{\dot E}={\dot \bf r}.d{\bf F} = {\dot r}. F_r + r{\dot \theta}. F_\theta et {\dot E}= \frac{\mu}{2a^2} {\dot a}, où \mu = G (M+m).

Or r=a(1-e^2)/(1+e \cos (\theta - \varpi) ), a^3 n^2 = \mu donc {\dot r}=(nae\sin(\theta - \varpi) ) / \sqrt{1 - e^2} et r {\dot \theta} = (na [1 + e \cos(\theta - \varpi) ]) / \sqrt{1 - e^2}.

Finalement {\dot a} = 2 a^{\displaystyle 3/2} [F_r e \sin (\theta - \varpi) + F_\theta (1 + e \cos (\theta - \varpi)) ]/\sqrt{\mu(1-e^2)}

Les forces dans le plan orbital peuvent modifier le demi-grand axe