Apprendre

Objectifs

Le cas d'une source rigoureusement ponctuelle et monochromatique est souvent évoqué pour aborder l'optique géométrique et physique. Une source ne sera jamais totalement monochromatique, même si son spectre présente des raies d'émission très étroites, ou si par dispersion ou filtrage on sélectionne un très fin domaine spectral. La cohérence temporelle d'une onde rend compte de sa chromaticité.

Une approche rigoureuse passe par le théorème de Wiener-Khintchine.

Prérequis

Interféromètre de Michelson

Cohérence temporelle

Tout phénomène d'interférence avec une source monochromatique conduit à une modulation de l'amplitude résultante fonction de la longueur d'onde du rayonnement.

Pour une source polychromatique, mélanger les couleurs revient donc à mélanger des périodes différentes : la cohérence temporelle du signal est prise en défaut.

Exemple : interférométrie par transformée de Fourier

(Ne pas hésiter à aller voir les pages dédiées au spectromètre par TF).

L'exemple d'un interféromètre par transformée de Fourier (réglé en anneau) présente la problématique : la visibilité des franges décroît d'autant plus rapidement que le domaine spectral accepté est vaste.

Pour une raie monochromatique, l'interférogramme se développe, en fonction de la différence de marche, comme :

$I (\delta)\ \propto\ 1 + \cos 2\pi { \delta\over\lambda}$

Pour une raie réelle, présentant une largeur non infiniment fine, il faut tenir compte de la contribution des différentes composantes spectrales.

$I (\delta)\ =\ \int_{\lambda_0-\Delta\lambda/2}^{\lambda_0+\Delta\lambda/2} I_\lambda(\lambda)\ \left( 1 + \cos 2\pi { \delta\over\lambda} \right)\ {\mathrm{d}}\lambda$

L'intégration, fonction du profil spectral $I_\lambda(\lambda)$ de la raie, conduit à :

$I( \delta) \ = \ I_0\ \left(1 + {\cal V}_{\Delta\lambda} ( \delta) \cos 2\pi { \delta\over \lambda_0} \right)$

L'expression de la fonction de visibilité des franges $\cal V$ dépend de l'intégration du profil spectral $I_\lambda(\lambda)$ , et n'est pas nécessairement simple. La visibilité :

a une extension inversement proportionnelle à $\Delta\lambda$ ; plus l'intervalle spectral est grand, moins les franges de l'interférogramme seront visibles.
décroît avec la différence de marche $\delta$ .

Un exemple de démonstration, dans un cas simplifié, est donné en exercice.

Définition de la cohérence temporelle

Dans le cas général, le degré de cohérence d'une source polychromatique, complexe, s'écrit :

$\gamma (\tau) \ = \ { \displaystyle{\int_{\Delta\lambda} I_\lambda(\lambda)\ \exp 2i\pi {c\tau\over \lambda} \ {\mathrm{d}} \lambda} \over \displaystyle{\int_{\Delta\lambda} I_\lambda(\lambda) \ {\mathrm{d}} \lambda} }$

La démonstration résulte du théorème de Wiener-Khintchine.

La longueur de cohérence $\ell = c \tau$ , qui mesure l'étendue du degré de cohérence, vérifie approximativement :

$\ell \ = \ {\lambda^2 \over \Delta\lambda}$