SOLUTION

On a :

$\begin{array}{rcl}\ddot{x}&=&\ddot{u}\, \cos (\omega t)- 2 \dot{u} \,\omega \sin (\omega t) -u \,\omega^2 \cos (\omega t) - \ddot{v} \, \sin (\omega t) -2\dot{v} \,\omega \cos(\omega t) +v\,\omega^2\sin(\omega t)\\ \ddot{y} &=& \ddot{u}\, \sin (\omega t) +2\,\dot{u}\,\omega \cos(\omega t)-u\,\omega^2 \sin (\omega t) + \ddot{v} \, \cos (\omega t) -2\,\dot{v}\, \omega \sin (\omega t) -v\,\omega^2 \cos(\omega t) \\ \ddot{z}&=&\ddot{w} \end{array}$ ,

En multipliant la première par $\cos (\omega t)$ et la deuxième par $\sin (\omega t)$ et en ajoutant d'une part, et en multipliant la première par $\sin (\omega t)$ et la deuxième par $\cos (\omega t)$ et en retranchant d'autre part, on obtient le système suivant :

$\begin{array}{rcl}\ddot{x}\cos (\omega t) + \ddot{y} \sin (\omega t)&=&\ddot{u} -u \,\omega^2 -2\dot{v} \,\omega \\ -\ddot{x}\sin (\omega t) + \ddot{y} \cos (\omega t) &=& \ddot{v}-v\,\omega^2+2\,\dot{u}\,\omega \\ \ddot{z}&=&\ddot{w} \end{array}$ ,

Ainsi :

$\begin{array}{rcl}\ddot{u} -u \,\omega^2 -2\dot{v} \,\omega &=& \frac{Gm_1}{r_1^3}(-d_1-u)+\frac{Gm_2}{r_2^3}(d_2-u) \\ \ddot{v}-v\,\omega^2+2\,\dot{u}\,\omega &=& -\left(\frac{Gm_1}{r_1^3}+\frac{Gm_2}{r_2^3}\right)v \\ \ddot{w} &=& -\left(\frac{Gm_1}{r_1^3}+\frac{Gm_2}{r_2^3}\right) w \end{array}$ ,