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Elipses, parábolas e hipérbolas

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Presentación de los elementos que definen las trayectorias posibles en el sistema de dos cuerpos.

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Trayectorias

Las trayectorias que son la solución del problema de dos cuerpos dependen de la energía mecánica total del sistema y de su momento cinético, y pueden ser circulares, elípticas, parabólicas o hiperbólicas.
En coordenadas polares, la trayectoria de un sistema en el contexto del problema de dos cuerpos tiene como ecuación paramétrica:
------p------- r = 1 + e cos h
Esta expresión puede obtenerse a partir de las ecuaciones del movimiento de un sistema de dos cuerpos por el estudio de las ecuaciones de Binet (consultar un curso de física); o por el vector excentricidad.
Dos parámetros bastan para definir la trayectoria en su plano.
  • La excentricidad define la naturaleza de la cónica
  • El parámetro p es una magnitud relacionada con el semieje mayor y la excentricidad p=a(1 - e2) .

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Elementos de la trayectoria

  • El radiovector r está definido con respecto al foco F de la elipse que define el centro de fuerza, y no con respecto al centro O .
  • El punto más cercano al foco es el periastro ; el punto más alejado es el apoastro
  • El semieje mayor verifica 2a=rp + ra , con rp y ra los radios del peri y apoastro.
  • rp=a(1 - e) = p/(1 + e)
  • ra=a(1 + e) = p/(1 - e)
  • El parámetro p de la elipse verifica p=a(1 - e2)
  • La distancia del centro O al foco F vale OF=e a

Ejemplos

  • En el sistema solar, cuanto más masivo es un objeto, más tiende su trayectoria a ser circular; los asteroides tienen trayectorias generalmente más elípticas que la mayoría de los planetas.
  • Los cometas de gran periodo tienen trayectorias muy elípticas.
  • Los cometas de muy gran periodo tienen trayectorias a menudo indeterminadas; de hecho suelen ser muy sensibles a las perturbaciones gravitacionales.

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