On a :

\begin{array}{rcl}\dot{u}&=&\dot{x}\cos (\omega t)+\dot{y} \sin (\omega t) - x \, \omega\,\sin(\omega t) + y\,\omega\,\cos(\omega t) \\ \dot{v}&=& \dot{x}\sin(\omega t)-\dot{y}\sin(\omega t) + x\,\omega\,\cos(\omega t)+y\,\omega\sin(\omega t) \\ \dot{w}&=&\dot{z} \end{array}

Ainsi \dot{u}^2+\dot{v}^2+\dot{w}^2=\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2+2\omega(\dot{x}y - \dot{y}x)+\omega^2(x^2+y^2).

On en déduit \dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2+2\omega(\dot{x}y-\dot{y}x)=2\left(\frac{Gm_1}{r_1}+\frac{Gm_2}{r_2}\right)+C