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- Instrumentation

sexercerAnalyse par transformée de Fourier : formalisme : S'exercer

calcotron

exerciceConservation de l'énergie

Difficulté : ☆☆   Temps : 40 min

Question 1)

Vérifier l'homogénéité de la conservation de l'énergie énoncée par le théorème de Parseval-Plancherel.

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Question 2)

Pour des raisons physiques, il est commode de poser la définition de la TF d'une série temporelle bornée sur un intervalle de temps T comme :

\mathrm{TF} (f) (\nu) \ =\ {1\over T}\ \int_0^T f(t ) \exp 2i\pi \nu t \ {\mathrm{d}} t

avec le changement de notation pour préciser la différence par rapport à la TF classique. Montrer l'intérêt physique de cette notation, en s'appuyant p.ex. sur un signal purement sinusoïdale.

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Question 3)

Pour d'autre raisons, il peut être commode de poser la définition de la TF d'une série temporelle discrète d'une manière différente :

\mathrm{TF} (f) (u) \ =\ {1\over N}\ \sum_1^N f(t ) \exp 2i\pi \nu t

avec le changement de notation pour préciser la différence par rapport à la TF classique. Réécrire la relation de Parseval-Plancherel, et montrer que

\sigma_\nu = \sqrt{2\over N} \ \sigma _{\mathrm{t}}

\sigma _{\mathrm{t}} et \sigma_\nu sont respectivement les écarts-types de la série temporelle et du spectre.

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