SOLUTION

Avec un signal purement sinusoïdal d'amplitude et de fréquence $\nu_0$ , la définition donne :

$\mathrm{TF} (f) (\nu) \ =\ {1\over T}\ \int_0^T a \cos(2\pi\nu_0 t ) \exp 2i\pi \nu t \ {\mathrm{d}} t$

Pour grand devant $1/\nu_0$ , si $\nu$ est différent de $\nu_0$ , l'intégrale tend vers 0, alors que pour $\nu=\nu_0$ , on retrouve :

$\mathrm{TF} (f) (\nu_0) \ =\ {1\over T}\ \int_0^T {a\over 2} [\exp 2i\pi \nu_0 t + \exp -2i\pi \nu_0 t]\ \exp 2i\pi \nu_0 t \ {\mathrm{d}} t \ ={1\over T}\ \int_0^T {a\over 2} \ {\mathrm{d}} t \ = {a\over 2}$

Au facteur 1/2 près, dû au fait que la TF en $-\nu_0$ est également non nul, la normalisation en 1/T par rapport à la définition de la TF usuelle permet de retrouver dans le spectre l'amplitude du signal sinusoïdal.