Refroidissement Laser

Introduction

La mécanique quantique est la théorie qui permet le mieux, aujourd'hui, de décrire le comportement microscopique de la matière et il est indispensable de la prendre en compte pour comprendre le refroidissement d'atomes par LASER. Nous n'entrerons cependant pas ici dans tous les détails : nous nous contenterons de faire appel aux notions pertinentes et nous les présenterons de la manière la plus pédagogique possible afin d'être accessible au plus grand nombre.

L'atome à deux niveaux

Dans la théorie de la mécanique quantique, les atomes ne peuvent pas avoir n'importe quelle énergie, mais sont nécessairement dans des "niveaux d'énergie" bien déterminés. On dit qu'ils sont quantifiés (d'où le nom de cette théorie d'ailleurs !).

Atome à deux niveaux

Schéma d'un atome à deux niveaux.

C. Charignon & C. Collet

Par conséquent, lorsqu'un atome interagit avec de la lumière, il ne peut pas le faire n'importe comment : il doit nécessairement absorber (ou réémettre) un photon d'une énergie correspondant à la différence d'énergie entre l'état initial et l'état final. C'est la constante de Planck

qui lie l'énergie

du photon et sa longueur d'onde $\lambda$ (ou sa fréquence $\nu$ ) selon :

$E = h \nu = \frac{h \times c}{\lambda}$

Interaction Matière-Rayonnement

La matière a trois manières d'interagir avec le rayonnement auquel elle est soumise :

Absorption et exitation d'un atome

Un atome peut absorber un photon et ainsi monter sur un niveau d'énergie supérieure.

Absorption

Schéma de l'excitation d'un atome par absorption d'un photon.
C. Charignon & C. Collet

Là aussi l'impulsion doit être conservée :

$\vec{p}_i + \hbar \vec{k} = \vec{p}_f$
Emission spontanée

Lorsqu'un atome se trouve sur niveau excité, il cherche naturellement à retourner vers son niveau de plus basse énergie (qu'on appelle niveau fondamental). Pour cela, il émet un (ou plusieurs) photons afin de descendre de niveau en niveau, jusqu'à arriver sur le fondamental.

Entre deux niveaux, on peut attribuer une probabilité de désexcitation $A_{ij}$ , qui est la mesure du nombre moyen d'atomes qui passent du niveau au niveau en une seconde.

Emission spontanée

Schéma de la désexcitation spontanée d'un atome et émission d'un photon d'énergie $h\nu$ .
C. Charignon & C. Collet

Chaque photon émis de cette manière part dans une direction aléatoire et emporte une partie de l'impulsion de l'atome par la même occasion, de manière analogue au recul que subit le fusil lorsqu'on tire avec. L'impulsion d'un photon est définie comme :

$\vec{p}_{photon} = \hbar \vec{k}$

où $\hbar = h / 2\pi$ est la constante de Planck "réduite" et $\vec{k}$ est le vecteur d'onde du photon émis.

L'impulsion étant une quantité conservée en physique, il faut que l'impulsion initiale de l'atome $\vec{p}_i$ , son impulsion finale $\vec{p}_f$ et l'impulsion du photon $\hbar \vec{k}$ vérifient :

$\vec{p}_i = \vec{p}_f + \hbar \vec{k}$
Emission induite

Emission induite d'un photon : Si l'atome se trouve sur un niveau excité et qu'il reçoit un photon, il peut émettre un deuxième photon, strictement identique au photon incident, et passer sur le niveau d'énergie inférieure. C'est d'ailleurs cette propriété qui est à la base du fonctionnement des LASER.

Emission induite

Schéma de l'émission induite d'un atome.
C. Charignon & C. Collet

La conservation de l'impulsion nous donne cette fois :

$\vec{p}_i + \hbar \vec{k} = \vec{p}_f + 2 \hbar \vec{k}$

Remarque : Tous les vecteurs $\vec{k}$ sont ici strictement identiques

Application : Interaction de l'atome de Rubidium avec un LASER

Le rayonnement d'un LASER est très particulier dans le sens où tous les photons qui le constitue sont identiques : ils ont notamment tous la même longueur d'onde. Cette propriété est très intéressante et va nous permettre d'exciter spécifiquement une transition. Or, nous l'avons vu précédemment, l'impulsion d'un atome varie lorsqu'il interagit avec le rayonnement.

Grandeurs liées au refroidissement Doppler

Tout d'abord, définissons quelques grandeurs utiles à partir de l'impulsion de recul $\vec{p}_{r}$ :

Vitesse de recul: Elle est définie à partir de la relation bien connue $\vec{p} = M \vec{v}$ ; où est la masse de la particule, $\vec{p}$ et $\vec{v}$ respectivement son impulsion et sa vitesse. On a donc :

$\vec{v}_{r} = \frac{ \hbar \vec{k} }{M}$
Energie de recul: On la définit comme une énergie cinétique, à partir de la vitesse de recul $\vec{v}_{r}$ :

$E_{r} = 1/2 \: M \: v_{r}^2$
Température de recul: La température de recul est quant à elle définie à partir de l'énergie de recul, en utilisant la constante de Boltzmann pour les lier :

$T_{r} = \frac{2}{3} \frac{E_{r}}{k_B}$

Etape 1 : Absorption d'un photon du rayonnement LASER

Partons d'un atome sur le niveau fondamental et ayant une impulsion $\vec{p}_i$ . Il absorbe un photon et passe donc sur un niveau excité en "gagnant" une impulsion $\vec{p}_{r} = \hbar \vec{k}$ . Si $\vec{k}$ et $\vec{p}$ ont des sens différents, l'atome est freiné.

Schéma de la première étape du ralentissement Doppler de l'atome de Rubidium : absorption d'un photon du rayonnement LASER et ralentissement de l'atome d'une quantité de mouvement $\vec{p_r} = \hbar \vec{k}$ .

C. Charignon & C. Collet

Ensuite, une fois sur le niveau 2, l'atome a deux manières possibles de se désexciter : par émission induite (il est en effet soumis continument au rayonnement LASER) ou bien par émission spontanée.

Les conséquences de chacune de ces possibilités sont explorées dans les deux parties suivantes.

Première étape 2 possible : désexcitation par émission induite

L'atome excité peut recevoir un nouveau photon et alors se désexciter par émission induite. Le photon qu'il émet alors est, par définition, identique au photon incident. Et, comme nous sommes en présence d'un rayonnement LASER, le photon incident (ayant provoqué l'émission induite) et le tout premier photon (ayant excité l'atome) sont également identiques. Le photon émis annule donc tout ce qu'avait provoqué le photon absorbé, puisque l'atome gagne une impulsion $\vec{p}_{r} \, ' = - \hbar \vec{k} = - \vec{p}_{r}$ . Ainsi :

$\Delta \vec{p} = \vec{p}_r + \vec{p}_{r} \, ' = \vec{0}$

Deuxième étape du cycle "Absorption - Emission induite"

Schéma de l'interaction de l'atome de Rubidium excité avec le faisceau LASER lors d'une émission induite.

C. Charignon & C. Collet

Seconde étape 2 possible : désexcitation par émission spontanée

L'atome peut aussi se désexciter par émission spontanée pour retourner sur le niveau 1. Le photon alors émis part dans une direction aléatoire avec une impulsion $\hbar \vec{k}'$ . La variation d'impulsion $\Delta \vec{p} = \vec{p}_{f} - \vec{p}_{i}$ de l'atome est donc non nulle au final car le vecteur d'onde $\vec{k'}$ du deuxième photon est complètement indépendant de $\vec{k}$ , celui du premier :

$\Delta \vec{p} = \hbar \: (\vec{k} + \vec{k}') \ne \vec{0}$

Deuxième étape du cycle "Absorption - Emission spontanée"

Schéma de l'interaction de l'atome excité de Rubidium avec le faisceau LASER lors d'une émission spontanée.

C. Charignon & C. Collet

Effet moyen du rayonnement LASER sur un atome

Résumons les effets des deux cycles d'interaction possibles sur la vitesse de l'atome :

Cycle "Absorption puis Emission induite" au cours duquel la vitesse de l'atome reste globalement inchangée. Nous ne nous intéresserons donc plus à ce genre de cycle par la suite.
Cycle "Absorption puis Emission spontanée" au cours duquel l'atome voit sa vitesse varier d'une quantité $\Delta \vec{v} = \frac{\hbar}{M}(\vec{k} + \vec{k}')$ .

Voyons maintenant l'effet du rayonnement LASER sur un nombre

de cycles "Absorption puis Emission spontanée" (avec

grand devant 1). A chacun de ces cycles, le photon qui excite l'atome est toujours le même car il provient du rayonnement LASER. L'atome gagne donc une vitesse $\frac{\hbar}{M}\vec{k}$ à chaque début de cycle et une vitesse $N\frac{\hbar}{M}\vec{k}$ au bout de

cycles .

Par contre, le photon émis spontanément par l'atome pour retourner sur son niveau fondamental a un vecteur d'onde $\vec{k}'$ qui a une direction aléatoire. Lorsqu'on en somme un grand nombre, on obtient donc une contribution nulle :

$\frac{\hbar}{M} (\vec{k_1'} + \vec{k_2'} + \cdots + \vec{k_N'}) \simeq \vec{0}$ (où $\vec{k_1'}$ est le vecteur d'onde du premier photon émis spontanément, $\vec{k_2'}$ celui du deuxième, ... et $\vec{k_N'}$ celui du dernier.)

Sur

cycles "Absorption puis Emission spontanée", on voit que l'atome verra sa vitesse varier d'une quantité $\Delta \vec{v} = N\frac{\hbar}{M}\vec{k}$ . Il suffit donc d'orienter le LASER de manière à avoir la vitesse $\vec{v}$ de l'atome et les vecteurs d'onde $\vec{k}$ des photons "excitateurs" de sens opposés pour effectivement ralentir (et donc refroidir) l'atome.

Refroidissement et effet Doppler

Maintenant que nous avons vu qu'un rayonnement LASER bien choisi peut ralentir un atome, voyons comment on le met effectivement en oeuvre.

L'effet Doppler

Cet effet physique est bien connu : c'est lui qui "change" la hauteur de la sirène des véhicules d'urgence nous dépassant. La fréquence d'émission du son de la sirène ne change bien sur pas, c'est le fait que le véhicule se déplace par rapport à nous qui nous fait entendre la sirène plus aigue lorsqu'il s'approche et plus grave lorsqu'il s'éloigne.

La fréquence $\nu_{\mathrm{rec}}$ perçue par l'observateur est reliée à celle émise $\nu_{\mathrm{em}}$ selon la relation (à condition que la vitesse relative

entre l'émetteur et le récepteur reste faible devant la vitesse de la lumière

) :

$\nu_{\mathrm{rec}} = \nu_{\mathrm{em}} \times \Big ( 1 + \frac{v}{c} \Big )$ si la source se rapproche de l'observateur.
$\nu_{\mathrm{rec}} = \nu_{\mathrm{em}} \times \Big ( 1 - \frac{v}{c} \Big )$ si la source s'éloigne de l'observateur.

Or, comme il l'a été précisé au début, l'atome ne peut interagir qu'avec des photons ayant une énergie $E = h\nu$ dans son référentiel. A cause de l'effet Doppler, l'atome risque donc de ne plus pouvoir absorber de photons dès qu'il n'aura plus la "bonne" vitesse, celle qui lui permet de voir des photons à la fréquence $\nu$ .

Cependant, la structure de l'atome est légèrement plus complexe que celle que nous avons présenté jusqu'ici : du fait de la durée de vie finie $\tau$ du niveau excité, il a aussi une certaine extension en énergie $\epsilon = \frac{\hbar}{\tau}$ . Une image plus réaliste de la structure d'un atome à deux niveaux est donc la suivante :

Atome à deux niveaux plus réaliste

Schéma plus réaliste de l'atome à deux niveaux, prenant en compte la durée de vie finie du niveau excité.

C. Charignon & C. Collet

L'atome peut donc absorber des photons dont la fréquence n'est pas trop éloignée de sa fréquence propre $\nu$ . Néanmoins, pour obtenir un refroidissement de l'atome aussi rapide que possible, il est nécessaire d'utiliser soit un LASER accordable, dont la fréquence varie pour s'accorder à la vitesse de l'atome ; soit l'effet Zeeman, qui modifie les niveaux d'énergie de l'atome grace à un champ magnétique. C'est cette dernière option qui est généralement choisie dans les horloges atomiques.

Ralentissement de l'atome

Nous allons donc supposer que l'atome a une probabilité non-nulle d'absorber un photon du faisceau LASER , mais que celle-ci décroit fortement dès qu'on s'éloigne un peu de sa fréquence propre.

Ensuite, il est nécessaire d'avoir deux faisceaux LASER légèrement désaccordés par rapport à la fréquence propre de l'atome et ayant des directions opposées l'une à l'autre. Ainsi, l'atome absorbera préférentiellement les photons du rayonnement LASER lorsqu'il aura la vitesse qui lui les fera voir à sa fréquence de résonance et on obtient l'efficacité maximale du ralentissement LASER lorsque celui-ci a une vitesse non-nulle.

Le deuxième faisceau LASER est nécessaire afin d'éviter que les atomes ne fassent demi-tour à force d'absorber des photons venant toujours de la même direction. La figure ci-dessous illustre le montage, en supposant que l'atome ne peut se déplacer que selon un axe horizontal.

Ralentissement d'un atome

Pour être piégé, l'atome est soumis à six rayonnements LASER qui le confinent dans une certaine région de l'espace. Ici nous nous considérons que l'atome ne peut se déplacer que selon une direction, deux faisceaux suffisent donc.

C. Charignon & C. Collet

La mécanique quantique nous donne l'expression de la force qu'exerce un rayonnement LASER sur un atome : il s'agit d'une lorentzienne, centrée sur la vitesse de l'atome qui lui fait voir le rayonnement à sa fréquence propre. Voici son expression :

Avec :

$\hbar$ : la constante de Planck réduite.
$\tau$ : la durée de vie du niveau excité.
: la vitesse de la lumière.
: la vitesse de l'atome.
$\omega_0$ : la fréquence de la transition entre le niveau fondamental et le niveau excité.
$\omega_l$ : la fréquence des photons émis par les deux faisceaux LASER.

La force totale que subit l'atome est donc la somme de deux lorentziennes, une pour chaque LASER, dont l'allure est donnée ci-dessous.

Force moyenne

Allure de la force exercée par deux faisceaux LASER sur un atome de Rubidium (en rouge). Elle correspond à la somme de la force exercée par le faisceau LASER 1 (en bleu) et par le faisceau LASER 2 (en vert).

C. Charignon & C. Collet

C'est cette force que notre applet modélise et il vous possible de vérifier qu'il y a bien une vitesse pour laquelle la force est bien plus importante que pour les autres.

Exemple d'application du refroidissement d'atomes : l'horloge atomique

Mode d'emploi de l'applet

Appliquette AtomeUnique

Paramètres d'entré

Pour cette appliquette, trois ensembles prédéfinis permettent d'illustrer rapidement les points importants du problèmes. De plus quatres paramètres clefs du problèmes peuvent être réglés librement pour permettre une compréhension approfondie du problème pour les personnes plus intéréssées. La figure ci-dessous, montre les valeures des différents paramètres pour l'ensemble ForceMaximale. Les trois ensembles de paramètres sont:

L'ensemble ForceMaximale se place dans des conditions où l'atome subira une force maximale dès le début
L'ensemble RalentissementMax correspond à un ralentissement maximum
L'ensemble Accélération illustre le fait qu'un désaccord positif transforme le ralentissement en accélération

Les quatres paramètres sont:

La vitesse initial de l'atome
La durée du ralentissement
Le désaccord entre la pulsation du laser et la pulsation de la transition atomique
Le type d'atome refroidi (en fait uniquement du rubidium...)

Sélection des paramètres

Écran s'affichant au lancement de l'appliquette

Affichages possibles

Il y a 4 affichages possibles:

Vitesse: Affiche la vitesse de l'atome en fonction du temps sur la durée choisie et pour les paramètres donnés
Force: Donne la force ressentie par l'atome pendant la durée de ralentissement
Position: Affiche la position de l'atome pendant l'expérience
Force en fonction de la vitesse: Montre le profil de la force correspondant au désaccord donné (accélération ou ralentissement selon le signe)

Refroidissement Laser

Table des matières

Liste des paramètres d'entrée de l'applet

Liste des paramètres de sortie de l'applet

Introduction

Objectifs

Explications

Rappels de Mécanique Quantique

Interaction Matière-Rayonnement

Application : Interaction de l'atome de Rubidium avec un LASER

Grandeurs liées au refroidissement Doppler

Etape 1 : Absorption d'un photon du rayonnement LASER

Première étape 2 possible : désexcitation par émission induite

Seconde étape 2 possible : désexcitation par émission spontanée

Effet moyen du rayonnement LASER sur un atome

Refroidissement et effet Doppler

L'effet Doppler

Ralentissement de l'atome

Exemple d'application du refroidissement d'atomes : l'horloge atomique

Mode d'emploi de l'applet

Appliquette AtomeUnique

Exemple d'utilisation