Compléments d'optique : Page pour l'impression

Cette section propose des développements plus ardus, au-delà d'un programme de niveau L2 ou L3, mais bien utiles, concernant divers points d'optique.

La notion d'étendue de faisceau permet, sans décrire complètement un faisceau, de connaître rapidement certaines propriétés spatiales.
La diffraction par une pupille circulaire est établie en bonne et due forme.
Une introduction à l'optique de Fourier est proposée.
Les notions de cohérence temporelle et cohérence spatiale sont exposées.
...

Ça se complique.

Crédit : ASM

Aberration de sphéricité

Programme de tracé de rayons. Les rayons les plus éloignés de l'axe de révolution d'un miroir sphérique convergent plus près du miroir que les rayons paraxiaux. Des couleurs différentes sont utilisées uniquement pour permettent de distinguer les rayons entre eux.

Crédit : ASM

Aberration sphérique

Un miroir sphérique est beaucoup plus simple à tailler qu'un miroir parabolique. Mais il ne rend pas les mêmes services, car il concentre la lumière imparfaitement ; plus le rayon est éloigné de l'axe optique, plus il va converger en avant du foyer. On parle d'aberration de sphéricité.

Contrairement au miroir sphérique, le miroir parabolique concentre parfaitement tous les rayons provenant d'un objet sur l'axe à l'infini.

Crédit : ASM

Même pour un miroir parabolique, l'image d'un objet à l'infini hors axe n'est pas parfaitement ponctuelle. L'effet est analogue à l'aberration de sphéricité présentée par un miroir sphérique.

Crédit : ASM

Aberration de coma

Diagramme de tracé de rayon montrant l'allure de la coma : l'image d'un point devient une petite tache allongée. comme une aigrette.

Crédit : ASM

Coma

Un miroir parabolique est exempt de cette aberration de sphéricité, mais uniquement pour un objet centré sur l'axe et non hors axe . On parle dans ce cas d'aberration de coma, qui rend donc compte de l'aberration de sphéricité hors axe.

Prérequis

Notion de stigmatisme.

Objectifs

Brièvement décrire les aberrations géométriques

Stigmatisme

La définition de la justesse de la formation d'image s'appelle le stigmatisme. Le stigmatisme idéal est atteint lorsque tous les rayons issus d'un point de l'objet convergent en un seul point de l'image.

Cette situation idéale n'est pas opérationnelle : il faut en pratique définir les conditions dans lesquelles la convergence est suffisante (p.ex. avec une précision dans le plan focal meilleure que la taille d'un pixel). Ces conditions sont d'autant mieux réalisées que l'on est proche de l'axe optique du système.

Aberration de coma

L'aberration de coma affecte tout rayon hors axe.

Crédit : ASM

Distorsion

La distorsion transforme une grille rectangulaire en une grille en forme de barillet ou de coussinet.

Crédit : ASM

Aberrations primaires

Les aberrations primaires correspondent à la décomposition des aberrations dans le champ image. Elles proviennent des écarts au stigmatisme lié d'une part aux rayons inclinés sur l'axe optique, d'autre part aux rayons ayant traversé le système optique loin de l'axe optique.

Les aberrations dépendent alors de 2 variables : la distance angulaire $\theta$ entre un point de l'objet et le point de l'objet centré sur l'axe optique ; la distance , sur la pupille d'entrée entre les traces du rayon et de l'axe optique sur la pupille d'entrée.

L'aberration sphérique ne dépend que de la distance . Elle est d'autant plus grande que l'ouverture de l'optique est grande.
La coma ne dépend que de $\theta$ , indépendamment de la taille de l'optique. La coma peut s'observer pour tout objet hors de l'axe optique.
L'astigmatisme et la courbure de champ dépendent du nombre d'ouverture et de la distance angulaire $\theta$ .
La distorsion déforme l'image sans défaut de netteté. Elle transforme une grille rectangulaire en une grille en forme de barillet ou de coussinet.

Aberration chromatique

L'aberration chromatique apparaît pour une lentille simple, dont la focale dépend de la couleur.

Crédit : ASM

Aberrations chromatiques

L'aberration chromatique apparaît pour une lentille simple : comme l'indice du matériau varie avec la longueur d'onde, la focale varie également. En règle générale, l'indice bleu, plus élevé donne une distance focale bleue plus courte.

Cette aberration est corrigée par l'utilisation de systèmes de lentilles (doublet, triplet...), avec des verres d'indices différents pour obtenir une focale équivalent quasiment identique pour toutes les longueurs d'onde considérées.

Les miroirs présentent l'avantage de ne pas induire d'aberrations chromatiques (la lumière ne traverse pas le miroir). Leur coefficient de réflexion, qui dépend intimement du traitement de surface, est néanmoins chromatique.

Comparaison de diverses aberrations

Aberrations

Les différents défauts géométriques cohabitent joyeusement, et les distinguer n'est pas toujours facile, comme le montre le diaporama ci-joint.

Prérequis

Notion d'angle solide.

Objectifs

Définir l'étendue de faisceau ; mais surtout montrer la conservation de l'étendue de faisceau.

Le montage afocal transforme un faisceau de diamètre

en un faisceau de diamètre

, avec un grossissement angulaire $\beta / \alpha = a /b = F/f$ .

Crédit : ASM

Exemple : montage afocal

Un montage afocal transforme un faisceau plan en un autre faisceau plan. Les rapports des diamètres des faisceaux et des inclinaisons en entrée et sortie sont intimement liés au grossissement.

${\beta \over \alpha} = G \ \mathrm{ \ et } \ {b \over a} \ = \ G^{-1} \ \Longrightarrow \ a\alpha\ =\ b\beta$

Le produit est un invariant, ce qui relate une relation physique plus générale : la conservation de l'énergie du faisceau.

Conservation de l'étendue de faisceau, de l'élément émetteur ${\mathrm{d}} S$ à l'aire collectrice ${\mathrm{d}} S'$ .

Crédit : ASM

Faisceau, étendue de faisceau et conservation de l'énergie

La puissance (ou luminosité ) transportée par un faisceau lumineux, émise par l'élément de surface S et reçue par S' se conserve (sorte de tautologie, le faisceau étant défini par l'ensemble des rayons lumineux, càd la totalité de la puissance lumineuse). Cette puissance est proportionnelle à la luminance $\ell$ , à l'élément de surface émetteur et à l'élément d'angle solide d'émission.

Un jeu d'écriture sur les grandeurs photométriques, avec les données de la figure, conduit à exprimer la conservation de la puissance lumineuse comme la conservation de l'étendue géométrique de faisceau. On définit cette étendue de faisceau, pour un faisceau traversant sans être collimaté (= sans perte d'énergie) un élément optique de section , occupant un angle solide $\Omega$ , dans un milieu d'indice unité (comme le vide ou comme l'air à peu de chose près), par le produit $S \ \Omega$ , qui se conserve le long du faisceau.

Pour les systèmes stigmatiques (càd, très grossièrement, donnant des images avec des aberrations limitées), la conservation de l'énergie se traduit par la conservation de l'étendue de faisceau :

$S \ \Omega \ = \ \mathrm{cste}$

Démonstration

Le passage de la luminance $\ell$ à la puissance lumineuse nécessite de s'appuyer sur le produit d'un élément de surface émetteur ${\mathrm{d}} S$ et d'un angle solide d'émission ${\mathrm{d}} \Omega$ . La luminosité élémentaire s'écrit :

${\mathrm{d}}^2 L\ = \ \ell\ {\cos\theta {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \Omega }$

L'angle solide 'regarde' une surface réceptrice ${\mathrm{d}} S'$ à la distance telle que :

${\mathrm{d}}\Omega = {\cos\theta' {\mathrm{d}} S'\over r^2}$

La luminosité élémentaire se réécrit donc :

${\mathrm{d}}^2 L\ = \ \ell\ {\cos\theta {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \Omega } \ =\ \ell \ {\cos\theta {\mathrm{d}} S\ \cos\theta' {\mathrm{d}} S'\over r^2} \ = \ \ell\ {\cos\theta' {\mathrm{d}} S' {\mathrm{d}} \Omega' }$

Avec ${\mathrm{d}}\Omega' = {\cos\theta {\mathrm{d}} S/ r^2}$ l'angle solide sous lequel est vue la source depuis la surface réceptrice. On remarque que le rôle des éléments émetteur et récepteur est symétrique. Le produit $\cos\theta {\mathrm{d}} S\ \cos\theta' {\mathrm{d}} S'/ r^2$ introduit l'étendue géométrique élémentaire.

L'intégration sur le faisceau entier au travers d'une pupille, menée dans l'espace objet ou depuis l'espace image, garde la symétrie du produit surface $\times$ angle solide $S\ \Omega$ .

Faisceau divergeant d'une source quasi ponctuelle, collimaté : son énergie est localisée dans un cône.

Crédit : ASM

Faisceau conique peu ouvert

Un faisceau conique d'ouverture totale $\alpha$ couvre un angle solide :

$\Omega \ = \ 2\pi\ \left(1-\cos{\alpha\over2}\right)$

Si l'angle $\alpha$ est petit, cet angle solide se réécrit simplement :

$\Omega \ \simeq \ \pi\ \left( {\alpha\over2}\right)^2$

Au travers d'une optique de diamètre , la conservation du produit $S\ \Omega$ devient, pour ce faisceau conique :

$a^2\ \alpha^2 \ = \ \mathrm{cste}$

On retrouve donc le résultat obtenu dans le cadre du montage afocal.

Quelques conséquences

Comme conséquences importantes, on note que :

Plus le faisceau collecté passe par un diamètre fin, plus il est divergent.
Plus l'aire du collecteur est grande, plus l'étendue de faisceau est grande, plus les instruments doivent également être de grande taille pour offrir un grand diamètre au faisceau mis en forme.
La surface du détecteur et l'angle solide qu'il peut voir (de l'ordre de l'angle d'ouverture du télescope) limitent nécessairement la taille angulaire du champ objet.

Etendue de faisceau cohérente

Un faisceau monochromatique est cohérent sur une étendue égale à $\lambda^2$ . La justification est donnée en exercice.

Imagerie grand champ

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le but d'une caméra est de réaliser un programme de cartographie, par imagerie grand champ. Les caractéristiques du détecteur sont fixées (taille du capteur CCD et caractéristiques de son optique), que l'on traduit par le produit $S _{\mathrm{cam}}\Omega _{\mathrm{cam}}$ . Le but de l'exercice est de déterminer quel collecteur optimal utiliser pour réaliser ce programme.

Question 1)

Comment varie la taille angulaire du champ objet en fonction de la surface du collecteur ?

Question 2)

Le temps de pose est fixé par le rapport signal à bruit des observations, qui dépend essentiellement du nombre de photons collectés. Comment le temps de pose varie-t-il avec la surface du collecteur ?

Question 3)

Y'a-t-il un intérêt particulier à utiliser un grand collecteur pour réaliser cette cartographie ? Quel usage peut-on conseiller à un télescope de la classe 4-m qui doit motiver son existence par rapport aux télescopes de nouvelle génération plus grands ?

Sur les 2 tableaux

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Le montage optique réel de CoRoT. Les 2 miroirs paraboliques hors-axe sont notés Primary mirror et M2. Lens correspond à l'optique de chambre ; Focal box aux détecteurs CCD.

Crédit : CNES

CoRoT est un satellite du CNES lancé en décembre 2006, qui poursuit 2 objectifs scientifiques : la recherche d'exoplanètes par la méthode des transits d'une part, l'étude sismique de quelques étoiles de type solaire d'autre part. Ces 2 objectifs s'appuient sur la capacité de CoRoT à mener des observations de photométrie très précises. Le montage optique retenu consiste en l'association de 2 miroirs paraboliques confocaux (confocal $\equiv$ même foyer) hors axe, suivis par une optique de chambre conjuguant le faisceau issu des 2 paraboles avec le détecteur CCD. En pratique, pour les respecter les specifications de la formation d'image, cette optique de chambre est constituée de 6 lentilles.

Question 1)

Faire à l'échelle un schéma de principe le plus simple possible du système équivalent à l'ensemble miroirs + optique de chambre avec 3 lentilles équivalentes pour respectivement les 2 miroirs et l'optique de chambre.

Question 2)

Le diamètre du premier miroir vaut 30 cm ; les focales des miroirs primaire et secondaire sont dans un rapport de 3 à 1. Que peut-on en déduire concernant les lentilles de l'optique de chambre ? En quoi consiste l'un des intérêts de ce montage ?

Question 3)

Reprendre le schéma de principe, en respectant l'ouverture du faisceau à f/4 vu par la caméra, Calculer la focale équivalente et la focale de l'optique de chambre.

Question 4)

La question précédente met en évidence un gain sur l'optique de chambre. Mettre en évidence la contrainte associée, qui dérive de la conservation de l'étendue de faisceau. Conclure.

Étendue cohérente

Difficulté : ☆☆ Temps : 10 min

Un collecteur de diamètre délivre une tache de diffraction d'ouverture (définie comme largeur à mi-hauteur) $1.22\ \lambda /a$ . On cherche à en déduire l'étendue de faisceau cohérente.

Question 1)

Justifier que l'étendue cohérente correspond au pic central de la diffraction.

Question 2)

Déterminer l'étendue de faisceau cohérente. Montrer qu'elle est très voisine de $\lambda^2$ .

D'un collecteur de 8 m à une fibre

Difficulté : ☆ Temps : 5 min

Un instrument du VLT (collecteur de diamètre $a=8\ \mathrm{m})$ est alimenté par un faisceau de fibres de diamètre $80\ \mu\mathrm{m}$ .

Question 1)

L'alimentation optimale de la fibre se fait à f/2.5 . En déduire l'ouverture angulaire du faisceau en entrée de fibre.

[1 points]

Question 2)

Que vaut le champ objet admissible sur le ciel ? L'exprimer en seconde d'angle.

[1 points]

Observation au foyer et étendue de faisceau

Difficulté : ☆☆ Temps : 15 min

On se propose de retrouver par l'application de la conservation de l'étendue de faisceau l'expression de la taille linéaire de l'image d'un objet à l'infini de diamètre angulaire $\alpha$ par un collecteur de diamètre et de focale . On considère le seul cas où l'angle $\alpha$ est petit. On note ladite taille linéaire.

Question 1)

Exprimer le produit $S\ \Omega$ côté source, en fonction des données.

[1 points]

Question 2)

Rappeler l'expression de l'ouverture angulaire du collecteur, et exprimer le produit $S'\ \Omega'$ côté détecteur.

[2 points]

Question 3)

Exprimer la conservation de l'étendue de faisceau. Retrouve-t-on le résultat attendu ? L'objet ayant une taille angulaire $\alpha$ , quelle est la taille linéaire de son image.

[2 points]

Illustration du phénomène de vignetage. Une partie du faisceau inclinés (en orange) est bloquée, alors que la totalité du faisceau d'incidence nulle (en bleu) est transmise : l'image sera moins lumineuse au bord.

Crédit : ASM

Champ vigneté : les sources les plus éloignées se retrouvent éteintes.

Crédit : ASM

Le vignetage

Le vignetage apparaît lorsque qu'un diaphragme coupe indûment le faisceau optique. Les bords de l'image ne sont alors plus suffisamment éclairés.

Prérequis

Optique géométrique ; tracé de rayons.

Objectifs

Bien accepter ou bien stopper les photons (sans trop rentrer dans les détails).

Champ et diaphragme

Le champ d'un instrument d'optique est la partie de l'espace dont cet instrument fournit une image acceptable.

Un diaphragme, c'est par définition ce qui limite un faisceau. En pratique, les montures des pièces optiques, la taille d'un détecteur sont des diaphragmes. La suite précise cette notion.

Diaphragme de champ

Un diaphragme de champ limite la taille angulaire du faisceau. Il est dimensionné pour assurer :

Un champ aux dimensions voulues.
Une bonne qualité optique dans le champ.
Un éclairement uniforme.

Le détecteur, de taille finie, peut jouer le rôle de diaphragme de champ.

Diaphragme d'ouverture

Dans un système optique centré, le diaphragme d'ouverture est le diaphragme matériel qui limite l'ouverture d'un faisceau centré. C'est donc le diaphragme vu de puis l'objet sous le plus petit angle ; c'est souvent la monture de la première lentille.

Un diaphragme d'ouverture limite l'éclairement. Il est essentiellement dimensionné pour assurer le niveau d'éclairement voulu. Il joue sur l'extension linéaire du faisceau : un grand diaphragme nécessite des pièces optiques de grande taille... dont la qualité doit suivre.

Pupilles

La pupille d'entrée d'un instrument est l'image géométrique du diaphragme d'ouverture par les lentilles placées en avant ce diaphragme.

La pupille de sortie est l'image géométrique de la pupille d'entrée. C'est aussi l'image géométrique du diaphragme d'ouverture par les lentilles placées après ce diaphragme.

Diaphragme de champ

Relation entre la taille du détecteur, faisant office de diaphragme de champ, et le champ accessible.

Crédit : ASM

Diaphragme de champ

Un diaphragme de champ limite l'ouverture angulaire du faisceau. Dans l'animation proposée, c'est la taille du détecteur qui limite le champ accessible : le détecteur joue le rôle de diaphragme de champ.

Diaphragme d'ouverture

Relation entre le diaphragme d'ouverture et l'éclairement au foyer.

Crédit : ASM

Diaphragme d'ouverture

Un diaphragme d'ouverture limite l'éclairement. Dans l'animation proposée, le diaphragme d'ouverture limite l'éclairement au foyer.

Diaphragme d'ouverture

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

On propose d'utiliser un montage afocal, avec les lentilles L1 et L2 de caractéristiques respectives (focales et diamètres) : $f_1 = 100 {\,\mathrm{mm}},\ d_1 = 40 {\,\mathrm{mm}}$ ; $f_2 = 50 {\,\mathrm{mm}},\ d_2 = 16.6 {\,\mathrm{mm}}$ .

Question 1)

Sous quelle ouverture sont vues les lentilles depuis leur foyer commun ?

[1 points]

Question 2)

En déduire la lentille qui joue le rôle de diaphragme d'ouverture.

[1 points]

Pupille d'entrée de CoRoT

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Schéma optique de CoRoT.

Crédit : ASM

La figure représente le montage optique du collecteur du satellite CoRoT. Il comporte un baffle de grande taille dont le rôle est de protéger le signal de toute perturbation extérieure, pour une étude photométrique extrêmement précise. Le montage collecteur (miroirs M1 et M2) est hors-axe, afin d'éviter toutes les réflexions parasites qu'apporterait le miroir secondaire M2 avec sa structure dans le cas d'un montage axial.

Question 1)

D'après le schéma optique, à quelle configuration correspond l'ensemble des miroirs collecteurs M1 et M2 ? Quelles sont les propriétés du faisceau après passage par M2, en terme de diamètre, ouverture et étendue de faisceau comparées aux mêmes valeurs en amont de M1 ?

[2 points]

Question 2)

Le diaphragme est positionné en aval de M2, à une distance du miroir égale à la focale de M2. En déduire la position de la pupille d'entrée . Faire un schéma justifiant la réponse.

[2 points]

Question 3)

Que peut-on dire d'un photon qui passe par la pupille d'entrée ?

[1 points]

Question 4)

En fonction de ce qui précède, reformuler le rôle du baffle de protection.

[1 points]

Les 2 premières fonctions de Bessel, J_0

et

.

Crédit : ASM

Fonctions de Bessel

La figure de diffraction d'une pupille circulaire introduit les fonctions de Bessel.

Coupe de la figure de diffraction, en représentation logarithmique et unité $\lambda / a$ . Le premier zéro est à l'abscisse 1.22.

Crédit : ASM

Diffraction

L'intensité diffractée par une pupille circulaire est donnée par J_1(X) / X , avec $X=\pi a \theta / \lambda$ , avec le diamètre de la pupille, $\lambda$ la longueur d'onde et $\theta$ la direction d'observation.

Prérequis

Diffraction de Fraunhofer.

Objectifs

(Page à n'aborder qu'en deuxième lecture). Introduire, pour une pupille circulaire, les fonctions de Bessel, qui justifient le facteur $1.22\ \lambda / a$ qui dimensionne la tache de diffraction.

Diffraction par une pupille quelconque

On considère une pupille, modélisée par une ouverture plane centrée en , et l'on note un point de la pupille. Cette pupille est éclairée par une onde plane uniforme, monochromatique, en incidence normale. L'amplitude de l'onde diffractée dans une direction repérée par le vecteur directeur $\mathbf{u}$ s'écrit :

$A \ =\ {4\over \pi a^2}\ \int\!\!\int _{\mathrm{pupille}} A(M)\ \exp\left( i{2\pi\over\lambda} {\mathbf{OM}}.{ \mathbf{u}}\right) \ {\mathrm{d}}{M}$

est un point courant de la pupille, de coordonnées polaires $(r, \psi)$ , et $\mathbf{u}$ porte la direction pour laquelle on recherche l'amplitude de l'onde diffractée.

Crédit : ASM

Pupille circulaire

La pupille étant circulaire, de rayon a/2 , il est préférable de décrire les coordonnées du point et de la direction de diffraction $\mathbf{u}$ en coordonnées polaires, avec les notations suivantes :

$\begin{eqnarray*} \mathbf{u} =& \sin\theta \cos\varphi \ \mathbf{i} + \sin\theta \sin\varphi \ \mathbf{j} + \cos\theta\ \mathbf{k} \\ \mathbf{OM} =& r\cos\psi\ \mathbf{i} + r\sin\psi \ \mathbf{j} \\ {\mathrm{d}} M =& r {\mathrm{d}} r {\mathrm{d}} \psi \end{eqnarray*}$

( $\mathbf{k}$ est le vecteur normal au plan de la pupille). L'amplitude de l'onde diffractée dans la direction $\mathbf{u}$ faisant un angle $\theta$ avec l'axe optique s'écrit alors, en supposant l'amplitude incidente uniforme :

$A \ =\ A_0 \ \int_0^{a/2} r {\mathrm{d}} r \int_0^{2\pi} \exp\left( i{2\pi\over\lambda} r \sin\theta \cos (\varphi-\psi)\right)\ {\mathrm{d}}\psi$

On introduit les fonctions de Bessel, dont les 2 premiers termes sont, par définition :

$\begin{eqnarray*} J_0 (X) =& \displaystyle{{1\over 2\pi} \int_0^{2\pi} \exp \bigl[-iX \cos v \bigr]\ {\mathrm{d}} v}\\ J_1 (X) =& \displaystyle{{1\over X}\ \int_0^{X} u J_0 (u)\ {\mathrm{d}} u}\\ \end{eqnarray*}$

L'amplitude diffractée dans une direction faisant un petit angle $\theta$ par rapport à l'axe optique, devient :

$A (X) \ = \ 2 A_0 \ {J_1 (X) \over X} \ \ \mathrm{ avec } \ \ X \ = \ {\pi a \sin\theta \over \lambda} \ \simeq\ {\pi a \theta \over \lambda}$

Démonstration

Les calculs passent par les changements de variables

$\begin{eqnarray*} v =& \varphi-\psi \ ; \ {\mathrm{d}} v = - {\mathrm{d}} \psi\\ u =& 2\pi\sin\theta r / \lambda \ ; \ {\mathrm{d}} u = 2\pi\sin\theta / \lambda\ {\mathrm{d}} r \\ \end{eqnarray*}$

L'intensité diffractée dans la direction $\theta$ s'écrit donc :

$I(\theta) \ \propto \ \left({J_1 \left(\displaystyle{\pi a \theta\over \lambda}\right) \over \displaystyle{\pi a \theta\over \lambda}} \right)^2$

Zéros, anneaux et largeur à mi-hauteur

Pour voisin de 0, $J_1(X)\sim X/2$ . Par ailleurs, le premier zéro de la fonction J_1 (X) est pour $X \simeq 3.832 = 1.22 \times \pi$ . La largeur à mi-hauteur du pic central de diffraction, supposée égale à la demi-largeur entre les 2 zéros de part et d'autre du pic central, s'écrit en fonction du diamètre de la pupille et de la longueur d'onde $\lambda$ :

$1.22 \ {\lambda \over a}$

La figure de diffraction s'annule ensuite pour les rayons 2.23, 3.23, 4.24, 5.24.... en unité $\lambda /a$ . Les anneaux lumineux ont comme rayon, dans la même unité : 1.63, 2.68, 3.70, 4.71, 5.71...

$diffractf.png$

Pupille d'entrée et sa transformée de Fourier.

Crédit : ASM

La TF de la pupille

La figure de diffraction d'une pupille, quelle qu'elle soit, est identique à sa transformée de Fourier.

Prérequis

Cours sur la diffraction de Fraunhofer.

Objectifs

(Page à n'aborder qu'en 2eme lecture.) Mettre en regard le formalisme décrivant la diffraction à l'infini par une pupille et le formalisme de la transformation de Fourier.

Diffraction et transformée de Fourier

En repérant un point de la pupille par la variable $\mathbf{r}$ , la fonction $A( \mathbf{r})$ caractérisant l'éclairement sur la pupille, l'amplitude diffractée dans une direction angulaire de vecteur directeur $\mathbf{u}$ s'écrit :

$\begin{eqnarray*} A ( \mathbf{u})\ &=&\ \int\!\!\!\int_{\mathrm{ pupille }} A( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right] \ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}\\ &=& \ \int\!\!\!\int {\cal P}( \mathbf{r})\ I( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right]\ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}\\ \end{eqnarray*}$

Avec le terme $1/\lambda^2$ introduit pour normaliser l'élément de surface ${\mathrm{d}} \mathbf{r}$ , et ${\cal P} ( \mathbf{r})$ la pupille d'entrée, qui limite la fraction de l'onde plane émise par la source à l'infini. Pour un éclairement uniforme en incidence normale, ${\cal P} ( \mathbf{r})$ est typiquement une fonction porte à 2 dimensions.

Par ailleurs, le formalisme de la transformation de Fourier s'écrit :

$\tilde f ( \mathbf{u}) \ =\ \int\!\!\!\int f( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u} . \mathbf{r} \right] \ \ {\mathrm{d}} \mathbf{r}$

On se doute que l'air de ressemblance entre ces 2 dernières égalités vaut plus qu'un simple hasard.

La TF de la pupille

Si l'on peut supposer l'éclairement uniforme, l'amplitude diffractée dans une direction $\mathbf{u}$ est donnée par la transformée de Fourier de la fonction de pupille $\cal P$ , la variable de position étant normalisée en unité de longueur d'onde :

$A ( \mathbf{u})\ =\ A_0 \ \int\!\!\!\int {\cal P}( \mathbf{r})\ \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right]\ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}$

Les variables conjuguées sont la direction angulaire, repérée par le vecteur $\mathbf{u}$ , et $\mathbf{r} / \lambda$ la variable spatiale décrivant la pupille rapportée à la longueur d'onde.

Diffraction et filtrage

On peut utiliser les propriétés de la TF pour réécrire les caractéristiques de la diffraction. Une pupille de taille caractéristique filtre les hautes fréquences, càd l'information angulaire plus fine typiquement que $\lambda / a$ .

Plus la pupille est grande, moins elle filtre angulairement.

$diffracouvanim.gif$

Pupille d'entrée et sa tache d'Airy : module carré de sa transformée de Fourier.

Crédit : ASM

La TF de la pupille

La tache image due à la seule diffraction dépend du diamètre du télescope. Plus ce dernier est grand, plus la tache d'Airy est piquée.

Portion de la partie modulée d'un interférogramme. Le contraste des franges s'écroule dès lors que l'on s'éloigne de la différence de marche nulle.

Crédit : ASM

Interférogramme

Un interféromètre de Michelson permet de tracer l'interférogramme d'une source, càd la figure d'interférence obtenue après déphasage de l'une des 2 voies de l'interféromètre d'une différence de marche $\delta$ . L'interférogramme du spectre d'une source réelle, délimitée par un intervalle spectral fini, illustre le phénomène de cohérence temporelle : le signal d'interférence chute dès lors que la différence de marche devient grande.

Evolution de la longueur de cohérence temporelle en fonction de la largeur spectrale. Plus l'intervalle spectral accepté est large, plus vite le signal est moyenné dès lors que la différence de marche s'éloigne de la valeur nulle.

Crédit : ASM

Cohérence temporelle et intervalle spectral

La cohérence temporelle décroît d'autant plus rapidement que le spectre de la source présente une gamme de longueurs d'onde importante.

Objectifs

Le cas d'une source rigoureusement ponctuelle et monochromatique est souvent évoqué pour aborder l'optique géométrique et physique. Une source ne sera jamais totalement monochromatique, même si son spectre présente des raies d'émission très étroites, ou si par dispersion ou filtrage on sélectionne un très fin domaine spectral. La cohérence temporelle d'une onde rend compte de sa chromaticité.

Une approche rigoureuse passe par le théorème de Wiener-Khintchine.

Prérequis

Interféromètre de Michelson

Cohérence temporelle

Tout phénomène d'interférence avec une source monochromatique conduit à une modulation de l'amplitude résultante fonction de la longueur d'onde du rayonnement.

Pour une source polychromatique, mélanger les couleurs revient donc à mélanger des périodes différentes : la cohérence temporelle du signal est prise en défaut.

Interféromètre de Michelson : les 2 faisceaux, après recombinaison, sont décalés d'une différence de marche $\delta$ .

Crédit : ASM

Exemple : interférométrie par transformée de Fourier

(Ne pas hésiter à aller voir les pages dédiées au spectromètre par TF).

L'exemple d'un interféromètre par transformée de Fourier (réglé en anneau) présente la problématique : la visibilité des franges décroît d'autant plus rapidement que le domaine spectral accepté est vaste.

Pour une raie monochromatique, l'interférogramme se développe, en fonction de la différence de marche, comme :

$I (\delta)\ \propto\ 1 + \cos 2\pi { \delta\over\lambda}$

Pour une raie réelle, présentant une largeur non infiniment fine, il faut tenir compte de la contribution des différentes composantes spectrales.

$I (\delta)\ =\ \int_{\lambda_0-\Delta\lambda/2}^{\lambda_0+\Delta\lambda/2} I_\lambda(\lambda)\ \left( 1 + \cos 2\pi { \delta\over\lambda} \right)\ {\mathrm{d}}\lambda$

L'intégration, fonction du profil spectral $I_\lambda(\lambda)$ de la raie, conduit à :

$I( \delta) \ = \ I_0\ \left(1 + {\cal V}_{\Delta\lambda} ( \delta) \cos 2\pi { \delta\over \lambda_0} \right)$

Profils de raie et visibilités associées.

Crédit : ASM

L'expression de la fonction de visibilité des franges $\cal V$ dépend de l'intégration du profil spectral $I_\lambda(\lambda)$ , et n'est pas nécessairement simple. La visibilité :

a une extension inversement proportionnelle à $\Delta\lambda$ ; plus l'intervalle spectral est grand, moins les franges de l'interférogramme seront visibles.
décroît avec la différence de marche $\delta$ .

Un exemple de démonstration, dans un cas simplifié, est donné en exercice.

Définition de la cohérence temporelle

Dans le cas général, le degré de cohérence d'une source polychromatique, complexe, s'écrit :

$\gamma (\tau) \ = \ { \displaystyle{\int_{\Delta\lambda} I_\lambda(\lambda)\ \exp 2i\pi {c\tau\over \lambda} \ {\mathrm{d}} \lambda} \over \displaystyle{\int_{\Delta\lambda} I_\lambda(\lambda) \ {\mathrm{d}} \lambda} }$

La démonstration résulte du théorème de Wiener-Khintchine.

La longueur de cohérence $\ell = c \tau$ , qui mesure l'étendue du degré de cohérence, vérifie approximativement :

$\ell \ = \ {\lambda^2 \over \Delta\lambda}$

Evolution de la longueur de cohérence temporelle en fonction de la largeur spectrale.

Crédit : ASM

Visibilité fonction de l'intervalle spectral

La visibilité des franges d'interférences dépend de la largeur de l'intervalle spectral considéré. La superposition de franges de couleurs différentes, donc de périodes différentes, conduit à un signal d'interférence en moyenne nulle.

Enregistrement de franges d'interférence. La cohérence spatiale est limitée par la taille angulaire de la source.

Crédit : ESO

Mesure de visibilité

Un interféromètre enregistre des franges d'interférence, pour en déterminer la visibilité. Celle-ci décroît rapidement dès que l'interférogramme s'écarte de la différence de marche correspondant au déphasage nul entre les 2 signaux.

Cohérence spatiale : la superposition des différentes contributions déphasées amoindrit la visibilité des franges.

Crédit : ASM

Source étendue

La cohérence spatiale entre 2 points d'un écran dépend de l'étendue angulaire de la source.

Tache de diffraction récupérée par optique adaptative (NACO/VLT) en bande K.

Crédit : ESO

Source ponctuelle

L'image d'une source ponctuelle n'est pas un point : c'est la diffraction qui le veut... c'est un cas particulier de la notion de cohérence spatiale.

Objectifs

Le cas d'une source rigoureusement ponctuelle et monochromatique est souvent évoqué pour aborder l'optique (géométrique ou physique). Une source réelle en astrophysique peut être approximativement ponctuelle, du fait d'un très grand éloignement, mais ce n'est pas toujours le cas.

La cohérence spatiale rend compte de l'étendue angulaire de la source. Une analyse détaillée des phénomènes peut se traiter par une formalisme mathématique et s'appuie sur le théorème Zernike Van-Cittert.

Cohérence spatiale

Les sources astrophysiques ne sont pas naturellement cohérentes. Leur étendue angulaire va conduire à dégrader la cohérence du rayonnement : l'onde collectée mélange diverses directions incidentes, présentant différentes phases, dont le mélange dégrade la cohérence.

Pour modéliser ce phénomène, on s'intéresse à la cohérence du champ sur un écran illuminé par une source à grande distance ; cet écran illustre le rôle que joue un plan d'onde intermédiaire ou bien une pupille.

Cohérence du champ vu depuis 2 points P1 et P2 d'un écran E.

Crédit : ASM

Le facteur de cohérence

On repère un point de la source par le rayon vecteur $\mathbf{M}$ de coordonnées et . On compare la cohérence entre 2 points P_1 et P_2 de l'écran. Pour une source à grande distance ( très grand par rapport aux autres dimensions), on définit le degré de cohérence comme une fonction du profil de brillance $I ( \mathbf{M})$ :

$\gamma_{1,2} \ = \ \gamma (\mathbf{P_1P_2}) \ = \ { \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} I( \mathbf{M})\ \exp \left[ -2i\pi\ { \mathbf{M} \over d}. {\mathbf{P_1P_2} \over \lambda} \right] \ {\mathrm{d}}^2 \mathbf{M}} \over \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} I( \mathbf{M}) \ {\mathrm{d}}^2 \mathbf{M}} }$

Le facteur de cohérence complexe correspond à la transformée de Fourier de la distribution spatiale d'intensité de la source (théorème de Zernike - Van Cittert).

Cohérence du rayonnement d'une source circulaire.

Crédit : ASM

Cas particulier : source circulaire

On modélise le rayonnement stellaire par une source circulaire de diamètre $2R = D \ \theta$ , de brillance uniforme, observée à distance . La brillance peut être représentée par une fonction porte $\Pi (r / 2R)$ . On traite alors ce cas particulier en s'appuyant sur sa géométrie cylindrique, et l'on réécrit la cohérence entre le centre de l'écran (centre repéré sur la normale à l'écran vers la source) et un point tel $\mathbf{OP} = \rho \mathbf{u}$ :

$\begin{eqnarray*} \gamma_{1,2} \ =& { \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} \ \Pi{\left({D \mathbf{u}\over 2R } \right)}\exp\left[ -2i\pi\ \mathbf{u} . {\mathbf{\rho} \over \lambda}\right] \ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} \over \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} \Pi{\left({D \mathbf{u}\over 2R } \right)}\ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} }\\ \propto & \displaystyle{\int_0^\theta \ \exp\left[ -2i\pi\ \mathbf{u} . {\mathbf{\rho} \over \lambda}\right] \ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} \ = \ \displaystyle{ 2 J_1 \left( 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda}\right) \over 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda}}\\ = & \displaystyle{ 2 J_1 (X) \over X} \ \ \mathrm{avec} \ \ X\ =\ 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda} \end{eqnarray*}$

où l'on retrouve la fonction de Bessel J_1 .

Ce schéma montre l'analogie entre le calcul de la tache de diffraction par une pupille circulaire de rayon

, et la cohérence du champ d'une source de diamètre $\theta$ entre 2 points d'un écran séparés de

.

Crédit : ASM

Rappel sur la diffraction de Fraunhofer

Le résultat précédent ressemble furieusement à celui de la diffraction. Est-ce un hasard ?

La tache d'Airy résultant de la diffraction par une pupille circulaire rend compte de la contribution de toutes les sources secondaires à considérer sur la pupille. Plus la pupille est grande, plus les déphasages s'accumulent dès lors que l'on s'éloigne de la position centrale de l'image géométrique. Il s'ensuit que la tache de diffraction est d'autant plus piquée que la pupille est grande.

En terme de cohérence, plus une pupille est grande, plus le degré de cohérence entre 2 points de cette pupille diminue.

Une autre manière de reformuler ceci dérive de l'analyse de Fourier : plus on possède d'information sur un signal, moins ce signal est localisé. Le principe d'incertitude de Heisenberg ne dit pas autre chose : la détermination précise d'une grandeur nécessite que sa grandeur conjuguée soit étendue, la moins localisée possible.

Etendue de cohérence : la valeur à mi-hauteur est obtenue pour X=2

.

Crédit : ASM

Etendue de cohérence

La source de rayon angulaire $\theta$ est vue depuis l'écran sous un angle solide $\Omega = \pi \theta^2$ . Une surface $S = \pi \rho^2$ de l'écran correspond à une étendue de faisceau telle que :

$E\ =\ S \ \Omega \ = \ \pi \rho^2 \ \pi \theta^2 \ = \ {\lambda^2 X^2\over 4}$

La valeur à mi-hauteur du facteur de cohérence correspond à $X\simeq 2$ : on choisit cette valeur pour définir le rayon de l'étendue de cohérence.

Définition

L'étendue de cohérence du faisceau monochromatique vaut $\lambda^2$ .

Evolution de la cohérence spatiale en fonction des déphasage des faisceaux issus de différents points de la source.

Crédit : ASM

Visibilité fonction du degré de cohérence de la pupille

La visibilité du signal d'interférence dépend des déphasages entre les faisceaux issus des différents points de la source. Plus ces déphasages augmentent, moins le signal est cohérent.

QCM

1) Le diamètre angulaire d'une étoile de rayon solaire (700 000 km) à 20 pc vaut (1 mas = 1 milliseconde d'angle) :
4 mas
0.4 mas
0.1 mas

2) Quel diamètre de télescope mono-pupille est nécessaire pour résoudre dans le visible le disque de l'étoile alpha du Centaure, de diamètre 1.5 millions de km, située à 4.2 AL du Soleil.
14 m
140 m
1.4 km

Disque solaire, en lumière visible. Sa brillance n'est pas tout à fait uniforme : le phénomène d'assombrissement centre-bord rend compte des conditions différentes de transfert de rayonnement entre le centre et le limbe.

Crédit : Observatoire de Paris

La mesure du diamètre angulaire de l'étoile $\alpha$ du Bouvier (Arcturus) résulte de la visibilité des franges d'interférence obtenues par interférométrie.

Crédit : Observatoire de Paris

Diamètre stellaire

L'immense majorité des disques stellaires ne peut pas être résolue par imagerie avec un seul collecteur. Il est nécessaire, pour pallier cet effet, de recourir à la technique d'interférométrie. La visibilité des franges d'interférence d'une source stellaire conduit alors de à la mesure de son diamètre.

Objectifs

Nombre de sources astrophysiques présentent un diamètre angulaire qui ne peut pas être résolu par une pupille unique. Mais l'interférométrie permet d'affiner la résolution angulaire, et de mesurer des diamètres stellaires.

Source ponctuelle étendue

Le diamètre d'une étoile du proche environnement solaire sous-tend un angle de l'ordre d'une milliseconde d'arc. Ce diamètre est, sauf exception, très inférieur à la largeur de la tache de diffraction dans le visible d'un télescope, même de grand diamètre. En revanche, par interférométrie, on peut avoir accès indirectement à ce diamètre, si l'on dispose d'une base suffisamment grande.

On suppose une source de brillance uniforme, circulaire de diamètre angulaire $\theta$ , observée par 2 télescopes identiques séparés d'une base (base projetée dans le plan perpendiculaire à la source) que l'on fait interférer.

Franges d'interférence (en violet) et fonction de visibilité (courbe rouge).

Crédit : ASM

Visibilité et mesure du diamètre stellaire

Le facteur de cohérence établi dans le cas général est usuellement dénommé visibilité. La fonction de visibilité s'écrit :

${\cal V} \ = \ {2\ J_1 (X) \over X } \ \mathrm{\ avec\ } \ X\ =\ \pi\theta\ { b\over \lambda}$

où $b/\lambda$ est la fréquence spatiale.

Chaque base conduit à une mesure de la visibilité pour la fréquence spatiale $b/\lambda$ . Dans le cadre du modèle, où une étoile est un disque de brillance uniforme, la visibilité s'annule pour X=3.832 , et donc pour une relation entre le diamètre angulaire stellaire et la fréquence spatiale telle que :

$\theta\ { b\over \lambda} \ = \ 1.22$

Finalement, une mesure du diamètre stellaire $\theta$ revient à une mesure de visibilité de la figure d'interférence.

Le calcul précédent a supposé que la source présente un profil de brillance uniforme : en fait le phénomène d'assombrissement centre-bord complique un peu l'analyse. Le rôle de la diffraction ne peut bien sûr pas être négligé : toute mesure de visibilité doit être corrigée de la fonction d'appareil des collecteurs (dont la diffraction), que l'on détermine expérimentale sur une source vraiment ponctuelle (en pratique : très lointaine).

Diagramme donnant intensité en fonction de la fréquence spatiale, pour un interféromètre à 2 télescopes, de diamètre

, sur une base

. L'autocorrélation de la pupille donne accès aux hautes fréquences spatiales $b/\lambda$ .

Crédit : ASM

Résolution angulaire

Une pupille unique est un filtre passe-bas, coupant à la fréquence spatiale $a/\lambda$ , et donnant une résolution angulaire de $\lambda /a$ .

Un interféromètre est donc un filtre passe-bande, qui fournit une information à la fréquence $b/\lambda$ ; sa résolution angulaire est $\lambda / b$ .

On retrouve ces propriétés par une analyse en terme de Fourier : le théorème de Wiener-Khintchine relie la fonction de transfert optique à la TF inverse de l'autocorrélation de la pupille.

Synthèse d'ouverture

Une mesure du facteur de cohérence complexe fournit une composante de fréquence spatiale de la source. La mesure de ce facteur à plusieurs fréquences spatiales permet la reconstruction de la distribution spatiale d'intensité de la source.

QCM

1) Un interféromètre de base $b=200\ \mathrm{m}$ apporte à $2\ \mu\mathrm{m}$ une résolution angulaire de :
20 mas
5 mas
2 mas

2) Une source de diamètre angulaire 0.5 mas, observée à $1\ \mu\mathrm{m}$ , sera résolue pour une base de :
40 m
100 m
400 m

Diamètre stellaire

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Les figures ci-jointes illustrent la mesure de visibilité de franges d'interférence.

Courbe de visibilité de l'étoile $\eta$ du Bouvier.

Crédit : Observatoire de Paris

Courbe de visibilité de l'étoile $\psi$ de la constellation du Phénix.

Crédit : ESO

Courbe de visibilité de l'étoile $\alpha$ de la constellation d'Hercule.

Crédit : ESO

Courbes de visibilité de l'étoile $\mu$ de Céphée.

Crédit : Observatoire de Paris

Question 1)

Déduire des courbes le diamètre angulaire des sources stellaires $\psi$ Phe et $\eta$ Boo.

Question 2)

Quelle raison physique peut expliquer que la courbe de visibilité de $\alpha$ d'Hercule ne s'annule pas.

Question 3)

Les parallaxes de $\psi$ Phe, $\eta$ Boo et $\alpha$ Her sont estimées à respectivement 10.1, 88.2, 8.5 mas. En déduire la distance de chaque étoile, puis son diamètre linéaire.