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Prérequis

Diffraction de Fraunhofer.

Objectifs

(Page à n'aborder qu'en deuxième lecture). Introduire, pour une pupille circulaire, les fonctions de Bessel, qui justifient le facteur $1.22\ \lambda / a$ qui dimensionne la tache de diffraction.

Diffraction par une pupille quelconque

On considère une pupille, modélisée par une ouverture plane centrée en , et l'on note un point de la pupille. Cette pupille est éclairée par une onde plane uniforme, monochromatique, en incidence normale. L'amplitude de l'onde diffractée dans une direction repérée par le vecteur directeur $\mathbf{u}$ s'écrit :

$A \ =\ {4\over \pi a^2}\ \int\!\!\int _{\mathrm{pupille}} A(M)\ \exp\left( i{2\pi\over\lambda} {\mathbf{OM}}.{ \mathbf{u}}\right) \ {\mathrm{d}}{M}$

Pupille circulaire

La pupille étant circulaire, de rayon a/2 , il est préférable de décrire les coordonnées du point et de la direction de diffraction $\mathbf{u}$ en coordonnées polaires, avec les notations suivantes :

$\begin{eqnarray*} \mathbf{u} =& \sin\theta \cos\varphi \ \mathbf{i} + \sin\theta \sin\varphi \ \mathbf{j} + \cos\theta\ \mathbf{k} \\ \mathbf{OM} =& r\cos\psi\ \mathbf{i} + r\sin\psi \ \mathbf{j} \\ {\mathrm{d}} M =& r {\mathrm{d}} r {\mathrm{d}} \psi \end{eqnarray*}$

( $\mathbf{k}$ est le vecteur normal au plan de la pupille). L'amplitude de l'onde diffractée dans la direction $\mathbf{u}$ faisant un angle $\theta$ avec l'axe optique s'écrit alors, en supposant l'amplitude incidente uniforme :

$A \ =\ A_0 \ \int_0^{a/2} r {\mathrm{d}} r \int_0^{2\pi} \exp\left( i{2\pi\over\lambda} r \sin\theta \cos (\varphi-\psi)\right)\ {\mathrm{d}}\psi$

On introduit les fonctions de Bessel, dont les 2 premiers termes sont, par définition :

$\begin{eqnarray*} J_0 (X) =& \displaystyle{{1\over 2\pi} \int_0^{2\pi} \exp \bigl[-iX \cos v \bigr]\ {\mathrm{d}} v}\\ J_1 (X) =& \displaystyle{{1\over X}\ \int_0^{X} u J_0 (u)\ {\mathrm{d}} u}\\ \end{eqnarray*}$

L'amplitude diffractée dans une direction faisant un petit angle $\theta$ par rapport à l'axe optique, devient :

$A (X) \ = \ 2 A_0 \ {J_1 (X) \over X} \ \ \mathrm{ avec } \ \ X \ = \ {\pi a \sin\theta \over \lambda} \ \simeq\ {\pi a \theta \over \lambda}$

Démonstration

Les calculs passent par les changements de variables

$\begin{eqnarray*} v =& \varphi-\psi \ ; \ {\mathrm{d}} v = - {\mathrm{d}} \psi\\ u =& 2\pi\sin\theta r / \lambda \ ; \ {\mathrm{d}} u = 2\pi\sin\theta / \lambda\ {\mathrm{d}} r \\ \end{eqnarray*}$

L'intensité diffractée dans la direction $\theta$ s'écrit donc :

$I(\theta) \ \propto \ \left({J_1 \left(\displaystyle{\pi a \theta\over \lambda}\right) \over \displaystyle{\pi a \theta\over \lambda}} \right)^2$

Zéros, anneaux et largeur à mi-hauteur

Pour voisin de 0, $J_1(X)\sim X/2$ . Par ailleurs, le premier zéro de la fonction J_1 (X) est pour $X \simeq 3.832 = 1.22 \times \pi$ . La largeur à mi-hauteur du pic central de diffraction, supposée égale à la demi-largeur entre les 2 zéros de part et d'autre du pic central, s'écrit en fonction du diamètre de la pupille et de la longueur d'onde $\lambda$ :

$1.22 \ {\lambda \over a}$

La figure de diffraction s'annule ensuite pour les rayons 2.23, 3.23, 4.24, 5.24.... en unité $\lambda /a$ . Les anneaux lumineux ont comme rayon, dans la même unité : 1.63, 2.68, 3.70, 4.71, 5.71...