SOLUTION

est dérivable sur $]-\pi/2, \pi/2[$ par composition de fonction continues et dérivables. On a:

$f'(\theta)=\frac{4\cos^2\theta}{\sqrt{\pi^2-\left(2\theta+\sin 2\theta \right)^2}}$ .

Cette fonction n'est pas définie pour $\theta=\pm\pi/2$ . On pose alors $\theta=\pi/2-\epsilon$ . Ainsi:

$f'(\pi/2-\epsilon)=\frac{4\sin^2 \epsilon}{\sqrt{2\pi(2\epsilon-\sin 2\epsilon)-(2\epsilon-\sin 2\epsilon)^2}}$ .

Les développements limités en zéro nous indiquent que le dénominateur est de l'ordre de $\epsilon^{3/2}$ alors que le numérateur est de l'ordre de $\epsilon^2$ . Ainsi on a: $f'(\pi/2)=\lim_{\theta \to \pi/2} f'(\theta)=\lim_{\epsilon \to 0}f'(\pi/2-\epsilon)=0$ . Comme est impaire on a de même en prolongeant par continuité $f'(-\pi/2)=0$ .