La compression gravitationnelle au centre d'une étoile


Observer

Autogravitation et forme sphérique

Une étoile présente une forme sphérique, pas évidente à voir vu la petitesse du rayon stellaire devant la distance entre elle et le Soleil. Le disque stellaire d'une étoile ne peut être imagé que si cette étoile est une géante du proche voisinage solaire.

Un noyau de comète, tel celui de la comète de Halley, n'est pas assez massif pour être façonné par sa propre gravitation. Sa forme n'est pas sphérique.

Atmosphère de Bételgeuse
betelgeuse.jpg
Atmosphère de l'étoile supergéante rouge Bételgeuse. Cette géante rouge, de diamètre 800 fois celui du Soleil, est suffisamment proche (130 pc) pour que son disque puisse être imagé.
Crédit : HST
Noyau de la comète de Halley
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Noyau de la comète de Halley, vue en 1986 par la sonde européenne Giotto, lors d'un survol à 600 km (mais avec une vitesse relative de 70 km/s=. Ce noyau cométaire n'est pas assez massif pour acquérir une forme sphérique.
Crédit : ESA

Apprendre

objectifsObjectifs

Exprimer sous forme d'une pression (la pression centrale) l'autogravitation d'une étoile.

Autogravitation

On qualifie d'autogravitant un objet soumis à sa propre gravitation et façonné par elle. Le Soleil, la Terre sont des objets autogravitants. Toi, lecteur, tu n'es pas un objet auto-gravitant (tout au plus sujet à un peu d'embonpoint).

Rien n'interdit à un objet autogravitant de graviter autour d'un autre astre, comme la Terre autour du Soleil ou la Lune autour de la Terre. Un objet autogravitant est de forme sphérique si sa rotation propre n'est pas trop importante, ou ovoïde aplatie dans le cas contraire.

Analyse dimensionnelle

L'analyse dimensionnelle fournit un ordre de grandeur de la pression interne à supporter au sein d'objet autogravitant et à symétrie sphérique de masse M et rayon R. Elle vaut :

P _{\mathrm{grav}} \ \propto \ {\cal G} {M^{2} \over R^4}

La démonstration est immédiate, {\cal G} {M^{2} / R^2} étant homogène à une force.

Un ordre de grandeur plus précis nécessite de modéliser l'allure du profil de masse volumique. Si l'on suppose p.ex. que la masse volumique est uniforme, on trouve un facteur de proportionnalité de 3/8\pi; comme vérifié en exercice.

Mais l'hypothèse d'uniformité n'est pas satisfaisante pour un corps de type stellaire, fortement condensé en son centre. On garde l'ordre de grandeur précédent, acceptable comme le montre le tableau suivant, qui compare l'estimation de la pression centrale et la valeur communément admise (précisément mesurée pour le Soleil et la Terre, via l'étude sismique de ces objets).

Compression gravitationnelle
objet M (kg) R (km) P _{\mathrm{grav}} (Pa) Pression réelle (Pa)
Soleil 2\ 10^{30} 7\ 10^5 10^{15} 2.5\ 10^{16}
Jupiter 2\ 10^{27} 7\ 10^4 10^{13} \simeq 10^{13}
Terre 6\ 10^{24} 6\ 10^3 10^{12} 7\ 10^{11}

Équilibre

Comme cette pression rend compte de l'interaction gravitationnelle, attractive, on l'appellera par la suite compression. Il va falloir lui trouver, au sein d'un astre, une contrepartie répulsive pour assurer l'équilibre d'une étoile.


Simuler

Rotation et aplatissement

La rotation de Saturne est suffisamment rapide pour conduire à un aplatissement sensible.

Le mesurer à l'aide de l'appliquette ci-contre, en déterminant le rapport (r _{\mathrm{eqt}}-r _{\mathrm{pol}}) / r _{\mathrm{eqt}}.

Montrer que l'inclinaison sous laquelle on voit la planète, estimée à partir des anneaux, ne perturbe pas significativement la mesure précédente.

Saturne application.png


S'exercer

exerciceCompression gravitationnelle

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 30 min

Le but de l'exercice est d'estimer la constante de proportionnalité de la compression gravitationnelle. Pour dépasser le stade d'une masse volumique uniforme, et rendre compte d'une distribution de masse volumique plus piquée vers le centre, tout en gardant des calculs acceptablement légers, on suppose le modèle suivant : \rho(r) = \beta \ r^\alpha.

On s'intéresse à des exposants légèrement négatifs, conduisant à une singularité au centre, qui ne prête pas à conséquence.

Question 1)

Déterminer la relation entre la masse totale M et le rayon extérieur R. En déduire l'expression du coefficient \beta en fonction de ces grandeurs.

[2 points]

Question 2)

En déduire la masse m(r) et le champ gravitationnel en un point de rayon r. Quelle condition sur l'exposant \alpha garantit que le champ ne diverge pas ?

[2 points]

Question 3)

L'équilibre hydrostatique donne le gradient de pression :

{ {\mathrm{d}} P \over {\mathrm{d}} r} = - \rho g

En déduire la pression centrale.

[2 points]

Question 4)

Discuter de la forme du résultat précédent. Que se passe-t-il pour une distribution uniforme ?

[1 points]

exerciceAinsi fond, fond, fond...

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

Limbe lunaire : la hauteur des plus hauts reliefs reste petite devant le rayon.
limbelunerelief.jpg
Relief sur le limbe lunaire.

Le but de cet exercice est de modéliser la hauteur limite d'une montagne sur une planète de masse M et rayon R, pour en déduire la transition entre un objet sphérique et un autre ressemblant plutôt, comme les noyaux cométaires, à une grosse cacahuète.

On suppose très hardiment la montagne de forme cylindrique, section S et hauteur h, dans le champ gravitationnel uniforme de la planète.

Question 1)

Rappeler l'expression du champ gravitationnel g. Déterminer l'énergie supplémentaire pour rajouter au sommet une masse \Delta m, en fonction de g et h.

[2 points]

Question 2)

En déduire la valeur limite de la hauteur h, pour laquelle la couche rajoutée au sommet va conduire à faire fondre une couche équivalente à la base de la montagne. L'exprimer en fonction de la chaleur latente de fusion des roches L _{\mathrm{f}}. Faire l'application numérique pour la Terre, avec L _{\mathrm{f}} = 250\ \mathrm{kJ} {\,\mathrm{kg}}^{-1}.

[2 points]

Question 3)

Les plus hautes montagnes atteignent 8.8 km sur Terre (l'Everest) et 27 sur Mars (le Mont Olympe). A l'aide des données du calcotron, vérifier si l'estimation précédente est correcte.

[1 points]

Question 4)

En supposant toujours valable le résultat précédent, et en notant \rho la masse volumique uniforme de la planète, en déduire le rayon minimum d'une planète sphérique, défini pour des montagnes de hauteur égale au rayon de la planète. Faire l'application numérique avec une masse volumique crustale (de la croûte terrestre) de 3\ 10^3 {\,\mathrm{kg}} {\,\mathrm{m}}^{-3}.

[2 points]


Réponses aux exercices

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Exercice 'Compression gravitationnelle'


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Exercice 'Ainsi fond, fond, fond...'