SOLUTION

On sait que si $\phi\in]0,\pi/2[$ alors $\theta_S\in]0,\pi/2[$ . Autrement dit $\theta_S>0$ , donc $\theta_0\in[0,\theta_S[$ . Ainsi d'après la question précédente on sait que $\theta_0<\theta_1<\theta_S$ . Donc $\theta_1\in[0,\theta_S[$ . Si on suppose maintenant $\theta_n\in[0,\theta_S [$ alors, toujours d'après la question précédente on a $\theta_n<\theta_{n+1}< \theta_S$ , en outre $\theta_{n+1}\in[0,\theta_S[$ . Ainsi, $\forall n \in \mathbb{N}$ on a $\theta_n<\theta_{n+1}<\theta_S$ . Donc la suite $(\theta_n)$ est croissante et majorée, donc elle converge vers une limite $l\le\theta_S$ . Par continuité de $h_\phi$ et $h_\phi'$ , on a $l=l-\frac{h_\phi(l)}{h_\phi'(l)}$ , et comme $h_\phi'(l)\ne 0$ , on en déduit que $h_\phi(l)=0$ , donc $l=\theta_S$ .