En effectuant la différence entre les deux équations définissant \epsilon_n et \delta_n on a:

0=(\epsilon_n-\delta_n)\left(f'(x_n)+\frac{\epsilon_n+\delta_n}{2!}f''(x_n)+\cdots+\frac{P_k(\epsilon_n,\delta_n)}{k!}f^{(k)}(x_n)}\right)+\mathcal{O}\left(\epsilon_n^{k+1}\right),

avec P_k(\epsilon_n,\delta_n)=\sum_{i=0}^{k}{k \choose i} \epsilon_n^i \delta_n^{k-i}. Comme on a vu que \epsilon_n et \delta_n sont équivalents, on a bien:

\delta_n=\epsilon_n+\mathcal{O}(\delta_n^{k+1}),

ainsi il suffit bien d'avoir une solution approchée à \delta_n^{k+1} près.