Par application de la définition de la masse totale :

M = \int_0^R 4\pi r^2\ \rho {\mathrm{d}} r = 4\pi \beta \ \int_0^R r^{\alpha+2} {\mathrm{d}} r = 4\pi \beta \ \left[ {r^{\alpha+3}\over \alpha+3} \right]_0^R

Si \alpha > -3, alors :

M = {4\pi \beta \over \alpha+3} R^{\alpha+3}

D'où l'expression demandée :

\beta = {\alpha+3 \over 4\pi} {M\over R^{\alpha+3}}