SOLUTION

Si $\phi=0$ , alors l'équation (*) admet $\theta=0$ comme solution (en effet , c'est-à-dire . Ainsi et varie de $-2\sqrt{2}$ à $2\sqrt{2}$ lorsque $\lambda$ varie de $-\pi$ à $\pi$ .
Pour le pôle nord, on a $\phi=\pi/2$ . Or $f(\pi/2)=\pi/2$ , soit $g(\pi/2)=\pi/2$ , ainsi $\theta = \pi/2$ . L'image du pôle nord est $(0,\sqrt{2})$ . Par symétrie, le pôle Sud a pour image $(0,-\sqrt{2})$ .
Dans ce cas on a $x=\pm \sqrt{2}\cos \theta$ et $y=\sqrt{2}\sin \theta$ (le signe "+" correspond à la longitude positive). Les points se trouvent donc sur un demi-cercle centré à l'origine et de rayon $\sqrt{2}$ se trouvant à droite de l'axe des ordonnées pour la longitude positive et à gauche pour la longitude négative. Comme un méridien correspond à l'ensemble des latitudes $\phi \in [-\pi/2,\pi/2]$ , chaque demi-cercle est décrit complètement d'après la propriété de la fonction : $g([-\pi/2,\pi/2])=[-\pi/2,\pi/2]$ .
Dans ce cas on a $x=\pm 2\sqrt{2}\cos \theta$ et $y=\sqrt{2}\sin \theta$ . Comme à la question précédente sauf que les points se trouvent sur deux demi-ellipses d'une ellipse centrée à l'origine et de demi-petit axe $\sqrt{2}$ parallèle à l'axe des ordonnées et de demi-grand axe $2\sqrt{2}$ . Toute l'ellipse est décrite, pour la même raison que précédemment.
Si on note $\theta_0$ la solution de l'équation (*) pour la latitude $\phi$ , i.e. $g(\phi)=\theta_0$ , alors $y=\sqrt{2}\sin \theta_0$ et varie de $-2\sqrt{2}\cos \theta_0$ à $2\sqrt{2}\cos \theta_0$ lorsque $\lambda$ varie de $-\pi$ à $\pi$ . C'est une corde de l'ellipse parallèle à l'axe des abcisses.