Auteur: Jérôme Thiébaut
On a très souvent accès en astrophysique à des données d (par exemple des spectres lumineux, des images CCD...) dont on veut extraire une quantité physique inconnue X (magnitude, masse, champ magnétique...).
Si le problème est linéaire et si on connait les lois physiques sous jacentes, on peut modéliser le problème sous la forme 
, où 
est un vecteur contenant les données, 
est le vecteur des paramètres recherchés et 
est une matrice.
Connaissant 
on veut 
, c'est ce qu'on appelle un problème inverse. Pour résoudre ce genre de problème on utilise très souvent la méthode des moindres carrés c'est à dire qu'on cherche le vecteur 
qui minimise la quantité 
.C'est ce qu'on appelle un ajustement.
On se propose ici de montrer que faire des à priori gaussiens sur les distributions de probabilité de 
et 
revient à utiliser la méthode des moindres carrés.
Moindres carrés
et on va chercher à déterminer la probabilité conditionnelle 
.
, 
et 
en utilisant le théorème de Bayes.
suit une loi gaussienne multivariée de matrice de variance covariance 
. Ecrire cette loi.
, la valeur la plus probable pour 
est 
.
suit lui aussi une loi gaussienne de matrice de variance covariance 
et de moyenne 
(a priori sur la solution, sur son spectre de puissance...) et que 
.
Exprimer 
.
.
et on considère que les covariances sont nulles et les variances égales entre elles donc 
où 
est la matrice identité. Que devient 
?
donc le terme en 
disparait.
avec m le nombre d'élement de 
.
