Les limites trouvées à la question précédente nous permettent de dire que \forall \epsilon >0, \exists M > 0 et \exists \delta >0 tels que \forall x > M on a 0 < E(x) < \epsilon et \forall x < \delta et x > 0 on a 0 < E(x) < \epsilon. E est une fonction continue sur l'intervalle [\delta, M].

Or l'image d'un segment fermé par une fonction continue est un segment fermé. Ce dernier possède donc une borne supérieure qui est atteinte par la fonction E sur [\delta, M]. Soit E_{\rm max} ce maximum. On peut alors choisir \epsilon pour que \epsilon < E_{\rm max}, ainsi E_{\rm max} sera aussi le maximum de E sur ]0,+\infty[.