On sait par hypothèse que \lim_{n\to+\infty}x_n=a. Donc d'après la définition de \zeta_3, on a aussi \lim_{n\to +\infty} \zeta_3=a. Comme f est de classe \mathcal{C}^\infty sur I, sa dérivée première est continue, donc \lim_{n\to+\infty}\frac{f^'(x_n)}{f'(\zeta_3)}=\frac{f'(a)}{f'(a)}=1. Dautre part on a \lim_{n\to+\infty}\delta_n=0 donc, d'après l'expression obtenue précedemment pour \frac{\epsilon_n}{\delta_n}, on a bien la limite demandée.