SOLUTION

On doit avoir :

$\frac{\partial U}{\partial u}=\omega ^2 \, u +\frac{Gm_1}{r_1^3}(-d_1-u)+\frac{Gm_2}{r_2^3}(d_2-u)$ .

Or $r_1=\sqrt{(-d_1-u)^2+v^2+w^2}$ , ainsi $\frac{\partial}{\partial u} \frac{1}{r_1} = \frac{-d_1-u}{r_1^3}$ . De même $r_2=\sqrt{(d_2-u)^2+v^2+w^2}$ , ainsi $\frac{\partial}{\partial u} \frac{1}{r_2} = \frac{d_2-u}{r_2^3}$ .

On en déduit que $U=\frac{\omega^2}{2}u^2+\frac{Gm_1}{r_1}+\frac{Gm_2}{r_2}+ f(v,w)$ .

Finalement on a $U=\frac{\omega^2}{2}(u^2+v^2)+\frac{Gm_1}{r_1}+\frac{Gm_2}{r_2}$ .