CDS
thetaserpentis_3.jpg
Les 2 composantes principales de l'étoile multiple \theta Serpentis partagent des parallaxes identiques (0.0248"). Malgré leur mouvement orbital, leurs mouvements propres (flèches rouges) apparaissent voisins. La 3ème composante, dans le coin supérieur gauche du cliché, possède également une parallaxe identique.
Crédit : CDS

Vous voyez double ?

Hasard des alignements, ou système double ? Une image seule ne suffit pas à répondre.

Signatures

Deux figures de diffraction signent également la présence de deux objects non résolus... mais ça ne suffit pas pour conclure sur la binarité. Une bonne signature, en plus de la proximité angulaire, est fournie par des parallaxes communes.


Apprendre

Définition

On appelle binaire visuelle un couple d'étoiles qui peut être résolu en deux composantes au moyen d'un télescope, qui montrent des paramètres communs (parallaxe, ou mouvement propre typiquement). Typiquement, ce sont des étoiles relativement éloignées l'une de l'autre, dont la période orbitale varie entre un an et plusieurs milliers d'années.

Ici, et dans la plupart du chapitre, on parle uniquement d’étoiles, mais la majorité des reflexions s’appliquent également aux exoplanètes.

Binaires astrométriques

Un cas particulier de binaire visuelle est celui des binaires astrométriques. Il s'agit d'étoiles doubles dont on ne voit qu'une des deux composantes : c'est le mouvement apparent périodique de l'étoile visible qui permet de détecter indirectement l'existence d'un compagnon. Celui-ci est très peu lumineux et en général de faible masse. Ce type d'étude très fine du mouvement apparent est un terrain propice pour la découverte de nouveaux systèmes planétaires.


Simuler

Ballets

siriusfilm1.gif
Mouvement de Sirius B autour de Sirius A. La date est indiquée en bleu, en année décimale.
Crédit : ASM

Le mouvement orbital du couple Sirius A et B, composé au mouvement propre, conduit à de jolis festons.


Les étoiles doubles spectroscopiques


Observer

Spectre du système 57 Cyg

Les raies du spectre de 57 Cyg présentent un dédoublement périodique. Ceci est interprété comme la signature d'un système double.

57cyg.gif
Dédoublement des raies H alpha (656.3 nm) et HeI (667.8 nm) dans le spectre de 57 Cygni. Observations menées par le Cercle Astronomique pour l'Accès à la Spectroscopie
Crédit : Christian Buil

Déplacement des raies

Si le rapport des luminosités est important, seule l'une des composantes est visible. Ses raies apparaissent modulées au cours de la période orbitale. Cette modulation n'est pas à confondre avec celle liée au mouvement annuel de la Terre autour du Soleil.

spectraaeso.png
Déplacement au cours du temps des raies d'une étoile appartenant à un système binaire spectroscopique.
Crédit : U. Texas

Apprendre

Définition

Les étoiles binaires spectroscopiques forment des couples en général très serrés, constituant une image unique au foyer d'un télescope. Elles sont détectées grâce à l'analyse de leur spectre, où l'on observe un déplacement périodique des raies.

Binaires de type 1 ou 2

Deux composantes suffisamment brillantes ou de type spectral semblable constituent un système à doubles raies, mais il arrive souvent que l'on n'observe qu'une seule des deux composantes. Comme dans le cas des binaires astrométriques, ceci permet de deviner indirectement la présence du compagnon. Les binaires spectroscopiques ont typiquement des périodes orbitales de quelques heures à quelques mois.


Simuler

Dédoublement de raies

Si les 2 composantes sont de type spectral identique, le dédoublement de la binaire spectroscopique apparaît très symétrique. Mais ce n'est pas nécessairement le cas : deux étoiles de type spectral ou magnitude différentes vont montrer un dédoublement non symétrique, voire pas de dédoublement mais une simple modulation si seulement la composante la plus brillante est visible.

binairespectro1.gif
Dédoublement symétrique de raies dans un système double spectroscopique.
Crédit : ASM
binairespectro2.gif
Dédoublement non symétrique de raies dans un système double spectroscopique.
Crédit : ASM
binairespectro3.gif
Pas de dédoublement de raies dans un système double spectroscopique, mais une simple modulation, lorsque le rapport des luminosités stellaire est très déséquilibré.
Crédit : ASM

Les étoiles binaires à éclipse


Observer

courbealgol.png
Courbe de lumière d'Algol.
Crédit : ASM

Eclipses

Un système double peut être dévoilé par analyse de sa courbe de lumière, par la présence d'éclipses.


Apprendre

Définition

Un système binaire à éclipse est un système où les deux composantes s'éclipsent mutuellement et périodiquement au cours de leur mouvement orbital. Ce que l'on observe est alors une courbe de lumière correspondant à la variation périodique de la magnitude apparente du système. On qualifie aussi ces étoiles de binaires photométriques.

S'il y a occultation, l'observateur se trouve forcément au voisinage du plan de l'orbite.

Le phénomène est le même que les transits de planètes ou d'exoplanètes.


Simuler

Courbe de lumière

La forme de la courbe de lumière dépend :

L'appliquette ci-jointe permet de faire varier ces paramètres. Examiner dans différents cas (binaire composée d'une géante rouge et naine bleue, ou composée de naines rouge et bleue) les phénomènes suivants concernant l'allure conjointe du mouvement et de la courbe de lumière (lancer la visualisation avec la commande Figure+Graphe) :

Vous devez ensuite pouvoir répondre aux questions :

application.png

Type Algol ou W Ursae

Les binaires de type Algol sont nettement séparées, alors que celles de type W Ursae sont très proches.

binairesalgol.gif
Courbe de lumière d'une binaire à éclipse de type Algol.
Crédit : ASM
binaireswursae.gif
Courbe de lumière d'une binaire à éclipse de type W Ursae
Crédit : ASM

Binaires visuelles

Auteurs: M. Gerbaldi, G. Theureau

Introduction

siriusorbite.png
L'orbite de Sirius B autour de Sirius A.
Crédit : ASM

Les étoiles binaires visuelles


Observer

boucleretroferme.jpg
Etoile double résolue par optique adaptative
Crédit : ESO

Séparation

L'observation des étoiles binaires visuelles est limitée par la qualité d'image des observations au sol. La plus petite séparation angulaire détectable depuis le sol est d'environ 1 seconde d'arc. Cette limite imposée par la turbulence atmosphérique est améliorée grâce à l'optique adaptative. L'interférométrie sur les VLT permet d'atteindre une séparation de quelques millièmes de seconde d'arc.


Apprendre

Sélection

L'effet de sélection dans l'observation de ces couples est très important. Deux catégories d'objets sont en particulier très difficile à observer : les binaires à longue période d'une part, et d'autre part les étoiles qui forment au contraire un système très serré.

La séparation caractéristique de tels couples varie d'une fraction d'unité astronomique à quelques centaines d'unités astronomiques, quand leurs périodes s'échelonnent de quelques années à plus d'un siècle. Les périodes plus longues (quelques siècles) ou les orbites plus grandes sont très difficiles à mettre en évidence, essentiellement pour des raisons de recul dans le temps.

Le mouvement des deux corps

Un grand intérêt de l'observation des étoiles binaires visuelles est que la mesure des paramètres apparents de l'orbite permet de calculer la masse des deux composantes du système, via la 3e loi de Kepler :

\frac{a^3}{T^2}\ =\ \frac{\mathcal{G}}{4\pi^2}\ (M_1+M_2)

La définition du barycentre du système conduit à :

M_1\ a_1\ =\ M_2\ a_2 \mathrm{ \ avec \ } a=a_1+a_2

a représente le demi-grand axe de l'orbite relative du corps de masse M_1 par rapport au corps de masse M_2 et a_1 et a_2 sont les demi-grands axes des orbites absolues de chacun des corps par rapport au barycentre G du système.

La mesure de a, T et de la position du barycentre du système (c'est-à-dire des demi-grands axes a_1 et a_2) permet alors de déterminer M_1 et M_2.


S'exercer

exerciceBinaire visuelle

Difficulté :    Temps : 30 min

On observe une étoile double visuelle dont les caractéristiques observées sont les suivantes :

séparation angulaire maximum 5"
séparation angulaire minimum 1"
parallaxe \Pi 0.1"
période de révolution T 30 ans

L'étoile primaire E_1 se trouve au foyer de l'orbite observée ; le compagnon est observé à une distance du barycentre 5 fois plus grande que celle de l'étoile primaire.

Question 1)

Montrer que l'inclinaison i du plan de l'orbite est nulle.

Question 2)

Déterminer le rapport des masses des deux étoiles.

Question 3)

Exprimer la loi du mouvement des deux corps (troisième loi de Kepler) en prenant comme unités de masse, la masse du Soleil, de temps, l'année, et de distance, la distance Terre-Soleil (unité astronomique).

Question 4)

Calculer la distance en parsec à partir de la parallaxe, puis le demi-grand axe en UA.

Question 5)

Déterminer la masse de chaque composante en unité de masse solaire.


La trajectoire apparente


Observer

siriusAB.gif
Sirius A et B. Simulation superposée à une vue du ciel, avec Sirius A masqué par coronographie
Crédit : Observatoire du Pic du Midi
siriusfilm1.gif
Mouvement de Sirius B autour de Sirius A. La date est indiquée en bleu, en année décimale.
Crédit : ASM

Mouvements

Dans le cas des binaires visuelles, on observe à chaque instant la séparation angulaire apparente d entre les deux composantes et l'angle de position \theta de la composante la plus faible par rapport à une direction de référence (celle de la direction du pôle céleste Nord) passant par l'étoile la plus brillante et repérée par rapport aux autres étoiles.

Trajectoire apparente

Trajectoire apparente de Sirius B autour de Sirius A, et animation correspondante.

Orbite projetée
ellipseprojetee.png
La projection d'une ellipse reste une ellipse, mais la projection du foyer n'est pas le foyer de l'ellipse projetée. Le demi-grand axe initial (tireté bleu) n'est pas le demi-grand axe de l'orbite projeté.
Crédit : ASM

Projection

Ce que voit en général l'observateur, ce n'est pas l'orbite elle-même mais sa projection sur un plan perpendiculaire à la ligne de visée. Dans cette projection, les orbites sont toujours des ellipses et la loi des aires est conservée. Par contre, le foyer de l'ellipse projetée (ou orbite apparente) n'est pas la projection du foyer de l'orbite vraie et le demi-grand axe apparent n'est pas non plus la projection du demi-grand axe vrai. Pour remonter aux paramètres de l'orbite réelle, il est donc nécessaire de reconstituer cette orbite à partir de l'ellipse observée.


La reconstruction de l'orbite vraie


Apprendre

objectifsObjectifs

Reconstituer les éléments géométriques de l'orbite vraie du système.

prerequisPrérequis

Eléments géométriques définissant une trajectoire elliptique.

Demi-grand axe

L'observation donne une série de positions relatives des deux étoiles sur le ciel. En choisissant l'étoile la plus brillante (E2) comme origine des coordonnées, les positions de l'étoile la plus faible (E1) s'agencent sur une ellipse, mais il apparaît que E2 n'est pas au foyer de l'orbite projetée.

ellipseprojetee.png
Ellipse et grand axe vus de biais.
Crédit : ASM

Soit O le centre de l'ellipse apparente et A à l'intersection de la droite OE2 avec l'ellipse, au plus proche de E2 ; O est la projection du centre de l'orbite vraie et A est la projection de son périgée. Le segment [OA] est alors la projection du demi-grand axe de l'orbite vraie.

Excentricité

L'excentricité e n'est pas plus conservée par la projection que le demi-grand axe, mais la détermination de l'excentricité de l'orbite réelle découle directement des paramètres de l'orbite projetée. Cette excentricité est en effet définie par la distance du foyer (E2) au centre (O), rapportée au demi-grand axe (0A). Ce rapport se mesure directement par OE2/OA, qui est conservé par la projection (par application du théorème de Thalès).

Cercle principal
cercleellipse.png
Ellipse et son cercle principal.
Crédit : ASM

Inclinaison

On retrouve l'inclinaison i de l'orbite vraie avec le plan du ciel en reconstituant la projection du cercle principal de l'ellipse vraie : ce cercle se projette suivant une ellipse dont le rapport d'axes est égal à \cos i.

On utilise pour cela une propriété de l'ellipse et de son cercle principal : la direction parallèle au diamètre conjugué du grand axe passant par un point M de l'ellipse coupe le cercle principal en un point M' et le grand axe en un point H, tels que HM/HM' = \sqrt{1-e^2}. Cette propriété se conservant par projection on peut donc reconstituer l'ellipse projection du cercle principal point par point à partir de la trajectoire observée et de la direction conjuguée, i.e. la direction de la tangente à l'ellipse observée aux points A et P.

Le demi-grand axe de l'orbite vraie est donc finalement égal à OA/\cos i.


Simuler

ellipseprojeteefilm02.gif
Projection dans le plan du ciel d'une orbite elliptique d'excentricité 0.2. La droite jaune représente la projection du vrai demi-grand axe ; elle contient le centre et le foyer (occupé par la composante principale choisie comme origine). Le demi-grand axe apparent en en bleu.
Crédit : ASM
ellipseprojeteefilm07.gif
Projection dans le plan du ciel d'une orbite elliptique d'excentricité 0.7. La droite jaune représente la projection du vrai demi-grand axe ; elle contient le centre et le foyer (occupé par la composante principale choisie comme origine). Le demi-grand axe apparent en en bleu.
Crédit : ASM

Effet de projection

La projection du plan de l'orbite sur le plan du ciel modifie les paramètres de l'orbite apparente. Si le centre de l'ellipse est conservé par projection (la projection du centre de l'ellipse est égale au centre de l'ellipse projeté), le foyer ne l'est point : le demi-grand axe apparent se distingue (sauf dans certains cas très particuliers) de la projection du demi-grand axe.

L'animation met ce phénomène en évidence : elle montre l'apparence de la projection dans le plan du ciel d'une orbite elliptique, pour différentes inclinaisons. Étonnamment, l'effet est moins marqué dans le cas d'une excentricité plus grande.

application.png

L'orbite

L'appliquette donne la position de Sirius B par rapport à Sirius A.

  1. Tracer la trajectoire.
  2. Peut-on estimer directement les paramètres de la trajectoire ?

S'évaluer

exerciceParamètres de l'orbite

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

siriustable.png
Angle de phase (en degré) et séparation (en "), en fonction de la date
Crédit : ASM

En 1844, F.W. Bessel découvrit que Sirius présentait un mouvement propre, non linéaire, mais dont la modulation ressemblait à celle d'une étoile double visuelle. Il en conclut que le mouvement propre de Sirius était affecté par l'interaction gravitationnelle avec une seconde étoile de luminosité trop faible pour être observée. Ce compagnon fut observé pour la première fois en 1862 par A.G. Clark : cette étoile appelée Sirius B a une magnitude de 8.7 alors que celle de Sirius A vaut -1.4.

application.png

  1. L'appliquette ci-jointe donne les positions observées de Sirius B par rapport à Sirius A de 1876 à 1938, mesurées sur une suite de clichés photographiques. Chaque position est repérée par la séparation angulaire (en ") des deux étoiles et l'angle de position de la direction de Sirius B compté à partir de la direction Nord et dans le sens direct (0 deg pour la direction Nord et 90 deg pour la direction Est).
  2. Les positions successives ainsi reportées tracent l'orbite apparente de Sirius B par rapport à Sirius A, c'est-à-dire l'orbite telle qu'elle est observée sur le ciel.
  3. Les paramètres de l'ellipse représentant l'orbite apparente sont calculés par la méthode des moindres carrés. L'ellipse qui s'ajuste au mieux parmi les points observés est décrite par les paramètres du tableau.
demi-grand axea 7.24"
excentricité e 0.765
distance entre les foyers 2c 11.08"
Question 1)

Sirius A, à l'intersection des axes, est-il au foyer de l'ellipse apparente ? Quelle conséquence en tire-t-on pour le plan de l'orbite ?

[1 points]

Question 2)

Déterminer la valeur de la période (en années).

[1 points]

Question 3)

Déterminer graphiquement le grand axe de l'ellipse vraie (il contient le centre de l'ellipse projetée (le centre est conservé par projection) et bien sûr Sirius A). Déterminer les positions apparentes P et A du périastre et de l'apoastre et les dates qui leur correspondent.

[2 points]

Question 4)

Déterminer l'excentricité de l'orbite vraie.

[1 points]


Masse des deux composantes


S'exercer

exerciceSirius A et Sirius B

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

application.png

La figure trace le mouvement vrai de la composante Sirius B par rapport à Sirius A dans le plan orbital.

siriusmouvement.jpg
Mouvement de Sirius dans le plan du ciel, reporté par Camille Flammarion au XIXe siècle.
Crédit : ASM
Question 1)

Etalonner la figure de l'appliquette, en tenant compte du fait que les portions de cercle centrés sur Sirius A sont espacés de 1 seconde d'angle, et définir le rapport d'unité permettant de lire directement des secondes d'angle sur la figure.

Question 2)

Estimer le demi-grand axe de l'orbite relative et la période.

Question 3)

La parallaxe du système vaut 0.379". En déduire la somme des masses des deux composantes (en unités de masse solaire).

Question 4)

Le mouvement de Sirius A par rapport au barycentre présente une demi-amplitude de 2.35" au cours d'une orbite (corrigée de la projection du plan orbital sur le plan du ciel). Comparer cette amplitude au mouvement relatif des 2 composantes, et en déduire la masse de chaque composante.


Binaires à éclipse ou photométriques

Auteurs: M.Gerbaldi, G.Theureau

Introduction

Quand l'orbite d'une étoile double est vue par la tranche ou sous un angle très petit, et que l'on a affaire à un couple relativement serré, chacune des étoiles s'interpose périodiquement entre l'observateur et l'autre composante. Un phénomène d'éclipse, ou plus exactement d'occultation, se produira donc pour l'observateur qui reçoit la lumière de la binaire sans pouvoir séparer les deux composantes stellaires. On détecte ainsi ces étoiles doubles par la variation périodique de la magnitude apparente du système.

Du fait que les deux composantes sont très proches, les binaires à éclipse sont aussi très souvent en même temps des binaires spectroscopiques. Dans ce cas, l'étude de la variation d'éclat permet de calculer le rapport des rayons, et l'étude du spectre, s'il est à doubles raies, donne la vitesse orbitale de chaque composante. On peut alors calculer le rayon des deux composantes, mais aussi leurs masses et la distance qui les sépare, sans faire aucune mesure de diamètre apparent.

La première binaire à éclipse qui a été observée est Algol (\beta Persei). Ses variations d'éclat sont connues depuis 1670 par les observations de Geminiano Montanari. La première étude systématique a été faite par John Goodricke en 1783. On connaît actuellement plus de 4000 systèmes de binaires à éclipse. Les périodes de ces systèmes sont en général courtes, variant de quelques heures à une dizaine de jours. La plus petite période actuellement mesurée est celle de WZ Sagittae (1h22min), et la plus longue est celle de \epsilon Aurigae avec ses 9883 jours (27 ans).

Il est maintenant possible, avec les télescopes de la classe des 8 mètres, de mesurer les paramètres des binaires à éclipse extragalactiques, ce qui améliore la précision sur la mesure de la distance de ces galaxies.

coroteclipse.png
Courbe de lumière d'une binaire à éclipse observée par le satellite CoRoT. Remarquer les différences entre les minima principaux et secondaires.
Crédit : CNES

Les paramètres de l'orbite et la courbe de lumière


Observer

courbealgol.png
Courbe de lumière d'Algol.
Crédit : ASM

La courbe de lumière d'Algol

Algol, dont le nom vient de l'arabe Al Guhl esprit changeant est l'étoile \beta de la constellation de Persée (\beta Persei). Son comportement est connu depuis plusieurs siècles car ses variations d'éclat sont spectaculaires et particulièrement visibles à l'oeil nu.

Sa luminosité totale diminue en effet en quelques heures jusqu'au tiers de sa valeur habituelle, puis remonte pour rester quasiment stable pendant deux jours et demi. Puis le cycle recommence... Algol est un couple de binaires à éclipse, dont la plus brillante est de type spectral B (blanc bleuté), et la plus faible est de type K (jaune orangé).

courbelumtypealgol0.png
Magnitude d'une binaire à éclipse de type Algol en fonction du temps. Observations du satellite européen Hipparcos
Crédit : Hipparcos/ASM
courbelumtypealgol.png
Courbe de lumière d'une binaire à éclipse de type Algol. Observations du satellite européen Hipparcos
Crédit : Hipparcos/ASM

Binaires à éclipse de type Algol

Les observations de la courbe de lumière donne la magnitude totale du système en fonction du temps. La périodicité de la série temporelle est analysée, pour conduire à la courbe de lumière en fonction de la phase.

courbelumbetalyrae.png
Courbe de lumière d'une étoile de type Beta Lyrae. Observations du satellite européen Hipparcos
Crédit : Hipparcos/ASM
courbelumwursae.png
Courbe de lumière d'une étoile de type W Ursae. Observations du satellite européen Hipparcos
Crédit : Hipparcos/ASM

Binaires à éclipse serrées

classes de binaires correspondent à des couples très serrées, présentant alors des périodes très courtes, bien plus rapides que le type Algol, telles les variables de type Beta Lyrae ou W Ursae Majoris. Ces dernières, moins massives, sont le plus souvent tellement proches l'une de l'autre qu'elles remplissent leur lobe de Roche, et échangent de la matière.

acb.jpg
Image du disque solaire en lumière visible montrant l'assombrissement du disque dans les régions proches du limbe.
Crédit : ASM

Assombrissement centre bord

Le profil des courbes de lumière, arrondi, dévoile que les étoiles ne sont pas des disques de brillance uniforme. En effet, comme pour le Soleil, les régions visibles proches du limbe sont sondées à des altitudes plus élevées, où la température est plus froide.


Apprendre

Courbe de lumière

Les variations de la magnitude en fonction du temps donnent la courbe de lumière. L'étude de la forme de cette courbe permet en principe de reconstituer les paramètres de l'orbite. On notera cependant que ces couples d'étoiles étant serrés, la courbe de lumière peut parfois être déformée par les interactions entre les deux composantes : par exemple des effets de réflexion de lumière entre les deux étoiles ou des déformations des étoiles elles-mêmes qui, sous l'effet des forces de marées, ne sont plus sphériques.

eclipse.png
Paramètres de l'éclipse.
Crédit : ASM

Occultation

L'occultation sera partielle ou totale selon les diamètres relatifs des étoiles et l'inclinaison du plan de l'orbite par rapport à la ligne de visée : il y a en effet éclipse (partielle ou totale) lorsque la distance d entre les étoiles est telle que

d \sin(\pi/2 - i) = d \cos{i} < R_1 + R_2

R_1 et R_2 sont les rayons de chaque étoile.

Dans le cas où i = 90^\circ, les deux éclipses sont centrales, l'une étant totale (quand la plus grosse passe devant la plus petite), l'autre étant annulaire. On remarquera par ailleurs que lorsqu'il y a éclipse totale les minima de la courbe de lumière montrent un plateau, qui correspond à la durée effective de totalité de l'éclipse ou de l'occultation.

Orbite circulaire

On reconnaît que l'orbite est circulaire quand les deux éclipses se produisent exactement toutes les demi-périodes. Dans ce cas, il est alors possible de déterminer l'inclinaison et les rayons relatifs des étoiles R_{1,2}/ d.


Simuler

courbelumhip59683.gif
Tracé de la courbe de lumière repliée sur diverses périodes. La période adéquate assure une moindre dispersion des valeurs.
Crédit : ASM

De la série temporelle à la phase

L'animation ci-jointe montre l'évolution de la série temporelle à la phase orbitale, par balayage de la période. La période adéquate est celle qui assure une moindre dispersion des valeurs.

binairesalgol.gif
Courbe de lumière d'une binaire à éclipse de type Algol.
Crédit : ASM
binaireswursae.gif
Courbe de lumière d'une binaire à éclipse de type W Ursae Majoris
Crédit : ASM

Courbe de lumière

Les binaires de type Algol sont nettement séparées, alors que celles de type W Ursae Majoris sont très proches. Les membres d'un couple W Ursae Majoris présentent un profil déformé par le champ gravitationnel du compagnon ; la courbe de lumière présente des formes très arrondies.


S'exercer

exerciceSystème binaire et courbe de lumière

Difficulté :    Temps : 30 min

eclipsecourbelum.png
Courbe de lumière schématique : variation de l'éclat en fonction du temps.
Crédit : ASM

On observe un système binaire à éclipse (i=90^\circ) dont les orbites sont circulaires. La courbe de lumière correspond à la figure ci-dessus. Soient R_1 et R_2 les rayons des deux étoiles, R_1 étant le rayon de la plus grosse. On notera V la vitesse relative du mouvement orbital de la plus petite par rapport à la plus grosse.

Question 1)

Calculer R_1 et R_2 en fonction des dates t_1, t_2, t_3 et t_4 et de la vitesse relative des deux étoiles.

Question 2)

La période P du mouvement orbital est de 2 jours et 22 heures. La durée de chaque éclipse est par ailleurs de 18h00min, et la totalité dure 7h19min. En déduire le rapport des rayons R_1/R_2.

Question 3)

La vitesse relative V est de 200 km/s. Calculer R_1, R_2 et la distance \rho entre les deux étoiles.

Question 4)

Montrer que, d'après la figure, l'étoile la plus chaude est la plus petite.


S'évaluer

exerciceDurée d'une éclipse

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

Cet exercice s'intéresse à mesurer la durée d'une éclipse dans un système stellaire binaire. Pour simplifier, on suppose l'orbite circulaire. Les observables sont : la période orbitale T et la durée du transit d.

transitcorot.png
Durée d'un transit, fonction de la période orbitale du système double. Les points gris rapportent des événements de binaires à éclipses. Les points rouges rapportent des transits exoplanétaires observés par CoRoT.
Crédit : ASM
Question 1)

Montrer que la durée d'un transit est inversement proportionnelle à la vitesse orbitale.

[1 points]

Question 2)

Montrer que la durée d d'un transit varie comme T^{1/3}.

[1 points]

Question 3)

Expliquer la dispersion des points sur la courbe jointe.

[1 points]

Question 4)

Pourquoi les planètes découvertes par CoRoT ont-elles des durées de transit légèrement inférieures ?

[1 points]


Binarité et température stellaire


Apprendre

Maxima

En supposant la brillance de chaque disque uniforme, dans les cas où l'éclipse est totale, la comparaison du maximum principal et du maximum secondaire de la courbe de lumière permet de déterminer le rapport des températures des deux étoiles.

Mesure des températures

Si R_2 est le rayon de la plus petite étoile, les deux minima se produisent lorsque la même aire \pi R_2^2 est occultée. Lorsque l'aire occultée appartient à l'étoile la plus chaude, de température T_c, la courbe de lumière passe par son minimum principal. De même, lorsque la surface occultée appartient à l'étoile la plus froide, de température T_f, la courbe de lumière passe par son minimum secondaire. Ainsi, si E est l'éclat apparent correspondant à la phase où les deux étoiles sont visibles simultanément et sans occultation, E_1 l'éclat du minimum principal et E_2 celui du minimum secondaire, on a :

\Delta E_1 = E- E_1 \propto \pi R_2^2 \ \sigma T_c^4 \mathrm{ \ et \ } \Delta E_2 = E - E_2 \propto \pi R_2^2 \ \sigma T_f^4

d'où :

{\Delta E_1 \over \Delta E_2} = \frac{E-E_1}{E-E_2} = \left[ \frac{T_c}{T_f}\right]^4

On mesure ainsi le rapport T_c / T_f.


Simuler

binairestemperature.gif
Courbe de lumière d'une binaire à éclipse avec 2 composantes présentant un fort contraste en température
Crédit : ASM

Courbe de lumière

Lorsque le contraste en température est marqué, les minima des deux éclipses diffèrent sensiblement ; la baisse de flux est plus forte lorsque la composante chaude est occultée.

Forme des minima, températures rayons stellaires

application.png

L'allure des minima apporte des renseignements comparatifs sur les 2 composantes. La première appliquette explicite les arguments permettant de comparer les tailles : lorsque la plus petite étoile du couple disparaît, le flux est uniformément bas.

application.png

La deuxième appliquette explicite les arguments permettant de comparer les températures : lorsque c'est l'étoile la plus chaude du couple qui disparaît, le minimum est plus profond.


S'exercer

exerciceSystème binaire et températures

Difficulté :    Temps : 30 min

Une des composantes d'une binaire à éclipse a une température effective de 15000 K, l'autre de 5000 K. La plus froide est une géante de rayon 4 fois plus grand que celui de la plus chaude.

Question 1)

Quel est le rapport des luminosités des deux étoiles ?

Question 2)

Quelle est l'étoile éclipsée au minimum primaire ?

Question 3)

Le minimum principal correspond-il à une éclipse totale ou à une éclipse annulaire ?

Question 4)

Quel est le rapport de profondeur entre les minima ?


S'évaluer

exerciceAR Lacertae : forme de la courbe de lumière

Difficulté :    Temps : 30 min

courbearlac.png
Courbe de lumière de AR Lacertae.
Crédit : ASM
vrarlacertae.png
Courbe de vitesse radiale de AR Lacertae
Crédit : ASM

On considère l'étoile double AR Lacertae, dont on a observé la courbe de lumière et les vitesses radiales des deux composantes. La période du système vaut 1.983 j.

application.png

Question 1)

Commenter la forme des deux minima. Les températures des 2 étoiles peuvent-elles être identiques ?

[3 points]

Question 2)

Justifier que l'inclinaison est proche de i=90^\circ et que les orbites sont circulaires.

[3 points]

Question 3)

Représenter schématiquement les positions de l'étoile compagnon sur l'orbite relative en fonction des phases d'éclipse observées sur la courbe de lumière.

[2 points]

Question 4)

A l'aide de l'appliquette, estimer la durée de la phase de totalité, celle de l'éclipse principale dans son ensemble, ainsi que la profondeur (en magnitude) du minimum primaire.

[2 points]

exerciceAR Lacertae : mesure des paramètres physiques

Difficulté :    Temps : 30 min

On se propose d'analyser la courbe de lumière de AR Lacertae pour en déduire les paramètres physiques des deux composantes : rayons, températures, éclats apparents et luminosités intrinsèques...

Question 1)

a mesurant la séparation des deux étoiles, R_1 le rayon de la plus grosse, R_2 celui de la plus petite, déterminer R_1/a et R_2/a à partir de la figure.

[2 points]

Question 2)

Préciser laquelle des deux étoiles est la plus chaude.

[1 points]

Question 3)

Déterminer le rapport des luminosités L_2 / L_1 des deux étoiles. Commenter.

[2 points]

Question 4)

L'étude spectroscopique de l'étoile 1 indique que son type spectral est K0 et sa classe de luminosité IV (sous-géante). Sa magnitude absolue peut donc être estimée à 3. Déterminer la luminosité L_1 de l'étoile 1 et celle L_2 de l'autre composante en unité solaire (la magnitude absolue visuelle M_s du Soleil vaut 4.8).

[1 points]


Binaires spectroscopiques

Auteurs: M.Gerbaldi, G.Theureau

Introduction

Le premier système d'étoiles binaires spectroscopique fut découvert en 1889 par Antonia C. Maury, qui remarqua un dédoublement des raies dans le spectre de l'étoile \beta Aurigae. Les positions de ces raies, en longueur d'onde, varient au cours du temps, témoins de la variation de la vitesse radiale de chaque composante, par suite de leur mouvement orbital relatif.

Les étoiles doubles spectroscopiques sont très nombreuses : on estime qu'en moyenne une étoile sur trois ou quatre est une double spectroscopique. Leurs périodes observées s'échelonnent entre quelques heures et quelques années. A partir de l'étude de la courbe de vitesse radiale, on peut calculer les paramètres définissant l'orbite elliptique d'une étoile par rapport à l'autre. Cette détermination se fait toutefois à l'effet de projection près, car on ne connaît pas a priori l'orientation du plan orbital dans l'espace. Actuellement, on connaît précisément les paramètres orbitaux pour environ un millier de ces objets.

binspec.png
Dédoublement de raies de l'étoile HD 80715
Crédit : ASM

Les courbes de vitesse radiale


Observer

vitesseradiale0.png
Série temporelle : mesure des vitesses radiales des 2 composantes de l'étoile 55 Uma
Crédit : ASM
vitesseradiale.png
Courbe de vitesses radiales des 2 composantes de l'étoile double 55 Uma
Crédit : ASM

Exemple

La courbe de vitesse radiale de l'étoile double 55Uma, est construite à partir de la série temporelle des vitesses Doppler issues de mesures spectrométriques.


Apprendre

Mouvement orbital

Le mouvement orbital, dans le cas où l'inclinaison i de l'orbite sur le ciel n'est pas nulle, produit des variations périodiques de la vitesse radiale (vitesse projetée le long de la ligne de visée) des deux étoiles par rapport à l'observateur. L'effet Doppler-Fizeau induit des oscillations de la même période pour la longueur d'onde \lambda_0 observée des raies émises à \lambda_e par le couple d'étoiles.

\frac{V_r}{c} = \frac{\lambda_0 - \lambda_e}{\lambda_e}

V_r est la vitesse radiale d'une des composantes et c est la vitesse de la lumière.

Paramètres du mouvement

On peut ainsi représenter la variation de la vitesse des deux composantes (ou d'une seule, si une seule est détectable) en fonction du temps. Selon la forme de l'orbite et son orientation dans l'espace, les caractéristiques de la courbe de vitesse radiale observée seront différentes. L'analyse de cette courbe permet de remonter aux paramètres du mouvement et aux masses des composantes.


Simuler

application.png

Période et phase

L'appliquette ci-joint permet de retrouver la période du système double 57 Cyg.

  1. A partir des données, montrer que la période T est un peu inférieure à 3 jours.
  2. A partir des dates t_i, estimer une phase du type t_i/T.
  3. Estimer une phase réduite correspondant à la partie fractionnaire de t_i/T (fonction pfrac).
  4. Affiner l'estimation de la période (période de 2.8548 j).

Les masses des deux composantes


Apprendre

Cas circulaire

La situation la plus simple est celle où l'orbite est circulaire et vue par la tranche, soit i=90^\circ (le plan de l'orbite contient la ligne de visée). Les deux courbes de vitesse radiale sont alors des sinusoïdes qui oscillent en opposition de phase, autour de la vitesse V_G de leur barycentre, avec une même période T.

Chacune des étoiles A et B étant animée d'un mouvement circulaire et uniforme, de période T autour de G, les vitesses V_A et V_B sont liées aux distances r_A et r_B par les relations :

V_A = \frac{2 \pi r_A}{T} \mathrm{ \ et \ } V_B = \frac{2 \pi r_B}{T}

Masses

Par définition du centre de masse : M_A r_A = M_B r_B. On obtient alors le rapport des masses :

\frac{M_A}{M_B}= \frac{V_B}{V_A}

qui est donné par le rapport des amplitudes des deux courbes. D'autre part, d'après la troisième loi de Kepler, on a :

M_A + M_B = \frac{(r_A + r_B)^3}{T^2} \frac{4 \pi^2}{G}

On obtient :

M_A = V_B (V_A + V_B)^2\ \frac{T}{2 \pi G} \mathrm{ \ et \ } M_B = V_A (V_A + V_B)^2\ \frac{T}{2 \pi G}

Si l'inclinaison i est différente de 90^\circ, l'amplitude de la courbe de vitesse radiale est diminuée d'un facteur \sin i (V _{\mathrm{obs}} = V \ \sin{i}).

Dans les équations précédentes, M_A est donc remplacé par M_A \sin^3 i (respectivement M_B \sin^3 i).

Orbite elliptique

Si l'orbite n'est pas circulaire mais elliptique avec une excentricité e non nulle, les courbes de vitesse radiale ne sont pas sinusoïdales, bien que toujours en opposition de phase et avec un rapport d'amplitude égal au rapport des masses.


S'exercer

exerciceObservabilité

Difficulté :    Temps : 5 min

Question 1)

Comment se révèle à l'observation une étoile double spectroscopique dans le cas où i= 0?

exerciceRésolution spectrale

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

On cherche à analyse un spectre d'étoile spectroscopique double, enregistré avec une résolution dans le domaine visible (\lambda \sim 5000\hbox{\AA}) de l'ordre de \Delta \lambda \sim 0.01\hbox{ \AA}.

Question 1)

Quelle limitation cela impose-t-il sur les vitesses radiales que l'on peut effectivement mesurer ?

Question 2)

Observer des grandes vitesses orbitales favorise-t-il ou non les systèmes serrés ?

exerciceInclinaison de l'orbite

Difficulté :    Temps : 10 min

Question 1)

Comment peut-on vérifier que l'hypothèse i \sim 90^\circ est vraie ou non ?

Question 2)

Quand l'inclinaison est inconnue, peut-on obtenir des limites inférieures ou supérieures pour les masses des deux composantes ?


S'évaluer

exerciceL'étoile double AR Lacertae

Difficulté :    Temps : 30 min

vrarlacertae.png
Courbe de vitesse radiale de AR Lacertae
Crédit : ASM

On considère l'étoile double AR Lacertae, dont on a observé les courbes des vitesses radiales des deux composantes. La période du système vaut 1.983 j.

courbearlac.png
Courbe de lumière de AR Lacertae
Crédit : ASM
Question 1)

Commenter les courbes. Que dire des caractéristiques du mouvement des deux étoiles ?

[1 points]

Question 2)

Quelle est la vitesse radiale du barycentre ?

[1 points]

Question 3)

Trouver le rapport des masses des deux composantes.

[1 points]

Question 4)

Trouver la séparation (en km) des deux composantes.

[1 points]

Question 5)

Déterminer la masse de chaque composante en unité solaire

[1 points]

Question 6)

Dans quel cas serait-il possible de calculer les rayons de chaque étoile ?

[1 points]


Planètes extrasolaires

Auteurs: G. Catherine, B. Mosser

Introduction

La découverte d'exoplanètes, planètes orbitant autour d'une étoile autre que le Soleil, a constitué l'un des principaux événements astronomiques de la fin du XXe siècle. Cette section aborde la quête des exoplanètes sous deux angles : les propriétés de ces exoplanètes, et les techniques instrumentales utilisées pour les détecter et les étudier.

Courbe de vitesse radiale de 51 Peg A
51peg.png
Mesure de vitesse radiale de l'étoile 51Peg, première exoplanète découverte autour d'une étoile de type solaire, en 1995, à l'Observatoire de Haute Provence par les astrophysiciens suisses Michel Mayor et Didier Queloz.
Crédit : Butler & Marcy

Historique


Apprendre

prerequisPrérequis

Effet Doppler, mécanique du point.

objectifsObjectifs

Ces pages présentent une grande découverte des années 90, les planètes extrasolaires, et décrivent :

Ces méthodes sont basées sur l'observation des perturbations produites sur le mouvement de l'étoile par ses compagnons planétaires, ou sur la baisse du flux stellaire occulté par un compagnon. C'est à partir de ces perturbations que l'on est capable d'obtenir certaines des caractéristiques de la planète.

Les premières tentatives

Les tentatives de détection de compagnons planétaires ont été nombreuses... dès le début du XXe siècle, par astrométrie, et non moins nombreuses furent les tentatives infructueuses. Une planète est par essence très peu massive par rapport à son étoile, et excessivement moins lumineuse...

Diverses détections ont été annoncées en 1988 puis démenties. Certaines ont été confirmées depuis (autour de \gamma Ceph, \varepsilon Eri)... En 1989, Latham et ses collègues identifièrent un compagnon d'environ dix fois la masse de Jupiter, autour de HD 114762. Mais ces auteurs évoquèrent alors la détection d'une naine brune et non d'une planète.

En 1992, trois planètes furent détectées sans ambiguïté par Wolszczan & Frail, autour du pulsar PSR 1257+12. Mais l'environnement d'un pulsar ne laisse guère espérer que des planètes brûlées par l'évolution de leur étoile.

histoage2.png
Evolution du nombre d'exoplanètes détectées par année.
Crédit : Les exoplanètes

Autour de 51 Peg

En 1995, on retient la découverte de la première planète extrasolaire autour d'une étoile semblable à notre Soleil, par Michel Mayor et Didier Queloz, de l'Observatoire de Genève. Elle fut détectée à l'Observatoire de Haute-Provence, et immédiatement confirmée par Geoff Marcy et Paul Butler, des Universités de San Francisco et Berkeley, qui eux l'avaient observée à l'Observatoire Lick en Californie.

Ces mesures ont vraiment lancé l'un des grands sujets de l'astrophysique actuelle : la quête des exoplanètes. Depuis, plusieurs milliers de planètes ont été recensées. Ce nombre est en constante augmentation, les projets de recherche se multipliant, si bien que tenir un décompte précis est impossible.

La découverte de ces planètes apporte aux astrophysiciens des données permettant de mieux comprendre la formation des systèmes planétaires, avec d'autres exemples que notre système solaire.

Que voit-on ?

Plusieurs dizaines de planètes ont été vues directement, mais la plupart des découvertes sont basées sur des détections indirectes, soit la détection de l'influence gravitationnelle de la planète sur l'étoile soit la baisse de luminosité de l'étoile due au passage de la planète sur sa ligne de visée.

Méthodes de détection

A ce jour (2018), cinq méthodes ont permis de découvrir ou redécouvrir l'essentiel des exoplanètes :

Les méthodes de vitesse radiale et transit, les plus productives, sont décrites plus loin, ainsi que la méthode par astrométrie.

Un sujet à la mode

Les exoplanètes sont un sujet à la mode, pour les raisons que l'on devine aisément. Désolé si ces pages n'annoncent pas en temps réel les dernières découvertes !


Caractéristiques


Observer

histogrammes2018/histomasse18.pnghistogrammes2018/histom18.png
Décompte des masses des exoplanètes, ou plus exactement des m \sin i, l'inclinaison i n'étant pas une observable (septembre 2018). Deux échelles de masse permettent de distinguer les m\sin i plus petits que la masse de Jupiter, et la distribution totale jusqu'à 15 masses de Jupiter.
Crédit : Les exoplanètes
exosini1.png
Définition de l'angle entre la normale au plan orbital et l'axe de visée. Avec les paramètres usuels, le barycentre G du système est à l'intérieur de l'étoile.
Crédit : ASM

Masse

L'histogramme des masses montre que la très grande majorité des planètes découvertes sont des planètes géantes. Cela n'est pas dû au caractère unique de la présence de planètes telluriques dans notre système solaire, mais au fait que les méthodes de détection favorisent les fortes masses planétaires.

La limite à 13 fois la masse de Jupiter est une limite physique : au-delà, l'objet commence à brûler son deutérium, c'est alors une naine brune.

Stricto sensu, les masses ici considérées sont affectées d'un facteur de projection inconnu, égal au sinus de l'angle entre la normale au plan orbital et l'axe de visée. On parle non de masse m, mais de m \sin i.

histogrammes2018/histop18.pnghistogrammes2018/histoperiod18.png
Histogrammes des périodes orbitales des exoplanètes. Zoom sur les périodes courtes (en échelle linéaire), et aperçu général (avec le décompte en échelle logarithmique) (septembre 2018).
Crédit : Les exoplanètes
histogrammes2018/histodga18.pnghistogrammes2018/histodemigdaxe18.png
Histogrammes des demi-grands axes de l'orbite des exoplanètes. Zoom sur les demi-grands axes inférieurs à 1 UA, et aperçu général.(septembre 2018)
Crédit : Les exoplanètes

Demi-grand axe et période de l'orbite

L'histogramme des demi-grands axes montre qu'ont préférentiellement été découvertes des planètes orbitant très près de leur étoile, bien plus près que Mercure dans le cas du système solaire. Là encore, ce sont les méthodes de détection et la 3ème loi de Kepler qui favorisent cette situation. Une nouvelle classe d'objets a été mise en évidence : les planètes géantes chaudes.

L'histogramme des périodes orbitales aboutit à la même analyse.

histogrammes2018/histoexc18.png
Histogramme des excentricités des exoplanètes. (septembre 2018)
Crédit : Les exoplanètes

Excentricité de l'orbite

L'histogramme des excentricités orbitales dévoile une très grande variabilité de ce paramètre. Contrairement au cas du système solaire, où les planètes présentent des excentricités quasi nulles, les exoplanètes peuvent suivre des orbites très excentrées. Et contrairement aux effets précédents, ceci est un phénomène réel et non un biais observationnel, qui dénote une grande variété dans la formation et l'évolution des systèmes planétaires.

histogrammes2018/histometal18.png
Histogramme de la métallicité des étoiles à exoplanètes. La métallicité est donnée en échelle logarithmique relative ; elle compare l'abondance de l'élément Fe dans l'étoile par rapport à celle dans le Soleil (0 = valeur solaire). (septembre 2018)
Crédit : Les exoplanètes

Métallicité de l'étoile hôte

L'histogramme de la métallicité de l'étoile hôte montre qu'une metallicité solaire favorise la présence d'une planète autour d'une étoile.

exoplamulti.png
Quelques systèmes exoplanétaires. La couleur code le rang de la planète. La plupart de ces systèmes sont plus tassés et plus massifs que le système solaire.
Crédit : ASM

Systèmes planétaires

À ce jour, un grand nombre de systèmes planétaires ont été identifiés, présentant des caractéristiques différentes de notre système solaire. Les planètes les moins massives sont détectées par les perturbations qu'elles exercent sur les plus massives.


Détection des planètes extrasolaires par la méthode des vitesses radiales


Observer

Méthode des vitesses radiales

Considérons un système binaire constitué d'une étoile et d'une planète. Chacun des objets décrit une orbite elliptique dont le foyer est le centre de masse du système.

Effet Doppler dû à l'oscillation de l'étoile
dopvrima.png
Dans son mouvement, l'étoile tantôt se rapproche, tantôt s'éloigne de l'observateur. Une raie spectrale est alternativement décalée vers le bleu ou vers le rouge, selon la vitesse relative entre l'étoile et l'observateur (direction indiquée par une flèche violette).
Crédit : ASM

Les raies spectrales stellaires qui nous parviennent (à travers un spectromètre) sont en conséquence tantôt décalées vers le bleu (longueur d'onde plus courte), tantôt vers le rouge (longueur d'onde plus grande), par effet Doppler.


Apprendre

L'orbite de la planète et l'axe de visée
exosini1.png
L'angle i est défini entre la normale au plan de la trajectoire (vu par la tranche, trace rouge) et l'axe de visée.
Crédit : ASM
exosini0.png
Cas particulier où l'angle i est nul. Pas de mouvement détectable.
Crédit : ASM
exosini2.png
Cas particulier où l'angle i vaut \pi / 2.
Crédit : ASM
Courbe de vitesse radiale de 51 Peg A
51peg.png
Mesure de vitesse radiale de l'étoile 51Peg.
Crédit : Butler & Marcy

Observables

Pour toute la suite :

On suppose que, d'après les modèles stellaires, la mesure du spectre de l'étoile permet d'estimer sa masse M. Mais une variable reste inconnue : l'inclinaison i sous laquelle on voit le système orbital. Les principales caractéristiques de l'orbite de la planète peuvent être déduites de la mesure de décalage Doppler.

L'analyse du spectre de l'étoile modulé par effet Doppler fournit le graphe de la vitesse radiale de l'étoile en fonction du temps, v _{\mathrm{rad}}(t). Ce type d'observation spectrométrique fournit deux observables :

Ces observables sont des caractéristiques liées à l'orbite du système. On ne sait toujours rien sur la planète elle-même. La 3^{eme} loi de Kepler appliquée au couple planète-étoile relie le rayon de l'orbite à la période de rotation :

a^{3} = {{\cal G}M\over 4\pi^{2}}T^{2}

En utilisant la loi de conservation de la quantité de mouvement (le système est isolé), on peut accéder à la masse de la planète :

m\sin i = V _{\mathrm{\parallel}}\left({TM^{2}\over 2\pi{\cal G}}\right)^{1/3}

m\sin i est la masse de la planète m _{\mathrm{pla}} affectée du facteur géométrique \sin i, inconnu. Le calcul complet est proposé en exercice.

Inclinaison

Statistiquement, la probabilité d'avoir une inclinaison i dépend de l'ouverture du cône de demi-angle au sommet i : elle vaut \sin i. La probabilité de voir un système de face (i=0) est bien moindre que celle de le voir par la tranche (i=π/2). En effet, il y a une seule direction qui pointe de l'étoile vers la Terre, donc confondue avec l'axe de visée, mais une infinité qui lui sont perpendiculaires.

En moyenne, le paramètre \sin i vaut \pi/4 ; ce calcul est proposé en exercice.


Simuler

Vitesse radiale

Animation des mouvements orbitaux planétaires et stellaires, et signature spectrale due à la vitesse radiale de l'étoile.

Effet Doppler dû au mouvement de l'étoile
dopvr.gif
Dans son mouvement (séquence animée), l'étoile en rotation autour du barycentre (croix rouge, fixe) tantôt se rapproche, tantôt s'éloigne (courbe verte) de l'observateur (direction indiquée par la flèche bleu foncé), avec une vitesse donnée par la courbe du milieu (couleur modifiée selon une convention de type effet Doppler . Une raie spectrale (courbe du bas) est alternativement décalée vers le bleu ou vers le rouge, selon la vitesse relative entre l'étoile et l'observateur.
Crédit : ASM

S'exercer

exosini1.png
L'angle i est défini entre la normale au plan de la trajectoire (vu par la tranche, trace rouge) et l'axe de visée.
Crédit : ASM

qcmQCM

1)  Un système présente l'orientation suivante. Dans quel cas le signal Doppler sera-t-il maximal ?



2)  On détecte par la méthode des vitesses radiales un signal Doppler fixé. Dans quel cas la masse de la planète perturbatrice est la plus grande ?



exerciceLe paramètre m sin i

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

On s'intéresse à la distribution du facteur multiplicatif \sin i qui intervient dans la détermination de la masse m \sin i.

Question 1)

Rappeler la définition de l'angle \i.

Question 2)

Statistiquement, trouve-t-on plus de systèmes avec i=0 ou bien i = \pi/2 ?

Question 3)

Montrer, en faisant un schéma, que la probabilité de voir un système sous une inclinaison i est proportionnelle à \sin i.

Question 4)

Calculer la valeur moyenne de \sin i.

exerciceLa vélocimétrie Doppler

Difficulté : ☆☆   Temps : 45 min

Cette technique permet la détection de planètes, via la perturbation en vitesse (vitesse réflexe) qu'elles induisent sur leur étoile.

On observe un système constitué d'une planète de masse m, en orbite circulaire autour d'une étoile de masse M. La composante de vitesse de l'étoile V _{\mathrm{\parallel}}, parallèle à l'axe de visée, ainsi que la période de rotation du système découlent de l'observation. La masse M de l'étoile est supposée connue.

Schéma du système
figexdop.png
On note respectivement G, P et E les positions du barycentre du système, du centre de masse de la planète et du centre de masse de l'étoile.
Crédit : ASM
Question 1)

Définir la position du barycentre du système étoile-planète.

Montrer que, dans le référentiel barycentrique, les vitesses V de l'étoile et v de la planète satisfont à la relation :

M{\mathbf V} + m{\mathbf v} = {\mathbf 0}

Question 2)

Donner la relation liant V _{\mathrm{\parallel}} au module V de la vitesse de l'étoile et à l'angle i entre l'axe de visée et la normale au plan de rotation du système. Faire un schéma.

Question 3)

Exprimer la 3ème loi de Kepler en fonction des variables T et v, puis montrer que la masse de la planète s'exprime en fonction des observables T et V _{\mathrm{\parallel}} par :

m\sin i = V _{\mathrm{\parallel}}\left({M^{2}T\over 2\pi {\cal G}}\right)^{1/3}

Question 4)

Quelle information inédite apporte cette relation?

Question 5)

Substituer à l'observable T la variable a, et montrer que l'on aboutit à l'égalité suivante entre les variables a et m\sin i :

a = {1\over V _{\mathrm{\parallel}}^{2}}{{\cal G}\over M}(m\sin i)^{2}


Courbes de vitesses radiales


Observer

Série temporelle

La mesure de ce décalage spectral est traduite en une vitesse. Ce décalage, apparaissant comme un phénomène périodique et d'amplitude bien inférieure à ce que l'on attendrait d'une perturbation due à un compagnon stellaire, s'interprète comme la signature d'une perturbation due à la présence de la planète autour de l'étoile.

Vitesse radiale de l'étoile en fonction du temps
51peg.png
Le décalage Doppler du spectre est mesuré puis traduit en vitesse radiale V _{\mathrm{\parallel}}. On obtient une série temporelle de vitesse radiale, qui semble présenter des variations répétitives.
Crédit : Butler &Marcy

Sur une période

Vitesse radiale rapportée sur une période
51pegphi.png
Une longue série temporelle, plus longue qu'une période, donne accès à la période de rotation du système, ici visualisée par repliement : la variable temporelle est la phase, et non plus la date d'observation.
Crédit : Butler & Marcy

Lorsque l'orbite de la planète est quasi-circulaire, le graphe de la vitesse a la forme d'une sinusoïde. L'excentricité de l'orbite a pour effet de déformer cette sinusoïde.

Graphe de vitesse de HD 108147
hd108147.png
L'excentricité de l'orbite, voisine de 0.5, et la géométrie de l'observation conduisent à une telle courbe de vitesse radiale. Le schéma du dessous représente les résidus entre les valeur observées et la courbe de vitesse modélisée.
Crédit : Observatoire de Genève

Système multiple

Lorsque l'étoile réagit à plusieurs compagnons planétaires, la complexité de la courbe de vitesse radiale s'accroît.

Dans certain cas, comme pour le système observé autour de HD 82943, on observe une résonance, avec pour ce système des périodes orbitales planétaires dans un rapport 1:2.

Graphe de vitesse de HD 168443
hd168443.png
La courbe de vitesse radiale de l'étoile HD 168443présente 2 composantes, dues à 2 compagnons planétaires. Les orbites des deux planètes détectées autour de HD 168443 ont des périodes d'ordres de grandeur bien distincts et une excentricité élevée (0.53 et 0.23)
Crédit : Butler & Marcy
Graphe de vitesse de HD 82943
hd82943.png
Les 2 périodes (respectivement 222 et 444 j) sont multiples l'une de l'autre, dans un rapport 2.
Crédit : Observatoire de Genève

Limitations de la méthode des vitesses radiales


Apprendre

Diagramme a-m sin i
msinia0.png
Diagramme msini-a des exoplanètes et des planètes du système solaire. Au delà de 13 fois la masse de Jupiter, on considère qu'il ne s'agit plus de planètes, mais de naines brunes.
Crédit : ASM

Systèmes pouvant être détectés par cette méthode

La méthode des vitesses radiales ne permet d'obtenir qu'une limite inférieure de la masse des planètes, m\sin i, car l'angle sous lequel le système est observé, i, reste en général inconnu. Cela a bien sûr été un obstacle à l'interprétation du premier cas qui annonçait la découverte d'une d'exoplanète. Cependant, une centaine d'objets avec une masse m _{\mathrm{pla}} les rangeant dans la catégorie des planètes ont été détectés, et, statistiquement, la masse réelle de la plupart d'entre eux est bien une masse planétaire. Cette méthode est biaisée, car elle favorise la détection des planètes massives et relativement proches de leur étoile. En effet :

Il est commode de réécrire V _{\mathrm{\parallel}} sous la forme :

{ V _{\mathrm{\parallel}} \over 1 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}} = 28.4 \ \left({T\over 1\,\mathrm{an}}\right)^{-1/3}\left({m\sin i\over M _{\mathrm{J}}}\right)\left({M\over M _{\mathrm{\odot}}}\right)^{-2/3}

M _{\mathrm{J}} et M _{\mathrm{\odot}} sont, respectivement, les masses de Jupiter et du Soleil.

On rappelle, qu'avec les mêmes unités :

{T\over 1\,\mathrm{an}} = \left({a\over 1 {\,\mathrm{UA}}}\right)^{3/2}\left({M\over M _{\mathrm{\odot}}}\right)^{-1/2}

a est exprimé en unité astronomique.

Limite de détection par la méthode des vitesses radiales
msiniav.png
Cette méthode permet de détecter des variations de vitesse de 3 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}. Il faut également observer les étoiles longtemps pour avoir accès aux plus longues périodes. Les exoplanètes les moins massives n'ont pas été détectées par mesure Doppler, mais par la méthode des transits.
Crédit : ASM

Limite de détection

La limite de détection des instruments utilisés actuellement est de l'ordre de V _{\mathrm{\parallel}} = 3 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}. Cela ne signifie qu'une planète similaire à la Terre autour d'une étoile de type solaire induisant une modulation de vitesse V _{\mathrm{\parallel}} \simeq 0.1 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1} reste largement indétectable.

Néanmoins, il ne suffit pas que la vitesse réflexe de l'étoile soit supérieure à cette limite pour détecter une planète. En effet, une planète de masse égale à la masse de Jupiter va induire un effet Doppler de cet ordre pour une distance étoile-planète de a\simeq 100 UA. Cependant, la période de révolution d'une telle planète est de 1000 ans, et il est donc exclu de l'observer ! Notons que la même planète située à la distance de Jupiter (a = 5 {\,\mathrm{UA}}) entraîne V _{\mathrm{\parallel}} \simeq 11 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}, ce qui est largement observable.

Les mesures de vitesses radiales pour la recherche de planètes extrasolaires sont menées systématiquement depuis 1995. Ceci limite la détection aux planètes de période orbitale inférieure à 15 ans en 2010, 30 ans en 2025...

Jusqu'à ce jour, la plupart des planètes extrasolaires détectées l'ont été par cette méthode. Un exercice traite de cette limite de détection.


S'évaluer

exerciceLimite de détection

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 45 min

Un exercice précédent a montré que la vitesse réflexe de l'étoile dépend de la masse et de l'orbite de la planète via la relation :

a\ =\ {1\over V _{\mathrm{\parallel}}^{2}}{{\cal G}\over M}(m\sin i)^{2}

Un graphe (m\sin i - rayon orbital a) est utile afin de déterminer quel type de planète est détectable par vélocimétrie Doppler. La masse M de l'étoile étant de l'ordre d'une masse solaire, le champ de planètes détectables dépend essentiellement de la sensibilité des instruments de recherche.

Diagramme m sin i - a
msinia00.png
Crédit : ASM
Données numériques
objetmasse (kg)
Soleil2\ 10^{30}
Jupiter2\ 10^{27}
la Terre6\ 10^{24}
1 UA150\ 10^6 km
Question 1)

Les mesures en 2000 atteignaient une précision en vitesse de l'ordre de 10 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}. En déduire la relation numérique entre les variables m\sin i et a correspondant à la limite de détection, et pour une étoile d'une masse solaire. Exprimer le résultat en UA et M _{\mathrm{J}}.

[3 points]

Question 2)

Reporter la relation trouvée sur le diagramme masse-distance, avec comme unités la masse de Jupiter pour m, et l'unité astronomique pour a. Quelles planètes de notre système solaire sont détectables au vu de cette ancienne performance de 10 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}) ?

[3 points]

Question 3)

Même question, si l'on parvient à détecter des amplitudes en vitesse de 1 {\,\mathrm{m\,s}}^{-1}.

[1 points]

Question 4)

Montrer que Saturne, de période orbitale sidérale de l'ordre de 30 ans, ne pourrait tout de même pas être détecté avant l'année 2025.

[1 points]

Question 5)

Montrer que cette technique d'observation comporte un biais, car elle favorise la détection de planète ayant des paramètres orbitaux particuliers.

[1 points]


Méthode de détection par transit


Observer

Détection par transit
ogletr56.jpg
Occultation détectée par la campagne d'observation OGLE (Optical Gravitational Lensing Experiment ; Warsaw Telescope (1.3 m) installé à l'Observatoire de Las Campanas au Chili). L'aperçu de la courbe de lumière, et le zoom autour du transit montre combien la signature de ce dernier est ténue. Le champ stellaire localise la cible, de faible magnitude (V = 16). Le temps est donné en unité de la période orbitale.
Crédit : OGLE
hst-hd209458.png
Occultation de HD209458 par sa planète, vue par le télescope spatial Hubble. Le profil d'assombrissement du centre au bord de l'étoile occasionne la concavité du fond du transit.
Crédit : HST
transitlym2.png
Occultation de HD209458 par sa planète, vue dans le filtre étroit de la raie Lyman alpha de l'hydrogène. L'augmentation du flux est due à la composante planétaire, et dénote vraisemblablement une atmosphère planétaire étendue.
Crédit : HST

Transit

Le passage répété d'une planète devant son étoile provoque une diminution périodique de la luminosité de l'étoile. La forme de la figure de transit dépend du diamètre relatif de la planète par rapport à celui de l'étoile, de l'inclinaison du système par rapport à la ligne de visée, de l'épaisseur et de la composition de l'éventuelle atmosphère de la planète.

Mesures orbitales

On retire des observations : la période orbitale, le demi-grand axe, et surtout l'inclinaison de l'orbite (voisine de 90°). Cette dernière n'est pas mesurable par la méthode des vitesses radiales.

L'atmosphère planétaire

Potentiellement, la comparaison des mesures spectroscopiques de l'étoile avant et pendant le transit peut donner accès à la composition de l'atmosphère planétaire.

Le transit de l'étoile HD 209458 a conduit à la détection d'une atmosphère planétaire étendue, qui explique l'allure de la courbe d'occultation dans la raie Lyman alpha de l'hydrogène.


Apprendre

Transit d'une planète devant son étoile
eclipse0.gif
Crédit : ASM
Méthode de détection d'éléments chimiques dans une atmosphère
compat.jpg
Crédit : HST

Baisse de flux

Le passage récurrent d'une planète devant son étoile parente provoque une diminution périodique du flux reçu de l'étoile si le système est observé sous un angle adéquat, i.e. si la planète traverse la ligne de visée de l'observateur.

La diminution relative du flux émis par l'étoile dans la direction de l'observateur lors du transit de la planète est :

{\Delta F _{\mathrm{*}}\over F _{\mathrm{*}}} = \left({ R _{\mathrm{p}}\over R _{\mathrm{*}}}\right)^{2}

R _{\mathrm{p}} est le rayon de la planète et R _{\mathrm{*}} celui de l'étoile. On suppose ici que le flux était uniforme à la surface de l'étoile (le détail du calcul est traité en exercice).

Ordres de grandeurs

Les systèmes les plus facilement détectables, avec une planète de type Jupiter chaud, ont un rayon de l'ordre de 10 à 20% du rayon stellaire d'une étoile froide de la séquence principale. Ils induisent des baisses de flux de l'ordre de quelques pourcents.

La variation relative de flux pour un système de type Soleil-Jupiter est de 1%, et de 10^{-4} pour un système tel que Soleil-Terre.

Possibilité de mesure de la masse de la planète

L'intérêt d'observer le transit d'une planète déjà détectée par la méthode des vitesses radiales est qu'on peut ainsi déterminer sa masse réelle. En effet, un transit ne se produit que si la ligne de visée de l'observateur est à peu près dans le plan orbital du système, i.e. pour i \simeq {\pi/2}. La masse m\sin i est donc dans ce cas égale à la masse réelle m. Le transit permet également de déterminer le rayon de la planète, le rayon de l'étoile étant estimé par une autre méthode.

Sondage atmosphérique

Une information essentielle pourra également être apportée par cette méthode : la présence ou non d'une atmosphère autour de la planète, reliée à la pente de l'extinction du flux, progressive en présence d'une atmosphère. Cette détection est extrêmement importante, car on peut connaître la composition de cette atmosphère en comparant les mesures spectroscopiques de l'étoile avant et pendant le transit. Il est en principe possible de rechercher des signes d'activités exobiologiques en détectant des composants gazeux dont l'abondance est un indice de la présence d'organismes vivants... mais hors de portée des moyens actuels.


Simuler

Occultations

Animation reliant la courbe de lumière à l'évolution temporelle de la géométrie du système. L'inclinaison du plan orbital planétaire est un paramètre crucial. La signature photométrique diffère selon que l'inclinaison est très proche ou voisine de 90 degrés, ou trop éloignée.

eclipse0.gif
Transit planétaire, avec une inclinaison proche de 90 degrés. La signature photométrique reste ténue. Le rapport des luminosités stellaire et planétaire est tel que l'occultation de la planète par l'étoile reste n'est pas observable.
Crédit : ASM
eclipse1.gif
Transit planétaire. L'inclinaison, voisine de 90 deg, ne conduit qu'à une occultation partielle, et donc une très faible signature photométrique.
Crédit : ASM
eclipse2.gif
Pas de transit planétaire, l'inclinaison différant trop de 90 deg. Aucune occultation, et donc aucune signature photométrique.
Crédit : ASM

S'exercer

exerciceTransit de HD 209458

Difficulté :    Temps : 20 min

HD 209458 est une des nombreuses étoiles hébergeant une exoplanète. On cherche à caractériser le transit de cette dernière. Les notations sont les mêmes que celles des pages précédentes.

Question 1)

Retrouver l'expression de la diminution relative de luminosité I :

{\Delta I\over I} = \left({ R _{\mathrm{p}}\over R _{\mathrm{*}}}\right)^2

On suppose le flux (équivalent à une luminosité, ou puissance, surfacique) stellaire F _{\mathrm{*}} uniforme :

F _{\mathrm{*}} = I/\pi R _{\mathrm{*}}^{2}.

Question 2)

Calculer le rayon de la planète HD 209458b, au vu des mesures reportées ci-dessous.

Quelques données pour HD 209458
Masse de l'étoileM _{\mathrm{*}}1.03\ M _{\mathrm{\odot}}
Rayon de l'étoileR _{\mathrm{*}}1.2\ R _{\mathrm{\odot}}
Rayon de JupiterR _{\mathrm{J}}0.1\ R _{\mathrm{\odot}}
Rayon de JupiterR _{\mathrm{J}}7.1\ 10^7 {\,\mathrm{m}}
Masse de JupiterM _{\mathrm{J}}2\ 10^{27} {\,\mathrm{kg}}
Variation relative du flux1.58%

Question 3)

Calculer la masse volumique \rho de l'exoplanète, sachant que sa masse m vaut m = 0.62 M _{\mathrm{J}}. Quelle remarque vous inspire ce résultat ?


Limitations de la méthode par transit


Observer

champcorot.jpg
Fraction d'un champ stellaire observée par le satellite CoRoT. Au total, plusieurs milliers de cibles sont suivies simultanément.
Crédit : CoRoT/CNES
corottransit1.png
Détecter et identifier un transit nécessite une grande précision photométrique, telle que l'apporte CoRoT, la première mission dédiée à ce thème de recherche.
Crédit : CoRoT/CNES
corottransit2.png
Les transits, ici événements très fins de profondeur relative 4%, se superposent à un flux stellaire éminemment variable.
Crédit : CoRoT/CNES
corot-exo7b.png
Transit profond de seulement 0.4% observé par CoRoT (planète CoRoT-Exo-7b, de rayon égal à 1.8 fois celui de la Terre).
Crédit : CoRoT/CNES

Observer beaucoup d'étoiles

La probabilité de détection d'une planète étant faible, un programme de détection par transits doit nécessairement suivre simultanément un grand nombre de cibles, ce que permet la photométrie.

Observer longtemps

Un transit seul n'apporte pas d'information, et peut être confondu avec un événement non planétaire. Les séquences d'observation de CoRoT durent 5 mois, et la répétition de trois événements est attendue.

Observer précisément

Distinguer un transit planétaire des multiples autres sources possibles de variation du flux stellaire n'est pas toujours simple. Les planètes les moins massives détectées, par transit et donc sans l'ambiguïté du facteur de projection \sin i, ont été observées par le satellite CoRoT puis Kepler.


Apprendre

occult.png
Le rayon planétaire étant négligé devant le rayon stellaire, l'angle séparant le plan orbital de l'axe de visée doit être inférieur à une valeur limite pour qu'il y ait occultation.
Crédit : ASM
probapla2.png
La probabilité de transit p est obtenue par le rapport de l'aire balayée par la planète à l'aire de la sphère de rayon égal au demi-grand axe planétaire : 2R \ 2\pi a / 4\pi a^2 = R/a.
Crédit : ASM

Probabilité de transit

La méthode de détection par transit n'est opérante que s'il y a ... transit. Pour qu'un transit ait lieu, il faut que la planète traverse la ligne de visée de l'observateur. La probabilité p d'un tel événement vaut R _{\mathrm{*}}/a, R _{\mathrm{*}} étant le rayon stellaire, et a le demi-grand axe de l'orbite planétaire. Ce résultat est démontré par un calcul complet en exercice ; un schéma permet de retrouver rapidement le résultat.

Si le rayon stellaire est égal au rayon solaire, alors la probabilité de détecter un transit vaut p \simeq 0.1 pour a = 0.01 {\,\mathrm{UA}}, c'est-à-dire pour les planètes détectées à ce jour qui sont sur les orbites les plus serrées. Cette probabilité décroît avec l'augmentation du demi-grand axe.

Précision photométrique

Le deuxième facteur limitant est photométrique. En effet, depuis le sol il est difficile d'obtenir une précision photométrique meilleure que 1 % (c'est-à-dire \Delta F _{\mathrm{*}}/ F _{\mathrm{*}} = 10^{-2}) en raison de l'agitation atmosphérique. Les observations depuis l'espace, en revanche, permettent d'atteindre une précision aussi bonne que 10^{-4}, et donc de détecter des planètes de type tellurique.

Limite de détection par la méthode des transits
msiniat.png
La détection des planètes les moins massives nécessite une excellente précision photométrique. La probabilité de détection décroît fortement avec l'évolution du demi-grand axe.
Crédit : ASM

Observation de transits

Il s'ensuit que, pour être efficace, les projets de détection d'exoplanètes par transit doivent observer un très grand nombre de cibles, avec la meilleure précision photométrique possible. De plus, pour éviter tout effet stroboscopique, il faut observer continûment. L'espace est l'endroit idéal pour ceci, comme l’ont démontré les mission CoRoT et Kepler.

Confirmation des observations

Plusieurs artefacts observationnels peuvent imiter la signature d'un transit planétaire. Les plus courants sont l'observation d'un système stellaire double, ou d'une binaire à éclipses présente dans le champ d'observation de l'étoile principale. Dans ces deux cas, la baisse de flux peut être faible et confondue avec celle d'une hypothétique planète. Une vérification a posteriori s'impose pour déterminer les éventuels faux positifs, menée le plus souvent en vélocimétrie Doppler, et parfois par imagerie en optique adaptative.


S'exercer

exerciceLimitation de la méthode du transit

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

Avant les missions spatiales CoRoT et Kepler, peu de transits avaient été observés ; leur nombre a ensuite explosé. L'exercice se propose de déterminer la probabilité p d'un tel événement, fonction du rayon de l'étoile R _{\mathrm{*}} et du rayon orbital de la planète a, et d'établir p = R _{\mathrm{*}}/a.

occult.png
Crédit : ASM
Question 1)

L'angle i de visée est défini comme l'angle entre la normale au plan de révolution de l'orbite et la ligne de visée. Exprimer l'angle maximum i_0 pour lequel une éclipse peut être observée, en fonction de R _{\mathrm{*}} et a, en supposant le rayon planétaire négligeable.

Question 2)

En vous aidant des propriétés de symétrie du système, déterminer de quelle(s) variable(s) dépend p.

Question 3)

La probabilité p de détecter un transit est égale à la probabilité que la ligne de visée ne se trouve pas dans le demi-cône d'axe perpendiculaire au plan de l'orbite et de demi-angle au sommet i_0. Calculer la mesure de l'angle solide d'un hémisphère et d'un cône de demi-angle au sommet j.

Question 4)

Exprimer p en fonction de R _{\mathrm{*}} et a.

Question 5)

Application numérique pour le cas l'exoplanète 51 Peg.

Données : R _{\mathrm{*}} = R _{\mathrm{\odot}} = 7\ 10^5 km, et a = 0.05 {\,\mathrm{UA}}.


Détection par mesure astrométrique


Observer

Astrométrie

Il est possible de détecter le mouvement de l'étoile perpendiculairement à la ligne de visée, c'est-à-dire sur la sphère céleste, et d'en déduire les caractéristiques de la planète et de son orbite.

Déplacement astrométrique du Soleil dû à Jupiter
mywobble.png
Déplacement du Soleil sous l'effet des mouvements planétaires (Jupiter et Saturne principalement), vu à une distance de 10 pc. L'amplitude de ce déplacement est de 500 microsecondes d'arc (\mu as). Le déplacement dû à la Terre présenterait une amplitude de 0.3\,\mu\mathrm{as} à la même distance.
Crédit : NASA

Apprendre

objectifsObjectifs

L'astrométrie s'intéresse à la position des astres sur la sphère céleste. Cette technique peut être sensible à la modulation de la position d'une étoile légèrement perturbée par la présence d'une planète.

Astrométrie

Il est possible de détecter le mouvement de l'étoile perpendiculairement à la ligne de visée, c'est-à-dire sur la sphère céleste, et d'en déduire les caractéristiques de la planète et de son orbite.

On se limite au cas d'une orbite circulaire, mais bien sûr cette méthode s'applique aussi à la détection de planètes sur des orbites elliptiques. Le mouvement de l'étoile projeté sur le plan du ciel, c'est-à-dire sur le plan perpendiculaire à la ligne de visée, est une ellipse de demi-grand axe a _{\mathrm{*}}. Comme la distance d à l'étoile est grande devant a _{\mathrm{*}}, la déviation angulaire correspondante est \alpha = a _{\mathrm{*}}/d, ou encore :

\alpha = {a _{\mathrm{*}}\over d} = {m\over M}{a\over d}

avec \alpha exprimé seconde d'arc, a le rayon de l'orbite de la planète (en UA) et d la distance Soleil-étoile. La masse M de l'étoile et sa distance à la Terre étant connues par ailleurs, on peut déduire a de la périodicité du mouvement, et donc la masse de la planète m de la mesure de \alpha.

En pratique, la variation de la position d'un astre sur la sphère céleste n'est pas mesurée de façon absolue, mais différentiellement par rapport à un objet du champ, angulairement proche mais très lointain en distance, dont la position reste fixe.

msiniap.png
Diagramme masse-distance, montrant les performances de la détection astrométrique, fonction de la précision de mesure (respectivement 10, 1 et 0.05 milliseconde d'arc). Les triangles rouges marquent les exoplanètes déjà détectées.
Crédit : ASM

Systèmes pouvant être détectés par cette méthode

Les mesures faites à l'heure actuelle depuis le sol ont une précision d'une milliseconde d'arc (mas), et devraient atteindre 10 \mu as dans le futur proche sur des champs d'observation réduits. Il ne sera donc pas possible de détecter des planètes semblables à la Terre, orbitant dans des zones habitables (i.e. a \simeq 1 UA), puisque les étoiles observées sont à une distance d'au moins quelque parsecs de la Terre. L'astrométrie est plus adaptée à la détection de planètes géantes et de rayon orbital grand.


S'exercer

exercicePetite révision sur la formation d'image

Difficulté :    Temps : 30 min

Un astronome extraterrestre regarde notre système solaire à une distance de 10 AL de notre Soleil. On souhaite dimensionner le télescope dont il aurait besoin pour distinguer Jupiter autour du Soleil.

On suppose le pouvoir de résolution de l'appareil limité par la seule diffraction : la tache de diffraction vaut angulairement 1.22\ \lambda/D radian, où D est le diamètre du télescope.

Pour la suite, on prendra \lambda = 0.5 {\,\mu\mathrm{m}}.

Question 1)

Déterminer la distance angulaire maximale \alpha entre le soleil et Jupiter (a = 5.2 {\,\mathrm{UA}}).

Question 2)

Déterminer D, le diamètre minimum du collecteur nécessaire.

Question 3)

Cela est-il suffisant?

exerciceAstrométrie

Difficulté : ☆☆   Temps : 40 min

Le mouvement apparent d'une étoile voisine du soleil, corrigé de la parallaxe annuelle, est a priori rectiligne uniforme en l'absence de perturbation. On cherche à quantifier l'influence d'un compagnon planétaire.

On observe un système binaire composé d'une étoile de masse M _{\mathrm{*}} et d'une planète de masse m ( avec m\ll M _{\mathrm{*}}) de rayon orbital a.

Question 1)

Justifier le caractère rectiligne et uniforme du mouvement stellaire, en l'absence de compagnon.

Question 2)

Exprimer l'amplitude de la perturbation angulaire maximale \alpha de la position de l'étoile, située à une distance d du Soleil.

Question 3)

Retrouver l'expression :

a = { M _{\mathrm{*}}\over m}d\alpha

Question 4)

A quelle distance d se situe l'étoile si sa parallaxe annuelle vaut 0.1" ?

Question 5)

Quelles planètes du système solaire, supposé vu à 10 pc, pourrait-on détecter, si l'on est capable de mesurer des variations de position à 0.01" ou 0.001" près ?

Compléter le diagramme ci-joint, positionnant les objets en fonction de leur masse m et de leur demi-grand axe a, en définissant la frontière qui marque la limite de détectabilité (rappel M _{\mathrm{J}} = 2\ 10^{27} {\,\mathrm{kg}}).

Diagramme a-msin i
msinia00.png
Crédit : ASM

Question 6)

A terme, on imagine être capable de mesurer des écarts de position \alpha avec une précision de l'ordre de 50 millionièmes de seconde d'arc. En déduire le domaine observable dans le diagramme m\sin i - a, pour un système à 10 pc et M _{\mathrm{*}} \simeq 1 \ M _{\mathrm{\odot}}.

Question 7)

Quelles planètes du système solaire deviennent ainsi détectables ?


Performance de détection


Observer

gq_lupi.jpg
GQ Lupi A et son compagnon froid b.
Crédit : ESO

Une exoplanète attrapée au vol

Alors que les méthodes de détection par transit et vélocimétrie Doppler donnent de plus en plus de résultats, plusieurs objets ont été détectés en imagerie directe. Cette population comprend des planètes flottantes ou des naines brunes sans qu'il soit facile/possible de faire la différence.

Un des premier objets décourts est GQ Lupi b qui orbite autour de l'étoile QG Lupi A. A une distance d'environ 100 UA, 270 fois moins brillant que GQ Lupi A, GQ Lupi b a une masse entre une et 30 fois la masse du Jupiter. Ni les observations, ni leur modélisation ne permettent de conclure à l'heure actuelle sur la nature exacte de cet objet.


Apprendre

Observables

L'examen des différentes méthodes de détection montre qu'elles ne donnent pas accès aux mêmes observables, et qu'elles ne subissent pas les mêmes biais observationnels. Ces différentes méthodes (et il y en a d'autres) sont donc complémentaires : le sujet astrophysique est d'ailleurs suffisamment important pour motiver de nombreux projets observationnels, au sol ou spatiaux.

Performance de détection

La méthode des vitesses radiales favorise la détection des planètes massives et proches de l'étoile, alors que l'astrométrie favorise les planètes massives et de grands rayons orbitaux. Là encore, les méthodes apparaissent complémentaires.

Planètes détectables
msiniam.png
Les triangles rouges marquent les exoplanètes déjà détectées. Les limites en violet concernent la détection par transit, en vert par mesure Doppler, en bleu par astrométrie.
Crédit : ASM

Détections

L'existence de spectromètres performants et stables a favorisé jusqu'à ce jour la détection par vitesse radiale. L'accroissement du nombre de projets de recherche par transit fait augmenter le nombre de telles détections.

Nombre d'exoplanètes détectées par les différentes méthodes (octobre 2018)
Méthode Planètes Systèmes planétaires
Vitesse radiale 771574
Transit 28472127
Microlentille 8279
Imagerie 10082
Chronométrage 2923

S'évaluer

exerciceDiscours de la méthode

Difficulté :    Temps : 30 min

Question 1)

Distinguer les différentes techniques en fonction de leurs biais respectifs portant sur 1) la masse de la planète 2) son demi-grand axe 3) l'inclinaison orbitale.

[3 points]

Question 2)

Quelle technique est à votre avis la plus facilement spatialisable ?

[1 points]


Conclusion

L'étude des exoplanètes, champ de l'astrophysique en pleine effervescence, appartient de plain-pied à ces domaines scientifiques qui éveillent en chacun un intérêt qui n'est pas que purement scientifique.

De nombreux grands projets sont développés pour mieux détecter ou, plus difficile, voir directement les exoplanètes (ce qui demande alors d'éteindre la lumière stellaire avec une excellente efficacité, et motive des projets instrumentaux alliant interférométrie et coronographie).

Deux grands projets spatiaux ont apporté une moisson importante d'observations par transits. Le suivi au sol des candidats exoplanétaires doit se poursuivre avec des observations au sol pour vérifier qu'il s'agit bien de planètes vues en transit et non d'autres objets.

Différents observatoires ont mené des campagnes intensives de recherche d'exoplanètes par vitesse radiale :

Lister tous les projets en cours et oeuvrant prochainement est une tâche ardue tant la discipline progresse rapidement. On note :

concluexopla.png
Courbe de transit d'une exoplanète détectée par la mission CoRoT.
Crédit : CNES

Une technique prometteuse pour l'observation directe d'une planète est l'interférométrie annulante, où l'étoile est éteinte par interférométrie (ou ) destructive, quand la planète apparaît en revanche en opposition de phase.

nulling.png
Le flux de l'étoile, positionnée sur une frange d'interférence destructive, apparaît éteint par rapport à celui de la planète.
Crédit : ASM

Marée et problème à N corps


Introduction

Les pages précédentes ont essentiellement traité du problème à 2 corps, lorsque l'on peut s'intéresser à 2 objets en interaction gravitationnelle et négliger d'une part tout le reste de l'Univers, d'autre part la structure interne de ces objets en les considérant comme 2 points matériels.

Ce sous-chapitre présente différents cas où les hypothèses précédentes ne peuvent plus s'appliquer.

uranusannpla.jpg
Le système d'Uranus, vu dans le proche infrarouge. Les anneaux correspondent à de la matière dispersée par effet de marée.
Crédit : NASA

Les marées sur Terre

Auteurs: G. Catherine, B. Mosser

Introduction

Le phénomène des marées est abordé dans le cadre très simplifié d'un modèle statique. Ce modèle, incapable de prédire l'heure et la hauteur d'une marée dans votre port préféré, est néanmoins en mesure de dévoiler le principe du phénomène.

Deux situations sont abordées :

Il est important de comprendre que le champ de marée est un champ différentiel, qui agit sur la structure d'un corps non ponctuel.

Pour en savoir plus : voir le site du SHOM (Service Hydrographique et Océanographique de la Marine), qui propose par exemple un modèle de calcul de marée.

marchp.png
Le champ de marée de la Lune sur la Terre (modèle statique) .
Crédit : ASM

En baie de Saint-Malo


Observer

Lune et marée
marelune.png
Evolution des horaires des marées à Saint-Malo, pour le mois de septembre 2002, calculés par le SHOM. La courbe jaune représente le passage de la Lune au méridien, et les 2 courbes rouges les levers et couchers de la Lune. Les + et les - signalent respectivement les horaires des marées hautes et basses. Les horaires des marées, environ 2 hautes et 2 basses par jour, suivent clairement ceux de la Lune.
Crédit : SHOM et ASM

Lunaisons et marées

L'examen des horaires de marée montre une nette corrélation entre l'orbite de la Lune et la marée. Ceci apparaît sur la figure ci-jointe, qui montre comment évoluent les horaires des marées hautes et basses, en fonction des levers et couchers de la Lune. Le phasage précis des marées avec la Lune est complexe, comme le montre la suite.

Phases de la Lune et coefficients de marée
coefmaree.png
L'évolution du coefficient de marée, pour le mois de septembre 2002, calculée par le SHOM, marque une forte corrélation avec les phases de la Lune : les marées sont plus marquées aux environs des nouvelle et pleine lunes.
Crédit : SHOM et ASM

Grandes marées et phases de la Lune

Le coefficient de marée, qui sur une échelle relative de 20 à 120, mesure l'amplitude de la marée, apparaît également corrélé à la Lune, à ses phases en fait.


Apprendre

Approche statique

Dans l'approche statique, développée plus loin, on ne s'intéresse pas à la dynamique de l'écoulement des eaux océaniques, mais seulement au champ de force qui crée la marée.

L'approche statique met en évidence le rôle joué par la Lune sur le champ de marée, et explique la périodicité des marées (de l'ordre de 12h25min).

Approche dynamique

Si l'approche statique permet de comprendre le phénomène des marées, elle est notoirement insuffisante pour calculer la hauteur de marée en un lieu donné. Un tel calcul nécessite :

Les coefficients de marée

On définit usuellement des coefficients de marée, sur une échelle de 20 (marée minimale, dite de morte-eau, d'amplitude 1.22 m à Brest) à 120 (marée maximale, dite de vive-eau, d'amplitude 7.32 m à Brest). L'approche statique permet de comprendre que :

En revanche, le phasage entre les courbes de marée et la course lunaire n'est pas direct. Ce n'est pas étonnant : la mise en mouvement des masses océaniques n'est pas immédiate, et ces dernières ne peuvent pas suivre instantanément, c'est à dire sans déphasage, la phase de l'excitation. On peut aussi noter qu'à la résonance, un système excité n'est pas en phase avec l'excitateur, mais en quadrature.

Coefficients de marée
coefficients.png
Coefficients de marées en décembre 2002.
Crédit : SHOM

Les grandes marées

Les plus fortes marées sont observées aux équinoxes. Deux raisons à cela :


Lune et marées


Observer

Lune et marée

Les phénomènes de marée ont été étudiés depuis l'Antiquité (en particulier par les Grecs et les Romains). Dès 350 avant notre ère, Aristote attribuait les marées à la Lune et au Soleil, ceux-ci attirant l'eau des mers. Pline l'Ancien énonce au 1er siècle dans son Histoire Naturelle : "Sur la nature des eaux, enfin, beaucoup a déjà été dit; mais cette avance et le retrait des flots sont les plus extraordinaires; cependant si ce phénomène offre beaucoup de variété, sa cause réside dans le Soleil et dans la Lune". Il observe les deux marées par jour : "Entre deux levers de la Lune, la mer monte deux fois et redescend deux fois dans chaque intervalle de 24 heures" puis il remarque que "Jamais les marées ne se reproduisent au même moment que le jour précédent, comme si elles haletaient par la faute de l'astre avide qui attire à lui les mers pour s'abreuver".

Il décrit également fort bien le décalage de temps entre les pleines mers et le passage au méridien de la Lune "les phénomènes célestes faisant toujours sentir leurs effets à la Terre avec du retard sur la vue, comme l'éclair, le tonnerre ou la foudre", il décrit la corrélation entre les marées de vives-eaux et les syzygies et entre les marées de mortes-eaux et les quadratures "Au moment de la conjonction, elles égalent les marées de pleine Lune".

Diverses théories

Si les faits observationnels semblaient clairs, le mécanisme moteur des marée a dû attendre Newton pour commencer à être dévoilé. Auparavant, c'est plutôt le principe de sympathie qui prévaut : l'eau de la Lune (!) attire l'eau de la Terre.

Galilée propose un modèle en analogie avec un pendule. Descartes (1596 - 1650) apporte une explication cohérente, qui relie les astres par de la matière et les fait se déplacer par des tourbillons. La Lune comprime la matière du ciel, qui écrase l'eau.

Marée et gravitation universelle

La gravitation universelle de Newton permet d'obtenir les bases de la théorie des marées terrestres : les marées sont dues à la différence d'attraction du champ gravitationnel de la Lune entre deux points du globe terrestre.


Apprendre

prerequisPrérequis

Loi de Newton

Modèle de l'océan global
oceanglo.png
Le modèle : un océan global.
Crédit : ASM

Effet de marée, exemple sur Terre

En ayant remarqué qu'une flaque d'eau ne subit pas de marée, serait-elle aussi grande que le Lac Léman, on s'intéressera à la marée à l'échelle planétaire, en allant jusqu'à supposer la présence d'un océan global couvrant uniformément toute la Terre. Une description plus précise des marées en un lieu donné du globe nécessite un cadre plus précis. Selon le lieu, les phénomènes de marée peuvent présenter des aspects fort différents, non abordés dans ce cours : la topographie des lieux, associée au phénomène de résonance, permet de comprendre les grandes marées rencontrées p.ex. dans la baie du Mont-Saint-Michel.

champgravlune.png
Dans un référentiel galiléen, le champ de gravité de la Lune en chaque point de la Terre est représenté par des vecteurs dirigés vers le centre de la Lune, de module inversement variable par rapport au carré de l'éloignement (échelle non respectée) (modèle statique).
Crédit : ASM

Du fait de sa masse, la Lune crée un champ gravitationnel dont l'intensité est d'autant plus faible que la distance à la Lune est grande. L'action de ce champ en chaque point de la Terre crée une force dirigée vers le centre de gravité de la Lune.

Pour comprendre l'action du champ gravitationnel de la Lune sur la Terre, on se place dans un référentiel quasi géocentrique, mais tournant avec la Lune.

forcemaree.png
Le champ de marée apparaît dans le référentiel barycentrique de la Terre. (modèle statique).
Crédit : ASM
forcegeo.png
La face faisant face à la Lune est soumise à un champ gravitationnel lunaire plus important que le centre de la Terre. On y observe une marée haute. La face la plus éloignée subissant un champ moins important que le centre, une marée haute y a lieu également (modèle statique).
Crédit : ASM

Dans le référentiel barycentrique de la Terre

Dans le référentiel terrestre, le centre de la Terre est au repos, les bourrelets de marée sont fixes, en permanence pointés vers la Lune. Sous ces bourrelets fixes, la Terre défile. Elle tourne en 24h50, soit la période synodique de la Lune. Autrement dit, dans le référentiel terrestre, on voit passer 2 marées hautes par 24h50.


Simuler

Le champ de marée

Le champ de marée en un point du globe évolue en fonction de la phase de la Lune et de la rotation terrestre.

mareel.gif
Le champ de marée lunaire provoque 2 bourrelets de l'océan. Dans le cadre d'un modèle statique, ces bourrelets suivent rigoureusement la Lune. La rotation de la Terre est modélisée par un rayon vecteur tournant rouge (modèle statique).
Crédit : ASM

Dans un modèle dynamique, plus réaliste, il y a un décalage entre la position de la Lune et la marée.


S'exercer

exercicePériodicité des marées

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

Le but de cet exercice est de calculer la période des marées sur Terre.

La période de révolution de la Lune autour de la Terre dépend du référentiel de l'observateur. C'est pourquoi on définit une période de révolution sidérale, T _{\mathrm{sid}}^L et une période de révolution synodique, T _{\mathrm{syn}}^L. La première, vue des étoiles, est la durée mise par la Lune pour faire un tour complet autour de la Terre (T _{\mathrm{sid}}^L = 27.3\ \mathrm{jours}). La deuxième, vue de la Terre, est la durée entre deux pleines lunes.

La marée haute est en permanence dirigée vers la Lune.

Question 1)

D'où provient la différence entre les deux périodes ? Expliquez avec un schéma.

[2 points]

Question 2)

Connaissant T _{\mathrm{sid}}^L, calculer T _{\mathrm{syn}}^L.

[2 points]

Question 3)

Pourquoi est-il utile de connaître la période de rotation propre de la Terre vue depuis la Lune ? On appellera T _{\mathrm{p}} cette période.

[1 points]

Question 4)

Calculer T _{\mathrm{p}}.

[1 points]

Question 5)

Quelle est la périodicité des marées hautes?

[2 points]


S'évaluer

exerciceHoraires et coefficients des marées

Difficulté :    Temps : 20 min

Le tableau ci-joint fournit les horaires et coefficients des marées sur 1 mois.

Coefficients de marée
coefficients.png
Exemple d'horaires et de coefficients de marée.
Crédit : SHOM
Question 1)

Déterminer à l'aide du graphe la période des marées.

[2 points]

Question 2)

Pourquoi certains jours n'y a-t-il qu'une seule marée haute ou qu'une seule marée basse ?

[2 points]


Le champ de marée : approche statique


Observer

marees.gif
La marée haute suit la position apparente de la Lune ; marée haute et basse s'alternent rapidement, essentiellement à cause du mouvement de rotation propre de la Terre. Les coefficients de marée sont plus forts dans les conditions d'alignement du Soleil et du couple Terre-Lune, donc aux nouvelle et pleine lunes (modèle statique). Dans un modèle dynamique (plus réaliste), il y a un décalage entre la position de la lune et la marée.
Crédit : ASM

Bourrelets (é)mouvants

Les animations, dans le cadre d'une théorie statique de la marée et du modèle de l'océan global, montrent comment les bourrelets de la marée suivent la course de la Lune autour de la Terre.

Horaires de la Lune et des marées
marelune.png
La courbe jaune représente le passage de la Lune au méridien, et les 2 courbes rouges les levers et couchers de la Lune. Les + et les - signalent respectivement les horaires des marées hautes et basses. Le modèle statique prévoit la concordance entre marée haute et passage de la Lune au méridien (modulo 12h25), et marée basse et lever ou coucher de la Lune. Ce n'est visiblement pas le cas : les phénomènes dynamiques gouvernent la ... dynamique des marées.
Crédit : SHOM et ASM

L'approche statique en défaut

L'approche statique suppose que les masses océaniques réagissent instantanément au champ de marée, ce qui n'est pas vrai, comme cela apparaît sur les prévisions. Les conditions géographiques locales entraînent un horaire des marées également local.


Apprendre

schemamaree.png
Définitions des distances R et D.
Crédit : ASM

Les forces de marée sont des forces différentielles

La Terre n'est pas un point, mais a une dimension finie. Or l'intensité du champ gravitationnel de la Lune varie comme l'inverse du carré de la distance à la Lune. Il en résulte une attraction différentielle qui déforme la Terre. On peut estimer la valeur du champ de marée \delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}} dans le cadre du modèle de l'océan global. On démontre que le module de \delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}} est de l'ordre de {2{\cal G}mR/D^{3}}

demonstrationDémonstration

Calcul du champ de marée. On estime la marée créée par la Lune L en un point courant P du globe terrestre, que l'on repère par rapport au centre O de la Terre. On note {D} la distance OL, et R le rayon terrestre. La composante du champ de marée \delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}} en P représente la différence du champ lunaire entre les points O et P. Les calculs sont menés au 1er ordre par rapport au petit terme R/D (car R/D \simeq 6400/380\ 000 \simeq 1.7\ \%) :

\begin{eqnarray*} \delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}} &=& {{\cal G} m} { {\mathbf{PL}} \over PL^{3}} - {{\cal G} m} { {\mathbf{OL}} \over OL^{3}} \\ &=& {{\cal G} m} \left[{ {\mathbf{PO}}+ {\mathbf{OL}} \over PL^{3}} - { {\mathbf{OL}} \over OL^{3}} \right]\\ &\simeq& {{\cal G} m} \left[ { {\mathbf{PO}} \over {D}^{3}} + { {\mathbf{OL}} \over PL^{3}} - { {\mathbf{OL}} \over {D}^{3}} \right]\\ \end{eqnarray*}

On estime alors le terme {\mathbf{OL}} / PL^{3} de l'équation précédente, en injectant la relation de Chasles {\mathbf{PL}} = {\mathbf{PO}} + {\mathbf{OL}}, et toujours au premier ordre en PO / OL = PO / {D} :

\begin{eqnarray*} { {\mathbf{OL}} \over PL^{3}}&=& { {\mathbf{OL}} \over [{ {\mathbf{PL}}^{2}}]^{3/2}}= { {\mathbf{OL}} \over [( {\mathbf{PO}}+ {\mathbf{OL}})^{2}]^{3/2}}\\ \\ &\simeq& { {\mathbf{OL}} \over {D}^{3} \left( 1 + 2\ {\mathbf{PO}} . {\mathbf{OL}} / {D}^{2} \right)^{3/2}}\\ &\simeq& { {\mathbf{OL}} \over {D}^{3}} \left(1 - 3\ {\mathbf{PO}} . {\mathbf{OL}} / {D}^{2} \right)\\ \end{eqnarray*}

On trouve alors pour le champ de marée \delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}}, en introduisant les vecteurs unitaires \mathbf{u} et \mathbf{v} tels que {\mathbf{OL}} = D\ \mathbf{u} et {\mathbf{PO}} = -R (\cos\theta\ \mathbf{u} + \sin\theta\ \mathbf{v}):

\begin{eqnarray*} \delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}} &=& {{\cal G} m} \left[ { {\mathbf{PO}} \over {D}^{3}} - {3\ {\mathbf{PO}} . {\mathbf{OL}} \over {D}^{2}}\ { {\mathbf{OL}} \over {D}^{3}} \right]\\ &=& {{\cal G} m\over {D}^{3}} \left[-R\ (\cos\theta\ \mathbf{u} + \sin\theta\ \mathbf{v}) + 3 R\ \cos\theta\ \mathbf{u} \right]\\ &=& {{\cal G} m R\over {D}^{3}} \left[2 \cos \theta\ \mathbf{u} - \sin \theta\ \mathbf{v} \right]\\ \end{eqnarray*}

Le champ de marée
marchp.png
Champ de marée (modèle statique).
Crédit : ASM

On peut comparer les modules des champs de marée et gravitationnel :

\left\vert { \delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}}\over G}\right\vert \simeq {{\cal G}mR/D^3\over {\cal G}m/D^2} \simeq R/D

Il ressort de cette analyse que l'effet de marée :


S'exercer

exerciceMarée dans une flaque d'eau

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

Question 1)

On exprime l'ordre de grandeur du module du champ de marée \delta G _{\mathrm{m}} de la Lune sur la Terre de la façon suivante :

\delta G _{\mathrm{m}} \simeq {2GmR\over D^{3}}

avec R le rayon de la Terre, D, la distance Terre-Lune (R \ll D), et m la masse de la Lune.

Dans le modèle de l'océan global, caractérisé par une distance r _{\mathrm{car}}=R=6400\ \hbox{km} mesurant l'étendue d'eau, la hauteur h de la marée est de l'ordre de 1 m.

En supposant que h est, comme le champ de marée, une fonction linéaire de r _{\mathrm{car}}, estimer la hauteur de marée dans les cas suivants :

  • une mer s'étendant sur 640 km,
  • un lac s'étendant sur 64 km,
  • une flaque d'eau de 64 cm.

En déduire pourquoi il n'y a pas de marée dans une flaque d'eau, ni même dans un grand lac.

[2 points]

Question 2)

On souhaite retrouver l'expression du champ de marée \delta G _{\mathrm{m}} de la Lune sur la Terre.

  1. Pour cela, exprimer la valeur du champ gravitationnel de la Lune en deux points distincts P et P^{'} de la Terre, tels que P, P^{'} et L soient alignés, le point L repérant le centre de la Lune. Soit r la distance PP^{'}, et r \ll D.
  2. Choisir P et P^{'} de façon à bien caractériser le problème.
  3. Calculer \delta G _{\mathrm{m}} = G(P)-G(P^{'}), en effectuant un développement limité au 1er ordre en r/D.

[3 points]


Rôle du Soleil sur les marées


Observer

Quadrature
morteeau.png
Lors du premier et du dernier quartier de Lune, on observe des marées de faible amplitude dites de morte-eau. Les contributions du Soleil (bleu foncé) et de la Lune (bleu ciel) étant en quadrature (modèle statique).
Crédit : ASM
Conjonction
viveeau.png
Lors de la pleine lune ou de la nouvelle lune, on observe des marées de grande amplitude dites de vive-eau, les contributions du Soleil et de la Lune se superposant en phase (modèle statique).
Crédit : ASM

Marées de vive-eau et de morte-eau

Le Soleil, la Terre et la Lune sont en quadrature quand les axes Lune-Terre et Terre-Soleil sont perpendiculaires. Les effets conjugués de la Lune et du Soleil s'opposent.

Le Soleil, la Terre et la Lune, en conjonction, sont alignés. Les champs de marée de la Lune et du Soleil s'ajoutent.

Dans les 2 cas, la marée due à la Lune reste plus forte que celle due au Soleil (voir exercice ci-dessous).

Il faut aussi garder en tête le décalage entre la position de la Lune et la marée dû aux forces de frottement dans la planète et les océans en particulier.


Apprendre

La contribution du Soleil dans les marées

On a pu remarquer que les champs de marée sont proportionnelles à la masse de l'astre perturbateur d'une part, et inversement proportionnelles au cube de la distance avec l'astre perturbateur.

Il s'ensuit que la Terre est soumise principalement au champ gravitationnel de la Lune. Bien que plus massif, le Soleil a une influence moindre sur les eaux de nos océans!

Toutefois, le Soleil n'a pas une influence nulle sur les marées. Pour certaines configurations, les champs de marée du Soleil et de la Lune s'ajoutent (marées de vive-eau), et pour d'autres, se retranchent (marées de morte-eau).


Simuler

Le champ de marée : Lune et Soleil

Le champ de marée en un point du globe évolue en fonction de la phase de la Lune et de la rotation terrestre.

maree2.gif
Evolution du champ de marée, dans le cadre de l'approche statique et du modèle de l'océan global, en fonction de la phase de la Lune (modèle statique).
Crédit : ASM

S'exercer

exerciceL'influence du Soleil sur les marées

Difficulté :    Temps : 15 min

On se propose de calculer l'influence relative du Soleil sur les marées par rapport à celle de la Lune.

Question 1)

Exprimer les valeurs des champs de marées \delta G(L \to T) de la Lune sur la Terre et \delta G(S \to T) du Soleil sur la Terre

[1 points]

Question 2)

Ecrire, puis calculer le rapport des champs. Pour les applications numériques, on prendra les valeurs du tableau ci-joint :

Objetmasse (kg)distance (km)
la Terre6\ 10^{24}
Lune7\ 10^{22} 3.6\ 10^{5}
Soleil2\ 10^{30} 1.5\ 10^{8}

[1 points]


Effet de marée

Auteurs: G. Catherine, B. Mosser

Introduction

Un corps non ponctuel dans un champ gravitationnel va ressentir le gradient de ce champ. Proche de l'objet massif créant ce champ, ce gradient devient suffisamment grand pour écarteler tout objet étendu qui s'y aventure.

Cet effet, dit effet de marée, rend compte des anneaux planétaires, de la rupture d'objets cométaires...

sl9fragments.jpg
La comète Shoemaker-Levy a été fragmentée par effet de marée lors de son passage au périjove en 1992. En juillet 1994, ses fragments se sont abîmés sur la planète géante.
Crédit : NASA

Champ de marée


Observer

volcansio.jpg
La surface de Io, recouverte de volcans géants et de dépôts de soufre.
Crédit : NASA

Le volcanisme sur Io

Io, satellite de Jupiter, possède pratiquement les mêmes masse, diamètre et rayon orbital que la Lune. Sa surface est couverte de volcans (actifs et inactifs) et de lacs de lave. L'activité volcanique est telle que les dépôts volcaniques s'accumulent au rythme d'environ 1 mm d'épaisseur par année sur toute la surface d'Io. De tous les objets du système solaire, Io est celui dont la surface se renouvelle le plus rapidement.

D'où vient l'énergie dissipée par le volcanisme ?

Les volcans d'Io expulsent du gaz à plus de 1 km/s, 20 fois plus vite que ne le fait un volcan terrestre. Ce volcanisme d'Io puise sa source dans l'effet de marée. A cause de la proximité de Io et de la masse de la planète, Jupiter étant 318 fois plus massif que la Terre, les renflements de marée que subit le satellite ont une amplitude de plusieurs kilomètres.

Si, comme la Lune, Io a ses périodes de rotation et de révolution synchronisées, son mouvement est de plus fortement perturbé par 2 autres lunes de Jupiter, Europe et Ganymède, avec lesquels son orbite est résonante.

Sous l'effet de l'attraction des autres satellites, Io est tantôt en avance, tantôt en retard par rapport à sa révolution moyenne, ce qui a pour effet de déplacer le bourrelet de marée, et conduit à une forte dissipation d'énergie : la variabilité et le déplacement des renflements de marée dégradent par friction suffisamment d'énergie pour faire fondre partiellement l'intérieur du satellite et engendrer ainsi une activité volcanique.


Apprendre

Forces de marée de la Terre sur la Lune

La Terre étant 81 fois plus massive que la Lune, l'effet de marée de la Terre sur la Lune est important : cette marée a synchronisé la rotation propre de la lune et sa révolution autour de la Terre. C'est pour cette raison que nous voyons toujours la même face de la Lune.

Sous l'action du champ de marée terrestre, la Lune a été déformée et le bourrelet de déformation est en moyenne aligné dans l'axe Terre-Lune.

Rotation synchrone

Si la Lune ne tournait pas autour de la Terre de façon à présenter toujours la même face, ce bourrelet se déplacerait et créerait des frottements. La période de rotation propre de la Lune a diminué, et s'est ajustée à celle de révolution autour de la Terre, de telle façon que la Lune présente toujours la même face à la Terre. Ces frottements sont nuls lorsque le bourrelet ne se déplace plus.

remarqueRemarque

Ce qui est vrai pour la Lune est aussi vrai pour la Terre : les effets de la marée lunaire continuent de freiner la rotation de la Terre. La journée s'allonge de 2 microsecondes par an.

A l'instar de la Lune, tous les gros satellites du système solaire présentent une rotation synchrone avec celle de leur planète.


Simuler

synchrone.gif
Animation montrant la rotation synchrone. L'égalité des périodes de révolution et de rotation conduit le satellite à toujours présenter la même face à sa planète. La rotation de la Terre est indiquée par le rayon vecteur rouge.
Crédit : ASM

Rotation synchrone

Animation montrant la rotation synchrone. La lune présente ainsi toujours la même face à la Terre

libration.gif
Animation montrant la libration. Les périodes de libration et de révolution sont très voisines.
Crédit : ASM

Libration et nutation

Animation montrant comment la libration modifie légèrement la rotation synchrone. La libration mesure l'oscillation de la Lune autour de sa position moyenne.


S'évaluer

exerciceSphère d'influence

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

La sphère d'influence d'une planète de masse m orbitant sur une orbite circulaire de rayon a autour de son étoile de masse m\ll M peut-être définie comme la zone à l'intérieur de laquelle un satellite reste piégé autour de la planète (à l'extérieur de cette sphère, le satellite est capturé en orbite autour de l'étoile). Pour déterminer le rayon de cette sphère, on cherche dans le référentiel tournant avec la planète la position d'équilibre entre les 2 corps M et m. On note L cette position (1er point de Lagrange).

Question 1)

La distance de L à la planète étant notée b, déterminer les distances de L à l'étoile et de L au barycentre G du système (planète-étoile) en fonction de a et b. On note r cette dernière distance.

[2 points]

Question 2)

Montrer, en identifiant les différents termes, que la relation suivante définit l'état d'équilibre du satellite dans le référentiel barycentrique :

-{{\cal G}M\over (a-b)^{2}}+{{\cal G}m\over b^{2}}+r\omega^{2}=0

[3 points]

Question 3)

Développer cette relation en ne retenant que les termes d'ordre 0 ou 1 (m\ll M et b\ll a). En déduire que :

b=a\left({m\over 3M}\right)^{1\over 3}

[3 points]

Question 4)

Application numérique :

Calculer b pour la Terre (a = 1.5\ 10^{8}\ \mathrm{km} = 1\ \mathrm{UA}) et comparer à la distance Terre-Lune (380 000 km). Calculer b pour le Soleil qui orbite autour du centre galactique (a = 26\ 000 années de lumière, masse = 9\ 10^{10} M _{\mathrm{\odot}}), et comparer à la distance moyenne entre deux étoiles (distance Soleil-Proxima du Centaure = 4.2 AL), ainsi qu'à la distance du nuage de Oort (de l'ordre de 30\ 10^{3}\ \hbox{UA}).

[2 points]


Limite de Roche


Observer

Saturne et ses anneaux
saturneannpla.jpg
Les anneaux de Saturne s'étendent en deçà de la limite de Roche.
Crédit : NASA
Uranus et ses anneaux
uranusannpla.jpg
Dans le domaine IR sélectionné sur cette image, correspondant à une raie du méthane, la planète Uranus apparaît éteinte, ce qui met en évidence les satellites et anneaux.
Crédit : NASA

Anneaux et satellites

Toutes les planètes géantes ont à la fois des anneaux et des satellites. Les anneaux orbitent à proximité de la planète, accompagnés de tout petits satellites. Loin de la planète, il n'y a que des satellites (et des anneaux de poussière instables). La limite de Roche sépare ces 2 régions.

Le champ de marée brise les satellites qui s'aventurent à l'intérieur de cette limite. Elles empêchent aussi les anneaux de s'accréter en satellites.

La comète Shoemaker-Levy 9

En Juillet 1994, les fragments de la comète Shoemaker-Levy 9 ont percuté Jupiter. Lors du précédent périjove, la comète SL9 s'était fragmentée sous l'effet du champ de marée.

Forces de marée sur la comète SL9
sl9.png
Lorsque la comète arrive à une certaine distance de la planète, le champ de marée est suffisamment important pour écarteler la comète en plusieurs morceaux.
Crédit : Sekanina, Chodas & Yeomans

Apprendre

roche0.png
Modélisation du satellite, en 2 parties sphériques.
Crédit : ASM
roche1.png
Attraction différentes sur les deux parties du satellite.
Crédit : ASM
roche2.png
Equilibre ou rupture, sous l'action du champ autogravitationnel qui doit assurer la cohésion, et des termes de gradient du champ gravitationnel planétaire qui écartèlent le satellite (dans le référentiel du centre de masse du satellite).
Crédit : ASM

La limite de Roche

La limite de Roche marque la distance minimale à la planète d'existence de gros satellites. Au delà, un satellite peut subsister ; en deçà, il est fragmenté en anneaux. Un exercice permet le calcul de cette limite dans une modélisation simple, illustrée par les schémas suivants :


S'exercer

exerciceLimite de Roche

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 45 min

La limite de Roche d'une planète est la distance à partir de laquelle la force de marée sur un satellite est plus importante que les forces de cohésion du satellite. La force du raisonnement de Roche, que nous allons reprendre ici, repose sur l'hypothèse simplificatrice suivante : bien que le satellite naturel soit généralement de forme patatoïdale, on l'imagine constitué de deux sphères (S _{\mathrm{1}} et S _{\mathrm{2}}) de rayons r, maintenues ensemble par interaction gravitationnelle. On notera cette force de cohésion F _{\mathrm{coh}}(r).

Astéroïde Gaspra
237.jpg
Crédit : NASA

Nous supposons donc qu'un satellite de masse 2m peut être assimilé à deux sphères de masse m et de rayon r. Ce satellite orbite autour d'une planète de masse M (m \ll M), et de rayon R. La distance entre les centres de masse de la planète et du satellite est notée D, avec D \gg r.

Quelques données utiles
ObjetMasse (kg)Rayon (m)Masse volumique (\mathrm{kg.m}^{-3})
Soleil2.0\ 10^{30}7.0\ 10^81400
la Terre6.0\ 10^{24}6.4\ 10^65450
Lune7.2\ 10^{22}1.7\ 10^63500
Saturne5.7\ 10^{26}6.0\ 10^7630
Comète200
Satellites de SaturneDistance (km)Rayon (km)Masse (kg)
Mimas186 0001963.80\ 10^{19}
Encelade238 0002608.40\ 10^{19}
Téthys295 0005307.55\ 10^{20}
Dioné377 0005601.05\ 10^{21}
Les anneaux de SaturneRayon Interne (km)Rayon Externe (km)Largeur (km)
Anneau D 60 000 72 600 12600
Division Guerin 72 600 73 800 1200
Anneau C 73 800 91 800 18000
Division Maxwell 91 800 92 300 500
Anneau B 92 300 115 800 23500
Division Cassini115 800 120 600 4800
Question 1)

Montrer que la 3ème loi de Kepler appliquée au satellite peut s'écrire :

\omega\ = \left({{\cal G}M\over D^{3}}\right)^{1/2}

avec \omega = 2\pi /T la pulsation du mouvement.

[2 points]

Question 2)

Énoncer les forces d'interaction gravitationnelle F _{\mathrm{G1}} et F _{\mathrm{G2}} exercées par l'astre massif sur S _{\mathrm{1}} et S _{\mathrm{2}}.

[1 points]

Question 3)

L'étude du mouvement dans le référentiel tournant introduit une accélération d'entraînement. La déterminer, et exprimer le terme d'inertie qui va s'ajouter dans l'écriture de l'équilibre des forces exprimé dans le référentiel tournant. Pour simplifier les calculs, on confond le barycentre du système planète-satellite avec le barycentre de la planète.

[2 points]

Question 4)

On note F _{\mathrm{1}} et F _{\mathrm{2}} les contributions totales (gravitationnelle et inertielle) sur S _{\mathrm{1}} et S _{\mathrm{2}}. Comment appelle-t-on la force \delta F, définie comme étant la différence de F _{\mathrm{1}} et F _{\mathrm{2}}? La calculer.

[2 points]

Question 5)

Calculer la force de cohésion F _{\mathrm{coh}}(r) entre S_1 et S_2. Estimer d'abord son origine.

[1 points]

Question 6)

Déterminer la limite de Roche d _{\mathrm{R}}, distance à laquelle les termes de cohésion et marée s'équilibrent. L'exprimer en fonction de \rho _{\mathrm{M}} et de \rho _{\mathrm{m}}, les masses volumiques respectives de la planète et du satellite.

[2 points]

Question 7)

Calculer la limite de Roche pour le cas du système Terre-Lune. Comparer la limite de Roche de la Terre à la distance Terre-Lune.

[1 points]

Question 8)

Même question pour Saturne et son satellite Mimas, on suppose que le satellite en formation dans ses anneaux a une masse volumique identique à celle de Saturne. Calculer la limite de Roche dans ce cas. La comparer aux rayons des anneaux et aux rayons des satellites de Saturne.

[2 points]

Question 9)

Même question pour Soleil visité par une comète à son périhélie. Comparer au périhélie de la comète de Halley (q = 8.8\ 10^7 \ \mathrm{km}) (on supposera que l'expression de l'accélération d'entraînement trouvée dans le cas d'une orbite circulaire garde ici un ordre de grandeur convenable, même si elle ne peut plus s'appliquer a priori).

[1 points]


Les points de Lagrange

Auteurs: G. Catherine, B. Mosser

Introduction

Les points de Lagrange : un cas particulier du problème à 3 corps, où l'un des 3 corps est de masse négligeable devant les 2 autres.

lagrangeequi10.png
Les 5 points de Lagrange, extrema du potentiel gravitationnel d'un système à 2 corps (points bleus, le barycentre étant en vert).
Crédit : ASM

Les points de Lagrange : analyse statique


Observer

lagrange1.pnglagrange10.png
Potentiel gravitationnel sur la droite joignant les 2 corps, pour des rapports de masse de 1 et 10. Ce potentiel présente 3 maxima.
Crédit : ASM

Le potentiel gravitationnel sur l'axe

Dans le référentiel tournant avec les 2 corps massifs, le potentiel résultant de la combinaison des potentiels gravitationnels et rotationnel présente 3 extrema sur la droite contenant les 2 corps. L'un de ces maxima se situe entre les 2 corps, ce que l'on attend intuitivement.

Deux autres maxima se trouvent sur la droite reliant les 2 objets, mais de part et d'autre ...ce qui est plus surprenant. Ils proviennent en fait de la contribution au potentiel du référentiel tournant.

lagrangeequi1.pnglagrangeequi10.png
Equipotentielles dans le plan orbital, pour des rapports de masse de 1 et 10. Le gradient de potentiel s'annule aux 5 points de Lagrange. Remarquer que L4 forme un triangle équilatéral avec les 2 corps (points de couleur bleu ciel ; le barycentre est indiqué en vert). Il est est de même pour L5.
Crédit : ASM

Equipotentielles

Dans le plan orbital, les équipotentielles du champ montrent 5 point d'équilibre.

Trois de ces points (L1, L2 et L3) sont des selles. L4 et L5 sont des maxima.

nasamap.jpg
Position des points de Lagrange du système Soleil-Terre, et orientation du champ gravitationnel en leur voisinage.
Crédit : NASA/WMAP

Les points de Lagrange

Détermination du champ gravitationnel au voisinage des points de Lagrange, pour le système Soleil-Terre.


Apprendre

prerequisPrérequis

Loi de Newton

objectifsObjectifs

Illustrer le problème à N-corps dans un cas particulier : 3 corps, dont 1 de masse négligeable devant les 2 autres. Dans ce cas, on ne considère que le champ gravitationnel des 2 corps massifs.

3 corps, mais 1 de masse nulle

Le problème à 3-corps est insoluble analytiquement dans le cas général. L'astronome mathématicien Joseph-Louis Lagrange en a proposé une solution dans un cas particulier, où l'un des corps est de masse négligeable devant les 2 autres, et subit leurs champs gravitationnels.

deflagrange.png
Notations.
Crédit : ASM

Le potentiel gravitationnel

Les 2 corps massifs sont supposés en orbite circulaire ; on note \omega la vitesse angulaire de rotation. Le potentiel gravitationnel créé par ces 2 corps est étudié dans le référentiel tournant avec les 2 corps, supposés en orbite circulaire. Les notations sont définis ci-joint.

Le corps de masse négligeable subit le potentiel :

U \ = - { {\cal G} m_1\over r_1} - { {\cal G} m_2\over r_2} - {1\over 2}\ \omega^2 \ r^2

avec m_i les masses respectives des 2 corps massifs, r_i les distances du système aux 2 corps, r la distance à leur barycentre, et \omega la vitesse angulaire de rotation des 2 corps. Le dernier terme est introduit par le référentiel tournant.

En posant \mu le rapport des masses m_2/m_1, et en notant M\equiv m_1 la plus forte des masses, on obtient :

U \ = - { {\cal G} M}\ \left[ {1\over r_1} + {\mu\over r_2} + {1\over 2}\ {(1+\mu) r^2\over a^3} \right]

en ayant introduit la 3e loi de Kepler pour les 2 corps massifs : \omega^2= 4\pi^2 / T^2 = {\cal G} M (1+\mu) /a^3.

Les points de Lagrange

Le gradient de potentiel s'annule en des points particuliers : les points de Lagrange. Leur étude peut être menée analytiquement, mais l'on se contente ici de constater les résultats.

Ces points se situent dans le plan orbital des 2 corps. Les points L1, L2 et L3 sont alignés avec les 2 corps, et L4 et L5 forment avec eux 2 triangles équilatéraux.

Equilibre aux points de Lagrange

Il faut noter que les positions d'équilibre trouvées ne sont pas statiquement stables : ils correspondent en effet à des maximum de potentiel, ou des selles. C'est dynamiquement, avec l'appoint de la force de Coriolis (le référentiel est tournant !) que les points L4 et L5 deviennent stables... et sont occupés par des satellites naturels ou artificiels.


Simuler

Le potentiel dans le référentiel tournant

Les animations proposées parcourent les équipotentielles du potentiel dans le référentiel tournant associé au problème de Lagrange, pour différents rapports de masse : 1, 3, 10.

Le balayage des équipotentielles remonte des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants. L'animation met en évidence les points de Lagrange, à la jonction de différentes nappes équipotentielles.

lagrange3D1.gif
Balayage des équipotentielles, des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants, pour un rapport de masse unité.
Crédit : ASM
lagrange3D3.gif
Balayage des équipotentielles, des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants, pour un rapport de masse de 3.
Crédit : ASM
lagrange3D20.gif
Balayage des équipotentielles, des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants, pour un rapport de masse de 1/20.
Crédit : ASM

Analyse dynamique


Observer

Stabilité

L'étude de la stabilité des points de Lagrange n'est pas simple. Il est bienvenu d'exprimer le lagrangien du système, et de faire une analyse par perturbation... ce qui est hors de la portée de ce cours.

Les figures ci-jointes, réalisées par des étudiants du Master professionnel Outils et Systèmes de l'Astronomie et de l'Espace lors d'un projet d'analyse numérique, dévoilent la complexité de l'analyse.

stablel4.png
Exemple d'orbite autour de L4. Les distances sont données en unité de demi-grand axe.
Crédit : Observatoire de Paris/Master OSAE
stablelm.png
Excursion possible autour du point L4, en fonction du rapport de masse donné, avant déséquilibre. Une distance à L4 bornée dénote l'existence d'un équilibre stable. Au delà de \mu\simeq 0.038\ (\mu^{-1} \simeq 26), il n'y a plus d'équilibre possible.
Crédit : Observatoire de Paris/Master OSAE
troyens.png
Quelques uns des plus de 6000 satellites troyens de Jupiter. Ils orbitent au voisinage de L4 ou L5 ; leur mouvement autour de ces points se traduit pour par une excentricité et une inclinaison non nulles.
Crédit : IMCCE

Les astéroides troyens

Les astéroïdes troyens sont sur la même orbite que Jupiter, soit en avance de 60^\circ sur Jupiter (point L4), soit en retard de 60^\circ (point L5).

haloorbit.png
Insertion de SOHO autour du point de Lagrange L1, et orbite d'équilibre
Crédit : SOHO (ESA & NASA)

La sonde solaire SOHO

Pour observer continûment le Soleil, le point L1 est idéal. Il tourne autour du Soleil avec la Terre, avec le Soleil en permanence d'un côté et la Terre au côté opposé. C'est donc en L1 qu'a été logiquement installée la sonde SOHO, dédiée à l'observation du Soleil.

planckorbit.jpg
Insertion du satellite Planck autour du point de Lagrange L2, et orbite d'équilibre.
Crédit : Planck (ESA)

La sonde Planck

En revanche, s'il s'agit d'observer l'Univers froid, mission du satellite Planck, c'est le point L2 qui est idéal. Il tourne avec la Terre, avec le Soleil et la Terre en permanence opposés à la direction de visée. C'est donc en L2 qu'est installé Planck, et que sera le télescope spatial JWST, successeur de Hubble.


Apprendre

Stabilité dynamique

L'étude de la stabilité dynamique autour de L4 ou L5 relève d'une approche numérique. Cette dernière montre que le rapport des deux masses doit être assez élevé (contraste plus grand que 2/(1-\sqrt{23/27})\simeq 26) pour permettre la stabilité.

C'est la force de Coriolis, qui apparaît dans le référentiel tournant, qui stabilise les objets autour de L4 ou L5. Elle correspond à une accélération :

a _{\mathrm{C}} = -2 \omega \mathbf{u} _{\mathrm{z}} \wedge \mathbf{v}

avec \omega \mathbf{u} _{\mathrm{z}} la vitesse angulaire de rotation, perpendiculaire au plan orbital des deux corps massifs, et \mathbf{v} la vitesse relative dans le référentiel tournant. Ce rôle stabilisateur est très brièvement illustré en exercice.

En L4 et L5

Comme L4 et L5 sont dynamiquement stables, on y trouve de nombreux objets.


S'exercer

exerciceCoriolis et Lagrange

Difficulté : ☆☆   Temps : 45 min

Question 1)

Représenter l'allure du potentiel gravitationnel local autour de L4 dans le référentiel tournant avec les 2 corps, sachant qu'il y présente un maximum.

Question 2)

Montrer que toute composante de vitesse s'éloignant radialement de L4 donne un terme de Coriolis conduisant à un mouvement de rotation autour de L4.

Question 3)

Montrer que toute composante de vitesse orthoradiale autour de L4 conduit à un terme de Coriolis radial. Déterminer le seul sens de rotation possible pour une orbite stable.


Réponses aux QCM

pages_enonce-loi-kepler/enonce-loi-kepler-sexercer.html

QCM

pages_vitesse-orbitale/vitesse-orbitale-sexercer.html

QCM

pages_conique/conique-sexercer.html

QCM

pages_vitesse-radiale-extrasolaire/vitesse-radiale-extrasolaire-sexercer.html

QCM


Réponses aux exercices

pages_lois-kepler/enonce-loi-kepler-sexercer.html

Exercice 'Les lois de Kepler par J. Kepler'


pages_lois-kepler/newton-kepler-sexercer.html

Exercice 'Le vecteur excentricité'


pages_lois-kepler/peser-kepler-sexercer.html

Exercice 'Peser un astéroide'


pages_lois-kepler/peser-kepler-sexercer.html

Exercice 'Peser la Voie Lactée'


pages_lois-kepler/peser-kepler-sevaluer.html

Exercice 'La 3ème loi de Kepler pour une orbite circulaire'


pages_lois-kepler/peser-kepler-sevaluer.html

Exercice 'Comète de Halley'


pages_lois-newton/deux-corps-sexercer.html

Exercice 'La trajectoire de la Lune'


pages_lois-newton/vitesse-orbitale-sexercer.html

Exercice 'Phobos et Deimos'


pages_lois-newton/vitesse-orbitale-sexercer.html

Exercice 'Survol d'un satellite'


pages_lois-newton/vitesse-orbitale-sevaluer.html

Exercice 'Objets de Kuiper'


pages_lois-newton/vitesse-orbitale-sevaluer.html

Exercice 'Rotation dans une galaxie'


pages_lois-newton/vitesse-liberation-sexercer.html

Exercice 'La collision de la comète SL9 sur Jupiter'


pages_lois-newton/trou-noir-sexercer.html

Exercice 'Le centre galactique'


pages_visuelles/intro-binaires-visuelles-sexercer.html

Exercice 'Binaire visuelle'


pages_visuelles/masse-sirius-sexercer.html

Exercice 'Sirius A et Sirius B'


pages_eclipses/orbite-courbe-lumiere-sexercer.html

Exercice 'Système binaire et courbe de lumière'


pages_eclipses/orbite-courbe-lumiere-sevaluer.html

Exercice 'Durée d'une éclipse'


pages_eclipses/binaires-temperatures-sexercer.html

Exercice 'Système binaire et températures'


pages_eclipses/binaires-temperatures-sevaluer.html

Exercice 'AR Lacertae : mesure des paramètres physiques'


pages_spectroscopiques/binaires-masse-sexercer.html

Exercice 'Observabilité'


pages_spectroscopiques/binaires-masse-sexercer.html

Exercice 'Résolution spectrale'


pages_spectroscopiques/binaires-masse-sexercer.html

Exercice 'Inclinaison de l'orbite'


pages_spectroscopiques/binaires-masse-sevaluer.html

Exercice 'L'étoile double AR Lacertae'


pages_exoplanete/vitesse-radiale-extrasolaire-sexercer.html

Exercice 'Le paramètre m sin i'


pages_exoplanete/vitesse-radiale-extrasolaire-sexercer.html

Exercice 'La vélocimétrie Doppler'


pages_exoplanete/limite-vitesse-radiale-sevaluer.html

Exercice 'Limite de détection'


pages_exoplanete/methode-transit-sexercer.html

Exercice 'Transit de HD 209458'


pages_exoplanete/limite-methode-transit-sexercer.html

Exercice 'Limitation de la méthode du transit'


pages_exoplanete/astrometrie-extrasolaire-sexercer.html

Exercice 'Petite révision sur la formation d'image'


pages_exoplanete/astrometrie-extrasolaire-sexercer.html

Exercice 'Astrométrie'


pages_maree-terrestre/lune-maree-sexercer.html

Exercice 'Périodicité des marées'


pages_maree-terrestre/approche-statique-sexercer.html

Exercice 'Marée dans une flaque d'eau'


pages_maree-terrestre/soleil-maree-sexercer.html

Exercice 'L'influence du Soleil sur les marées'


pages_effet-de-maree/force-maree-sevaluer.html

Exercice 'Sphère d'influence'


pages_effet-de-maree/limite-roche-sexercer.html

Exercice 'Limite de Roche'


pages_points-lagrange/stabilite-dynamique-sexercer.html

Exercice 'Coriolis et Lagrange'