SOLUTION

Pour la Terre on a : $x_{\rm T}=r_{\rm T} \cos \left(\omega_{\rm T} t \right)$ $y_{\rm T}=r_{\rm T} \sin \left(\omega_{\rm T} t\right)$ .

Et pour Mars on a : $x_{\rm M}=r_{\rm M} \cos \left(\omega_{\rm M} t\right)$ $y_{\rm M}=r_{\rm M} \sin \left( \omega_{\rm M} t\right)$ .

On en déduit : $\overrightarrow{TM}=\left(x_{\rm M}-x_{\rm T}, y_{\rm M}-y_{\rm T}\right)=\left(r_{\rm M}\cos (\omega_{\rm M}t)-r_{\rm T}\cos ( \omega_{\rm T}t),r_{\rm M}\sin (\omega_{\rm M}t)-r_{\rm T}\sin (\omega_{\rm T}t)\right)$ .

On en déduit: $D^2=r_{\rm M}^2+r_{\rm T}^2-2r_{\rm M}r_{\rm T}\left(\cos(\omega_{\rm M}t)\cos (\omega_{\rm M}t)+\sin(\omega_{\rm M}t)\sin (\omega_{\rm M}t)\right)$ $=r_{\rm M}^2+r_{\rm T}^2-r_{\rm M}r_{\rm T}\cos\left((\omega_{\rm M}-\omega_{\rm T})t\right)$ ,

et $\tan \lambda = \frac{y_{\rm M}-y_{\rm T}}{x_{\rm M}-x_{\rm T}}=\frac{r_{\rm M}\sin (\omega_{\rm M}t)-r_{\rm T}\sin ( \omega_{\rm T}t)}{r_{\rm M}\cos (\omega_{\rm M}t)-r_{\rm T}\cos (\omega_{\rm T}t)}$ . Cette fonction n'est pas définie lorsque x_M=x_T.