La puissance du corps noir

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Puissance totale rayonnée

Objectifs

Etablir le bilan de la puissance rayonnée par un corps noir stellaire.

Quelle puissance rayonne une étoile de température d'équilibre

, assimilable à un corps noir de température

, supposée sphérique de rayon

? La réponse nécessite d'intégrer la luminance spectrale du corps noir sur toute sa surface, dans toutes les directions, à toute longueur d'onde.
Le calcul aboutit à la puissance :
$\mathcal{P} \ = \ 4\pi R^{2} \ \sigma T^4$
avec la constante de Stefan : $\sigma = 5.669\ 10^{-8}\watt {\m}^{-2} \kelvin^{-4}$ .

Puissance totale rayonnée

On peut justifier rapidement la présence des termes $R^{2}$ et T^4

dans cette puissance totale rayonnée. En effet, l'intégration de la luminance spectrale, spatiale, angulaire et spectrale :
$\mathcal{P} = \int\!\!\!\int\!\!\!\int {{\vecB}_\nu (T) } \ \diff\Omega \diff S \diff \nu = \int\!\!\!\int\!\!\!\int {2 h \over c^{2}} {\nu^{3} \over \exp\displaystyle{h\nu\over k_BT} -1} \ \diff\Omega \diff S \diff \nu$
implique, pour la dépendance en fonction du rayon, un terme proportionnel à la surface stellaire, variant donc comme $R^{2}$ , et pour le terme de température, un terme proportionnel à T^4

, mis en évidence par le changement de variable $x = h\nu / kT$ , qui conduit à :
${\cal P} \propto \ \left({kT\over h}\right)^4 \ \int_0^\infty\!\! {x^{3} \over \exp\displaystyle{x} -1} \ \diff x$
Les termes non explicités dans cette équation ne dépendent pas de la température, pas plus que l'intégrale sur la variable

, qui n'est plus qu'un simple nombre $(\pi^4 / 15)$ .
La loi en T^4

entraîne une grande diversité dans la vie des étoiles. Deux étoiles de rayons analogues mais avec des températures variant du simple au quintuple (4000 - 20000 K p.ex.) vont avoir des luminosités dans un rapport de 625, donc déjà des couleurs et luminosités très différents. Mais il s'ensuit également des conséquences très fortes sur leur évolution.